Równania wymierne

Równaniem wymiernym nazywamy każde równanie w postaci , gdzie W(x), Q(x) to wielomiany,  i nie są one wielomianami zerowymi.

Dziedziną równania wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu Q(x) znajdującego się w mianowniku wyrażenia:

D = R\{x : Q(x) =0}

Rozwiązanie równania wymiernego sprowadza się do rozwiązania równania algebraicznego W(x) = 0
z uwzględnieniem, że otrzymane rozwiązania należą do dziedziny równania wymiernego.

Zatem:
Û W(x) = 0 Ù Q(x) ¹ 0

Schemat rozwiązywania równań wymiernych.

Rozwiązanie równania wymiernego przeprowadza się według schematu:

 

1.      Rozłożenie na czynniki wielomianów występujących w mianownikach i ustalenie dziedziny równania.

2.      Wyznaczenie wspólnego mianownika dla wszystkich wyrażeń wymiernych występujących w równaniu.

3.      Pomnożenie obydwu stron równania przez wspólny mianownik.

4.      Rozwiązanie otrzymanego równania algebraicznego.

5.      Sprawdzenie, które z otrzymanych rozwiązań równania algebraicznego należą do dziedziny równania wymiernego.

6.      Sformułowanie odpowiedzi.

Przykład 1
Rozwiąż równanie: 

Rozwiązanie:

Rozwiązanie równania przebiega według przedstawionego schematu.

1.      Rozkładamy mianowniki na czynniki i wyznaczamy dziedzinę równania:

x2 + 4x = x(x + 4)

x2 – 16 = (x - 4)(x + 4)

x2 – 4x = x(x – 4)

Otrzymujemy równanie:

x(x + 4) = 0                            (x - 4)(x + 4) = 0                                          x(x – 4) = 0

x = 0 lub x + 4 = 0              x – 4 = 0 lub  x + 4 = 0                            x = 0 lub x – 4 = 0

                       x = -4                            x = 4              lub              x = -4                                                            x = 4

Dziedziną danego równania jest zbiór:   D = R\{-4, 0, 4}

2.      Wyznaczamy wspólny mianownik: x(x + 4)(x - 4)

3.      Mnożymy równanie stronami przez wspólny mianownik

/× x(x + 4)(x - 4)

 i otrzymujemy równanie algebraiczne:

(x - 11)(x - 4) = x(x + 2) – (3x – 9)(x + 4)

4.      Rozwiązujemy otrzymane równanie algebraiczne:

x 2 - 4x – 11x + 44 = x2 + 2x – 3x2 – 12x + 9x + 36

3x2 – 14x + 8 = 0      

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

D = 196 – 96 = 100

Rozwiązaniem równania kwadratowego są liczby:  i  4.

5.      Sprawdzamy, który z otrzymanych pierwiastków należy do dziedziny równania wymiernego:

D = R\{-4, 0, 4} :                 4 Ï D,             Î D

Jedynym pierwiastkiem równania wymiernego jest więc liczba

Odp. Rozwiązaniem danego równania jest liczba .

Przykład 2

Rozwiąż równanie:

1.      wyznaczam dziedzinę

  stąd

czyli dziedzina to 

2. mnożymy obie strony przez wyrażenie (x-1)(x+2) i otrzymujemy

stąd (x+2) + 2(x - 1) = 3

  x + 2 + 2x – 2 = 3

  3x = 3 /: 3

  x = 1

Sprawdzamy  rozwiązanie z dziedziną i widzimy, że jest to punkt wyłączony z dziedziny, stąd dane równanie wymierne nie ma rozwiązania.

Przykład 3

              Rozwiąż równanie :

                            Dziedzina

                                          2x – 1 = 0                            1 – 2x = 0

                                          2x = 1/:2                            -2x = -1 /: (-2)

                                          x =                                           x =

                                          D = R \ {}

              Korzystam z własności proporcji. Jeśli b ¹ 0 i d ¹ 0 , to  

                            (x - 3)(1 – 2x) = (2x - 1)(x - 3)

                            x – 2x2 – 3 + 6x = 2x2 – 6x – x + 3

                            – 2x2 – 2x2 + 7x + 7x –3 – 3 = 0

                            -4x2 + 14x – 6 = 0 /:2

                            -2x2 + 7x – 3 = 0

                            D = 49 – 4×(-2)(-3) = 49 – 24 = 25

3 Î D                                                                      Ï D

              Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba 3.

              Ćwiczenie 1

              Rozwiąż  zadania 1- 16  str. 25-28 z podręcznika.