Krawiec Monika - Konstrukcja i wycena opcji koszykowych.pdf

(292 KB) Pobierz
Krawiec.p65
STOWARZYSZENIE EKONOMISTÓW ROLNICTWA I AGROBIZNESU
Roczniki Naukowe l tom VII l zeszyt 5
49
Monika Krawiec
Szko³a G³ówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie
KONSTRUKCJA I WYCENA OPCJI KOSZYKOWYCH
NA AKCJE SPÓ£EK SEKTORA SPO¯YWCZEGO
CONSTRUCTION AND PRICING OF BASKET OPTIONS
ON STOCKS OF ENTERPRISES REPRESENTING FOOD SECTOR
S³owa kluczowe: opcja koszykowa, premia opcyjna, ograniczanie ryzyka
Key words: basket option, option premium, risk reduction
Synopsis. Przedstawiono charakterystykê opcji koszykowych, zaliczanych do egzotycznych opcji wielo-
czynnikowych, metody ich wyceny oraz przyk³ady konstrukcji i wyceny koszykowych opcji kupna akcji
spó³ek bran¿y spo¿ywczej notowanych na Gie³dzie Papierów Wartociowych w Warszawie i uwzglêdnionych
w subindeksie bran¿owym WIG-SPO¯YWCZY.
Wstêp
Wspó³czesna dzia³alnoæ gospodarcza lub inwestycyjna bardzo czêsto wi¹¿e siê z obecno-
ci¹ i aktywnoci¹ na wielu rynkach, czego efektem jest z³o¿ona ekspozycja na ryzyko, obejmu-
j¹ca wiele jego czynników. Odpowiedzi¹ na potrzeby zabezpieczania takich z³o¿onych rodzajów
ryzyka s¹ niew¹tpliwie, zaliczane do grupy instrumentów egzotycznych, opcje wieloczynniko-
we, których wartoæ zale¿y od wiêcej ni¿ jednego instrumentu bazowego [Jajuga, Gudaszewski,
Hnatiuk 2004]. Najbardziej popularne opcje wieloczynnikowe, wystêpuj¹ce na wiatowych
rynkach finansowych, to m.in. opcje koszykowe, têczowe, wymiany, spreadowe czy quanto.
W Polsce rynek opcji funkcjonuje od 10 lat. W 1995 roku Gie³da Poznañska, a w 1997
Warszawska Gie³da Towarowa, rozpoczê³y obrót opcjami wystawianymi na towary rolne. By³y
to standardowe europejskie i amerykañskie kontrakty opcyjne kupna i sprzeda¿y opiewaj¹ce
na pó³tusze wieprzowe i æwierætusze wo³owe oraz na pszenicê konsumpcyjn¹, kukurydzê pa-
szow¹ i ¿yto. Na obu gie³dach odbywa³ siê zarówno pierwotny, jak i wtórny obrót opcjami.
W tym samym czasie rozwija³ siê rynek opcji walutowych typu plain vanilla , wystawianych
pocz¹tkowo przez BRE oraz ING Bank, a w póniejszym okresie tak¿e przez BPH PBK i Citibank
Handlowy. By³y to opcje europejskie opiewaj¹ce g³ównie na dolara amerykañskiego i euro. Z
czasem jednak wymienione banki rozszerzy³y swoj¹ ofertê o tzw. opcje egzotyczne. Do najpo-
pularniejszych opcji egzotycznych na rynku walutowym nale¿¹ opcje barierowe, binarne i
azjatyckie. Dodatkowo, zawierane s¹ transakcje na opcjach typu lookback, wyboru i wielo-
czynnikowych (koszykowych, têczowych, spreadowych oraz z³o¿onych) [Pruski 2003].
Na Warszawskiej Gie³dzie Papierów Wartociowych opcje zadebiutowa³y 22 wrzenia 2003
roku. W tym dniu do obrotu trafi³y opcje europejskie na indeks WIG 20 obejmuj¹cy najwiêksze
Konstrukcja i wycena opcji koszykowych na akcje spó³ek sektora spo¿ywczego
105345208.002.png
50
M. Krawiec
spó³ki notowane na gie³dzie w Warszawie [Rocznik Gie³dowy 2004]. Z kolei na pierwsz¹ po³owê
2005 roku zapowiedziano wprowadzenie opcji na akcje 21 spó³ek. Zgodê na wprowadzenie do
publicznego obrotu programu opcji kupna i sprzeda¿y akcji Gie³da otrzyma³a od Komisji Papie-
rów Wartociowych i Gie³d w listopadzie 2004 r. [Rzeczpospolita 2004].
Zapewne, podobnie jak to mia³o miejsce w przypadku opcji walutowych, w nied³ugim cza-
sie pojawi¹ siê tak¿e niestandardowe (egzotyczne) opcje na akcje. Interesuj¹cym przyk³adem
takich opcji, które sta³y siê w ostatnich latach popularne w³anie na rynkach akcji, s¹ opcje
koszykowe. Bardzo czêsto s¹ one wykorzystywane przez inwestorów zainteresowanych inwe-
stycjami w konkretnej bran¿y. St¹d celem niniejszej pracy jest przedstawienie charakterystyki
opcji koszykowych, metod ich wyceny oraz przyk³adów konstrukcji i wyceny opcji koszyko-
wych opiewaj¹cych na akcje spó³ek bran¿y spo¿ywczej notowanych na Gie³dzie Papierów
Wartociowych w Warszawie.
Charakterystyka i metoda wyceny opcji koszykowej
Opcja koszykowa, nazywana równie¿ czasem portfelow¹, daje posiadaczowi prawo zakupu
lub sprzeda¿y koszyka (portfela) instrumentów bazowych. Zwykle w sk³ad koszyka wchodz¹
instrumenty tej samej klasy, np. akcje spó³ek z jednej bran¿y, waluty bliskich geograficznie krajów
czy towary. Wyp³ata z opcji koszykowej zale¿y zatem od ³¹cznej wartoci koszyka walorów.
Przy wycenie opcji koszykowej brane s¹ pod uwagê korzyci z dywersyfikacji i w przypad-
ku, gdy instrumenty wchodz¹ce w sk³ad koszyka nie s¹ ze sob¹ doskonale skorelowane, zakup
opcji koszykowej bêdzie zawsze tañszy od zakupu pojedynczych opcji standardowych na
poszczególne sk³adniki portfela. Im mniejsze bêd¹ korelacje pomiêdzy sk³adnikami portfela, tym
tañsze w zabezpieczaniu tego portfela jest zastosowanie opcji koszykowej w stosunku do serii
opcji standardowych. Oszczêdnoæ z zastosowania takiej strategii (ni¿szy koszt premii) mo¿e
wynosiæ nawet do kilkudziesiêciu procent [Jajuga, Gudaszewski, Hnatiuk 2004].
Na wartoæ opcji koszykowej wp³ywa kilka czynników, z których czêæ jest taka sama, jak w
przypadku opcji standardowych (tzn. wartoæ instrumentów bazowych, czas do wyganiêcia
opcji, stopa wolna od ryzyka, stopy dywidendy, zmiennoæ cen instrumentów bazowych, cena
wykonania), ale pojawiaj¹ siê równie¿ dwie dodatkowe zmienne. S¹ to wagi poszczególnych
instrumentów w koszyku oraz korelacja instrumentów podstawowych. Wynika z tego, ¿e w
praktycznym zastosowaniu modeli wyceny opcji koszykowych kluczow¹ rolê odgrywa osza-
cowanie parametrów zmiennoci i korelacji.
Opcje koszykowe tak samo jak zwyk³e opcje s¹ tym cenniejsze im wy¿sza jest zmiennoæ
instrumentów podstawowych. Zmiennoæ portfela instrumentów zale¿y jednak od korelacji
miêdzy nimi. Im wy¿sze korelacje (bli¿sze 1), tym wiêksza zmiennoæ koszyka, gdy¿ ceny akty-
wów stanowi¹cych koszyk zmieniaj¹ siê podobnie. Im ni¿sze korelacje (bli¿sze 1), tym mniej-
sza zmiennoæ portfela, a wiêc ni¿sza wartoæ opcji [Gudaszewski, £ukojæ 2004].
Do wyceny opcji koszykowych mo¿na wykorzystaæ metodê Rubinsteina, który rozwin¹³
technikê wyceny za pomoc¹ drzewek dwumianowych, uogólniaj¹c standardowy model Coxa-
Rossa-Rubinsteina [Weron, Weron 1998] czy symulacjê Monte Carlo. Jednak w niniejszej pra-
cy zostanie zastosowana metoda przedstawiona przez Musielê i Rutkowskiego [1997]:
Niech
6 dla
M
M
N
oznacza ceny k instrumentów podstawowych np. akcji w
W
czasie t dla
W
> 7
@
. Funkcja wyp³aty dla koszykowej opcji kupna wynosi wówczas:
¦
N
·
I
¨
©
Z
6
M
.
¸
¹
(1)
7
M
7
M
N
gdzie:
Z wagi j-tego waloru (instrumentu), przy czym ¦
t
Z
M
M
M
§
Konstrukcja i wycena opcji koszykowych na akcje spó³ek sektora spo¿ywczego
51
cena j-tego waloru w czasie T wykonania opcji,
K cena wykonania opcji z terminem wyganiêcia T.
Aproksymacja W
M
7
[1997] ma postaæ:
& Ö ceny koszykowej opcji kupna W
& podana przez Musielê i Rutkowskiego
Ö
§
¦
N
·
>
a
@
&
¨
©
Z
6
M
¸
¹
F)
K
.
F
)
K
(2)
W
M
W
M
gdzie:
ª
§
¦
N
a
a
¦
N
a
·
¼
7
W
º
F
H[S
«
¨
©
U
Z
Z
V
V
Z
V
¸
¹
LM
L
M
L
M
M
M
¬
L
M
M
a okrela siê wzorem:
przy czym zmodyfikowane wagi L
a
Z
6
M
Z
N
L
W
L
¦
Z
6
M
M
W
za zmodyfikowan¹ cen¹ wykonania a wzorem:
M
a
H
U
7
W
.
.
N
¦
Z
6
M
M
W
M
gdzie:
r stopa zwrotu wolna od ryzyka, za wartoci
OQ
F
OQ
.
r
Y
7
K
r
Y
7
gdzie:
N
a
a
Y
¦
U
Z
Z
V
V
LM
L
M
L
M
L
M
U jest wspó³czynnikiem korelacji pomiêdzy z³o¿onymi w sposób ci¹g³y stopami zwrotu
walorów (akcji), a L
LM
V to wspó³czynniki zmiennoci cen akcji. Symbolami F oznaczono
dystrybuantê standaryzowanego rozk³adu normalnego.
Opcje koszykowe mog¹ obejmowaæ praktycznie ka¿d¹ liczbê instrumentów podstawowych, pod
warunkiem, ¿e rynki tych instrumentów s¹ p³ynne oraz istnieje wystarczaj¹ca liczba danych, by ustaliæ
korelacje miêdzy poszczególnymi sk³adnikami koszyka. Jednak wraz ze wzrostem liczby walorów w
koszyku ronie tak¿e stopieñ skomplikowania obliczeñ prowadz¹cych do wyznaczenia premii opcyj-
nej. Z uwagi na brak dostêpnych programów do wyceny opcji koszykowych i koniecznoæ wykonania
niezbêdnych obliczeñ za pomoc¹ arkusza kalkulacyjnego Excel, w pracy zostanie przyjête za³o¿enie
ograniczaj¹ce liczbê walorów w koszyku do piêciu, z kolei w pracy Krawiec, Krawiec [2002] przedsta-
wiono przyk³ady dwu i trójwymiarowych opcji koszykowych na towary rolne. Ponadto, w zwi¹zku z
faktem, ¿e zarówno notowane na GPW w Warszawie opcje indeksowe, jak i opcje na akcje pojedyn-
czych spó³ek, których wprowadzenie ju¿ zapowiedziano, maj¹ charakter europejski [Mejszutowicz
2004], mo¿liwoæ wykonania opcji koszykowej równie¿ ograniczono tylko do daty oznaczaj¹cej termin
wyganiêcia. Wówczas parametry wystêpuj¹ce we wzorze (2) przyjmuj¹ dla t = 0 nastêpuj¹c¹ postaæ:
V , M
F
H[S^>
V
Z
a
Z
a
V
Z
a
Z
V
Z
a
Z
a
V
Z
Z
V
Z
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
U
Z
Z
V
V
U
Z
Z
V
V
U
Z
Z
V
V
U
Z
Z
V
V
U
Z
Z
V
V
(3)
U
Z
Z
a
V
V
U
Z
a
Z
V
V
U
Z
Z
a
V
V
@
7
`
6
a
za
a
a
a
a
a
a
a
105345208.003.png 105345208.004.png
52
M. Krawiec
a
H
U7
.
.
c
(4)
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
OQ
F
OQ
.
a
F
r
Y
7
(5)
K
r
Y
7
gdzie:
Y
Z
a
V
Z
V
Z
a
V
Z
a
V
Z
V
U
Z
Z
V
V
U
Z
Z
V
V
a
a
a
a
a
a
a
a
a
U
Z
Z
V
V
U
Z
Z
V
V
U
Z
Z
V
V
U
Z
Z
V
V
U
Z
(6)
a
a
a
a
U
Z
Z
V
V
U
Z
Z
V
V
Zmodyfikowane wagi dla piêciu instrumentów bazowych maj¹ postaæ:
.
a
Z
6
Z
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
Z
6
Z
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
a
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Z
6
Wzór na aproksymacjê ceny koszykowej opcji kupna sk³adaj¹cej siê z piêciu instrumentów
bazowych w chwili t=0 ma postaæ:
& M
Ö
¨
©
¦
Z
6
M
¸
¹
>
F
)
K
.
F
)
K
@
(7)
R
M
Przyk³ady wyceny opcji koszykowych na akcje spó³ek bran¿y spo¿ywczej
W zwi¹zku z faktem, ¿e opcje koszykowe na akcje nie s¹ obecnie dostêpne na polskim
rynku, dla potrzeb konstrukcji przyk³adów takich opcji wykorzystano akcje spó³ek wchodz¹-
cych w sk³ad portfela subindeksu sektorowego WIG-SPO¯YWCZY. Na podstawie notowañ
cen akcji na zamkniêcie w okresie od 20.09.2004 do 20.12.2004 [www.money.pl] wyznaczono
historyczn¹ zmiennoæ cen akcji wybranych spó³ek (tab. 1), a nastêpnie macierz wspó³czynni-
ków korelacji dla akcji wchodz¹cych w sk³ad koszyka (tab. 2).
Ponadto, oszacowano stopê woln¹ od ryzyka aktualn¹ w grudniu 2004 r. = 6%. Czas do
wyganiêcia opcji ustalono na 3 miesi¹ce ( T = 0,25), a ceny pocz¹tkowe akcji
M
6 przyjêto
wed³ug notowañ na za-
mkniêcie w dniu 21.12.2004
roku.
Przyk³ad 1. Skonstru-
owano koszykow¹ opcjê
kupna akcji nastêpuj¹-
cych spó³ek: Polski Kon-
T
b
e
l
1
.
H
i
t
r
c
z
n
a
z
m
n
n
o
æ
a
k
c
j
w
y
b
r
n
y
c
h
s
p
ó
³
k
N
a
z
w
a
s
p
ó
³
i
D
u
d
a
K
r
s
z
w
i
a
W
w
e
l
H
o
o
p
S
o
k
o
³
w
Z
e
n
[
2
5
,
1
8
3
3
,
3
9
,
3
7
,
d
³
:
o
p
r
c
w
n
e
w
s
.
a
a
a
a
a
a
Z
a
a
a
Z
§
·
a
105345208.005.png
Konstrukcja i wycena opcji koszykowych na akcje spó³ek sektora spo¿ywczego
53
cern Miêsny DUDA S.A., Za-
k³ady T³uszczowe KRUSZ-
WICA S.A., Zak³ady Przemy-
s³u Cukierniczego WAWEL
S.A., HOOP S.A. i SOKO-
£ÓW S.A., dla których ma-
cierz wspó³czynników korela-
cji przedstawiono w tabeli 2.
Wagi poszczególnych akcji w
koszyku s¹ jednakowe i wy-
nosz¹: w 1 = w 2 = w 3 = w 4 = w 5 = 0,2. Wykorzystuj¹c podane wczeniej wzory (3-7), dokonujemy
wyceny europejskiej opcji koszykowej kupna akcji piêciu wymienionych spó³ek, przy za³o¿e-
niu, ¿e w okresie wa¿noci opcji spó³ki te nie wyp³acaj¹ dywidendy, a koszty transakcji s¹
równe zeru. Zatem przy nastêpuj¹cych parametrach wyjciowych: stopa wolna od ryzyka r =
6%; czas do wyganiêcia opcji T  = 0,25; ceny akcji poszczególnych spó³ek w momencie zawar-
cia kontraktu
T
b
e
l
2
.
M
c
i
r
w
s
p
ó
³
z
y
n
n
i
ó
w
k
o
r
l
c
j
D
u
d
a
K
r
s
z
w
i
a
W
w
e
l
H
o
o
p
S
o
k
o
³
w
D
u
d
a
1
0
,
2
1
0
,
3
7
0
,
0
4
0
,
2
9
K
r
s
z
w
i
a
0
,
2
1
1
0
,
3
0
0
,
5
8
0
,
7
9
W
w
e
l
0
,
3
7
0
,
3
0
1
0
,
6
3
0
,
0
H
o
o
p
0
,
0
4
0
,
8
5
0
,
6
3
1
0
,
0
0
S
o
k
o
³
w
0
,
2
9
0
,
7
9
0
,
0
0
,
0
0
1
d
³
:
o
p
r
c
w
n
e
w
s
.
6 oraz wspó³czynniki zmiennoci
M
V odpowiednio:
L
Duda:
6
z³/akcjê,
V
; Kruszwica:
6
z³/ akcjê,
V
Wawel:
6
z³/ akcjê,
V
; Hoop:
6
z³/ akcjê,
V
Soko³ów:
6
z³/akcjê,
V
oraz cena wykonania opcji K = 55, otrzymujemy:
a
a
a
a
a
F
c
.
c
Y
c K
)
c K
K
c
)
c K
&
Zatem oszacowana premia dla rozpatrywanej koszykowej opcji kupna wynosi 2,31 z³. Dla
porównania dokonano wyceny piêciu standardowych opcji kupna akcji pojedynczych spó³ek,
przyjmuj¹c identyczne parametry wyjciowe jak w przypadku opcji koszykowej, przy czym
ceny wykonania poszczególnych opcji K j by³y równe odpowiednim cenom
Ö
c
M
6 . Wycenê prze-
prowadzono przy wykorzystaniu programu DerivaGem, udostêpnionego wraz z prac¹ Hulla
[2003] i uzyskano nastêpuj¹ce wartoci waniliowych opcji kupna akcji:
Duda:
F
z³/ akcjê; Kruszwica:
F
z³/ akcjê
Wawel:
F
z³/akcjê; Hoop:
F
z³/ akcjê
Soko³ów:
F
z³/akcjê
rednia z tych premii wynosi 3,47 z³, co oznacza, ¿e koszt nabycia opcji koszykowej jest o
1,16 z³ (33%) ni¿szy od redniej ceny serii piêciu opcji kupna pojedynczych akcji. Potwierdza to
omówione wczeniej w³asnoci opcji koszykowych.
Przyk³ad 2. Konstruuj¹c opcjê koszykow¹ w przyk³adzie 1 przyjêto jednakowe wagi dla
poszczególnych akcji. Jest to jednak kwestia indywidualnych preferencji inwestora [Ravindran
1998]. Za³ó¿my, ¿e inwestor nabywaj¹cy koszykow¹ opcjê kupna modyfikuje udzia³ poszcze-
gólnych sk³adników koszyka, zwiêkszaj¹c udzia³ w koszyku tañszych akcji, a zmniejszaj¹c udzia³
a
Z
Z
Z
Z
Z
105345208.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin