Analiza matematyczna 1-Szwagier.pdf

(1164 KB) Pobierz
0. ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE
0.1 ZBIORY LICZB
N – zbiór liczb naturalnych
1
2
,...
Z – zbiór liczb całkowitych
0
1
2
,...
p Q ,
 N
:
p
Z
q
– zbiór liczb wymiernych
q
R – zbiór liczb rzeczywistych
0.2 ZBIORY OGRANICZONE
Def. 0.2.1 (zbiór ograniczony z dołu)
Zbiór A R jest ograniczony z dołu, jeżeli
x
m
.
m
R
x
A
Liczbę m nazywamy ograniczeniem z dołu zbioru A . Obrazowo, zbiór jest ograniczony z dołu, gdy wszystkie jego elementy
leżą na prawo od pewnego punktu osi liczbowej.
Def. 0.2.2 (zbiór ograniczony z góry)
Zbiór A R jest ograniczony z góry, jeżeli
x
M
.
M
R
x
A
Liczbę M nazywamy ograniczeniem z góry zbioru A . Obrazowo, zbiór jest ograniczony z góry, gdy wszystkie jego elementy
leżą na lewo od pewnego punktu osi liczbowej.
Def. 0.2.3 (zbiór ograniczony)
Zbiór A R jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z dołu i z góry, tzn.
M
m
x
.
m
,
M
R
x
A
Uwaga . W definicji można tak dobrać stałe m i M , aby 0 < M = - m . Wtedy
M
x
.
x
A
Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.
0.3 KRESY ZBIORÓW
Def. 0.3.1 (element najmniejszy zbioru)
Liczba a jest najmniejszym elementem zbioru A R , co zapisujemy
A
a min
,
wtedy i tylko wtedy, gdy
a oraz a
A
x
.
x
A
Obrazowo, elementem najmniejszym zbioru nazywamy element tego zbioru leżący najbardziej w lewo na osi liczbowej.
Def. 0.3.2 (element największy zbioru)
Liczba a jest największym elementem zbioru A R , co zapisujemy
a max
A
,
wtedy i tylko wtedy, gdy
a oraz a
A
x
.
x
A
Obrazowo, elementem najmniejszym zbioru nazywamy element tego zbioru leżący najbardziej w prawo na osi liczbowej.
Def. 0.3.3 (kres dolny zbioru)
Niech zbiór A R będzie niepusty i ograniczony z dołu. Liczba a jest kresem dolnym tego zbioru, co zapisujemy
A
a inf
,
wtedy i tylko wtedy, gdy
x
a
 a
x
oraz
.
Ax 0
x
A
0
0
Obrazowo, kres dolny zbioru jest największą liczbą ograniczającą ten zbiór z dołu. Jeżeli zbiór A jest nieograniczony z dołu, to
przyjmujemy
937339496.011.png
 
