Doświadczenie losowe można zilustrować za pomocą tzw. drzewka, które można wykorzystać do obliczania prawdopodobieństw różnych zdarzeń związanych z danym doświadczeniem.
W dwóch pudełkach znajdują się kule. W pierwszym jest 6 kul czerwonych, 4 zielone i 5 białych, a w drugim są 3 kule czerwone i 7 zielonych. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie 6, losujemy kulę z pierwszego pudełka, a w pozostałych wypadkach – z drugiego. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) „wylosowano kulę białą”
b) „wylosowano kulę czerwoną”
c) „wylosowano kulę z pierwszego pudełka i była ona białą lub czerwona”
d) „wylosowano kulę zieloną”.
Najpierw szkicujemy drzewko prezentujące dane doświadczenie losowe, zapisując przy gałęziach prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.
Nasze doświadczenie składa się z dwóch etapów: rzutu kotką oraz losowania kuli. Na drzewku gałęzie wychodzące z jednego punktu ilustrują wszystkie możliwe wyniki na danym etapie. Dlatego suma prawdopodobieństw zapisanych przy tych gałęziach musi być równa 1.
Przy rzucie kostką interesują nas zdarzenia:
„wypadła szóstka” (prawdopodobieństwo ) Þ losujemy z pierwszego pudełka
„wypadła liczba oczek różna od 6” (prawdopodobieństwo ) Þ losujemy z drugiego pudełka
Rzut kostką
Pierwsze pudełko Drugie pudełko (10 kul)
(15 kul)
Losowanie kuli
c z b c z
(c – kula czerwona, z – kula zielona, b – kula biała)
Aby w wyniku naszego doświadczenia wylosowano kulę białą musi nastąpić losowanie z pudełka pierwszego. Aby nastąpiło losowanie z pudełka pierwszego na kostce musi wypaść 6. Interesuje nas zatem ta część drzewka, która dotyczy losowania z pierwszego pudełka z gałęzią prowadzącą do kuli białej. Szukane prawdopodobieństwo otrzymamy mnożąc prawdopodobieństwa zapisane przy napotkanych po drodze gałęziach, tzn.
P(A) =
To zdarzenie „opiera” się na dwóch pudełkach, ponieważ kule czerwone są i w pierwszym i w drugim pudełku. W takim przypadku, by wyznaczyć szukane prawdopodobieństwo obliczamy sumę prawdopodobieństw z obydwu gałęzi. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej z pierwszego pudełka wynosi
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej z drugiego pudełka wynosi
Prawdopodobieństwo, że w tym doświadczeniu wylosowano kulę czerwoną wynosi
P(B) = +=
Ponieważ w zdarzeniu losowym jest wyraźnie zaznaczone, że chodzi o wylosowanie kuli czerwonej i białej z pierwszego pudełka a, więc interesuje nas tylko gałąź dotycząca pierwszego pudełka.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi
Szukane prawdopodobieństwo to suma dwóch powyższych prawdopodobieństw
P(C) = +=
To zdarzenie „opiera” się na dwóch pudełkach, ponieważ kule zielone są i w pierwszym i w drugim pudełku. W takim przypadku, by wyznaczyć szukane prawdopodobieństwo obliczamy sumę prawdopodobieństw z obydwu gałęzi. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej z pierwszego pudełka wynosi
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej z drugiego pudełka wynosi
Prawdopodobieństwo, że w tym doświadczeniu wylosowano kulę zieloną wynosi
P(D) = +=
W dwóch pudełkach są losy loteryjne. W pierwszym pudełku jest 50 losów, w tym 10 wygrywających. W drugim pudełku jest 80 losów, w tym 20 wygrywających. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie 1 lub 6 – ciągniemy los z pierwszego pudełka. W pozostałych przypadkach ciągniemy los z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu wygrywającego.
Pierwsze pudełko Drugie pudełko (80 losów)
(50 losów)
w p w p
(w – los wygrywający, p – los pusty)
P(A) = ×+×=+=+=
Doświadczenie polega na rzucie trzema monetami. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wyrzuceniu tylko jednego orła.
Rzut pierwszą monetą
R O
Rzut drugą
monetą
R O R O
Rzut
trzecią
R O R O R O R O
(R – reszka, O - orzeł)
Losujemy trzy karty z talii 24 kart, składającej się ze wszystkich figur oraz dziewiątek i dziesiątek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród tych kart jest jedna figura?
Figur w talii 24 kart jest 16.
Losowanie pierwszej karty
F B
Z talii ubyła nam jedna karta
Figura lub blotka
...
kaka93pl