def
inf
A
.
Def. 0.3.4 (kres górny zbioru)
Niech zbiór B R będzie niepusty i ograniczony z góry. Liczba b jest kresem górnym tego zbioru, co zapisujemy
B
b sup
,
wtedy i tylko wtedy, gdy
x
b
 b
x
oraz
.
Bx 0
x
B
0
0
Obrazowo, kres górny zbioru jest najmniejszą liczbą ograniczającą ten zbiór z góry. Jeżeli zbiór B jest nieograniczony z góry,
to przyjmujemy
def
sup
B
.
Uwaga . Najmniejszy element zbioru jest jednocześnie kresem dolnym tego zbioru. Analogicznie, największy element zbioru
jest jego kresem górnym.
Fakt 0.3.5 (aksjomat ciągłości)
Każdy niepusty zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
Każdy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.
0.4 FUNKCJE – PODSTAWOWE OKREŚLENIA
Def. 0.4.1 (funkcja)
Niech zbiory X, Y R będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowa-
nie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y . Funkcję taką oznaczamy przez Y
Xf
:
. Wartość
funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x) .
Def. 0.4.2 (dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości funkcji)
Niech Y
Xf : . Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f , a zbiór Y nazywamy jej przeciwdzie-
dziną. Ponadto zbiór
)(
nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez W f . Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór
elementów z R , dla których wzór ten ma sens liczbowy, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
xf
 :
Y
x
D
f
Def. 0.4.3 (wykres funkcji)
Wykresem funkcji Y
Xf
:
nazywamy zbiór
)
2
(
yx
,
)
R
:
x
X
,
y
f
(
x
.
Uwaga . Podzbiór płaszczyzny xOy jest wykresem pewnej funkcji zmiennej x , gdy każda prosta pionowa przecina go co
najwyżej w jednym punkcie.
Def. 0.4.4 (funkcja „na”)
Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y , co notujemy
Xf na 
:
Y
,
wtedy i tylko wtedy, gdy
W f , tzn. y
Y
f
(
x
)
.
y
Y
x
X
Funkcja Y
Xf
:
jest „na”, gdy rzut prostokątny jej wykresu na oś Oy pokrywa się ze zbiorem Y .
0.5 FUNKCJE OKRESOWE, PARZYSTE I NIEPARZYSTE
Def. 0.5.1 (funkcja okresowa)
Funkcja R
Xf
:
jest okresowa, jeżeli
x
T
X
oraz
f
(
x
T
)
f
(
x
)
.
T
0
x
X
Liczbę T nazywamy okresem funkcji f . Jeżeli istnieje najmniejszy okres funkcji f , to nazywamy go okresem podstawowym.
Obrazowo, funkcja jest okresowa, gdy jej wykres po przesunięciu o wektor
v
( T
,
nałoży się na siebie.
Def. 0.5.2 (funkcja parzysta)
Funkcja R
Xf
:
jest parzysta, jeżeli
x
X
oraz
f
)( x
x
f
(
)
.
x
X
Obrazowo, funkcja jest parzysta, gdy oś Oy jest osią symetrii jej wykresu.
Def. 0.5.3 (funkcja nieparzysta)
Funkcja R
Xf
:
jest nieparzysta, jeżeli
x
X
oraz
f
)( x
x
f
(
)
.
x
X
Obrazowo, funkcja jest nieparzysta, gdy początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu.
0.6 FUNKCJE OGRANICZONE
Def. 0.6.1 (funkcja ograniczona z dołu)
Funkcja f jest ograniczona z dołu na zbiorze A D f , jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu, tzn.
m
f
(
x
)
.
m
R
x
A
Obrazowo, funkcja jest ograniczona z dołu, gdy jej wykres leży nad pewną prostą poziomą (rys. 0.6.1).
Rys. 0.6.1
Ilustracja wykresu funkcji ograniczonej z dołu na zbiorze
Def. 0.6.2 (funkcja ograniczona z góry)
Funkcja f jest ograniczona z góry na zbiorze A D f , jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z góry, tzn.
M
f
(
x
)
.
m
R
x
A
Obrazowo, funkcja jest ograniczona z dołu, gdy jej wykres leży pod pewną prostą poziomą (rys. 0.6.2).
Rys. 0.6.2
Ilustracja wykresu funkcji ograniczonej z góry na zbiorze
Def. 0.6.3 (funkcja ograniczona)
Funkcja f jest ograniczona na zbiorze A D f , jeżeli jest ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze, tzn.
M
m
f
(
x
)
.
m
,
M
R
x
A
Uwaga . W definicji można tak dobrać stałe m i M , aby 0<M=-m . Wtedy
M
f
(
x
)
.
x
A
Obrazowo, funkcja jest ograniczona, gdy jej wykres jest położony między dwiema prostymi poziomymi.
0.7 FUNKCJE MONOTONICZNE
Def. 0.7.1 (funkcja rosnąca)
Funkcja f jest rosnąca na zbiorze A D f , jeżeli
 
x l
x
f
(
x
)
f
(
x
)
.
2
1
2
x
, 2
x
A
1
Obrazowo, funkcja jest rosnąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie wznosimy się do góry.
Def. 0.7.2 (funkcja malejąca)
Funkcja f jest malejąca na zbiorze A D f , jeżeli
 
x l
x
f
(
x
)
f
(
x
)
.
2
1
2
x
, 2
x
A
1
Obrazowo, funkcja jest malejąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie opadamy na dół.
937339496.012.png 937339496.013.png
 
Def. 0.7.3 (funkcja niemalejąca)
Funkcja f jest niemalejąca na zbiorze A D f , jeżeli
 
x l
x
f
(
x
)
f
(
x
)
.
2
1
2
x
, 2
x
A
1
Obrazowo, funkcja jest niemalejąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie wznosimy się lub pozostajemy na tym samym
poziomie.
Def. 0.7.4 (funkcja nierosnąca)
Funkcja f jest malejąca na zbiorze A D f , jeżeli
 
x l
x
f
(
x
)
f
(
x
)
.
2
1
2
x
, 2
x
A
1
Obrazowo, funkcja jest nierosnąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie opadamy lub pozostajemy na tym samym
poziomie.
Def. 0.7.5 (funkcja monotoniczna)
Funkcja f jest monotoniczna na zbiorze A D f , jeżeli jest rosnąca lub malejąca lub nierosnąca lub też niemalejąca na tym
zbiorze.
0.8 ZŁOŻENIA FUNKCJI
Def. 0.8.1 (funkcja złożona)
Niech zbiory X, Y, Z, W R będą niepuste, przy czym Y Z oraz niech Y
Xf
:
, W
Zg
:
. Złożeniem funkcji g i f
nazywamy funkcję W
fg
:
X
określoną wzorem:
def
)(( x
g
f
x
)
g
f
(
)
dla X
x .
Uwaga . Analogicznie określa się złożenie większej liczby funkcji. Składanie funkcji nie jest przemienne.
0.9 FUNKCJE ODWROTNE
Def. 0.9.1 (funkcja różnowartościowa)
Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A D f , jeżeli:
 
x l
x
f
(
x
)
f
(
x
)
.
2
1
2
x
, 2
x
A
1
Obrazowo, funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A , gdy każda prosta pozioma przecina fragment wykresu leżący nad lub
pod zbiorem A co najwyżej w jednym punkcie.
Uwaga . Przy sprawdzaniu różnowartościowości funkcji wygodnie jest korzystać z definicji równoważnej
 
x l
x
f
(
x
)
f
(
x
)
.
2
1
2
x
, 2
x
A
1
Fakt 0.9.2 (warunek wystarczający różnowartościowości funkcji)
Jeżeli funkcja jest rosnąca albo malejąca na zbiorze, to jest różnowartościowa na tym zbiorze.
Uwaga . Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.
Def. 0.9.3 (funkcja odwrotna)
Niech funkcja Y
Xf na 
:
będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję
1
Yf
:
X
określoną przez warunek:
def
1
f
(
y
)
x
y
f
(
x
)
, gdzie x X , y Y .
Wykres funkcji f -1 otrzymujemy z wykresu funkcji f odbijając go symetrycznie względem prostej y=x oraz zamieniając między
sobą jednocześnie nazwy osi x y . Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest funkcją rosnącą. Funkcja odwrotna do funkcji
malejącej jest funkcją malejącą.
Fakt 0.9.4 (o składaniu funkcji prostej i odwrotnej)
Niech funkcja Y
Xf na 
:
będzie różnowartościowa. Wtedy
oraz
y
x
1
1
f
f
(
x
)
f
f
(
y
)
.
x
X
y
Y
0.10 FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE
Def. 0.10.1 (arkus sinus)
,
Funkcją arcsin nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sin określonej na przedziale
. Dziedziną funkcji arcsin jest
2
2
przedział [-1,1].
Def. 0.10.2 (arkus cosinus)
Funkcją arccos nazywamy funkcję odwrotną do funkcji cos określonej na przedziale [0,]. Dziedziną funkcji arccos jest
przedział [-1,1].
Def. 0.10.3 (arkus tangens)
,
Funkcją arctg nazywamy funkcję odwrotną do funkcji tg określonej na przedziale
. Dziedziną funkcji arctg jest R .
2
2
Def. 0.10.4 (arkus kotangens)
Funkcją arcctg nazywamy funkcję odwrotną do funkcji ctg określonej na przedziale (0,). Dziedziną funkcji arcctg jest R .
Rys. 0.10.1 f ( x ) = arcsin x
Rys. 0.10.2 f ( x ) = arccos x
Rys. 0.10.3 f ( x ) = arctg x
Rys. 0.10.4 f ( x ) = arcctg x
Fakt 0.10.5 (tożsamości z funkcjami cyklometrycznymi)
dla każdego x  [-1,1],
arcsin x + arccos x =
2
dla każdego x R .
arctg x + arcctg x =
2
0.11 FUNKCJE ELEMENTARNE
Def. 0.11.1 (funkcje elementarne)
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne
oraz cyklometryczne. Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby
działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji, nazywamy funkcjami elementarnymi.
Def. 0.11.2 (wartość bezwzględna)
Wartością bezwzględną (modułem) nazywamy funkcję R
 :
R
określoną wzorem:
x
dla
x
0
.
x
dla
x
0
2
x
x
Uwaga . Moduł jest funkcją elementarną, gdyż
dla każdego x R .
Def. 0.11.3 (wielomian)
Wielomianem nazywamy funkcję R
RW
:
określoną wzorem
,
gdzie n N {0} , a i R dla 0 i n oraz a n 0 . Liczbę n nazywamy stopniem wielomianu W i oznaczamy przez st W .
Przyjmujemy dodatkowo, że W ( x )  0 jest wielomianem stopnia -.
xW n
n
1
(
)
a
x
a
x
a
x
a
n
n
1
1
0
Def. 0.11.4 (funkcja wymierna)
Funkcję, którą można zapisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów nazywamy funkcją wymierną.
937339496.001.png 937339496.002.png 937339496.003.png 937339496.004.png 937339496.005.png 937339496.006.png 937339496.007.png 937339496.008.png 937339496.009.png 937339496.010.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin