Wytrzymałość.doc

Temat

Wytrzymałość materiałów

·         Rozciąganie i ściskanie

1.     Konstrukcje statycznie wyznaczalne

Układy statycznie wyznaczalne charakteryzują się tym, że siły wewnętrzne występujące w poszczególnych elementach tych układów mogą być wyznaczone z równań równowagi.

Obliczenia wytrzymałościowe elementu rozciąganego lub ściskanego wykonuje się w celu sprawdzenia czy są spełnione warunki wytrzymałościowe

                 

gdzie P - siła rozciągająca (ściskająca), A - pole przekroju poprzecznego elementu rozciąganego (ściskanego), kr - naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu, kc - naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu.

Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie i ściskanie kr  i kc

                 

gdzie Rc, Rm, Re - wytrzymałość na ściskanie i rozciąganie, n - współczynnik bezpieczeństwa.

Często spełnienie powyższych warunków wytrzymałościowych  nie wystarcza do właściwego zaprojektowania konstrukcji. Z tego względu musi być jeszcze spełniony warunek sztywności

                 

Według tego warunku odkształcenie lub przemieszczenie punktów projektowanego elementu nie powinno przekroczyć wartości odkształcenia lub przemieszczenia, przyjętego dla danej konstrukcji jako dopuszczalne.

2.     Konstrukcje statycznie niewyznaczalne

W przypadku, kiedy liczba równań równowagi jest mniejsza od liczby sił wewnętrznych, to konstrukcje takie są nierozwiązywalne przy zastosowaniu równań statyki ciał doskonale sztywnych i noszą nazwę układów statycznie niewyznaczalnych.

Do obliczenia niewiadomych sił należy wtedy uwzględnić odkształcenia i przemieszczenia prętów. Uzyskane w ten sposób dodatkowe równania współzależności odkształceń stanowią zależności o charakterze geometrycznym.

W celu połączenia równań równowagi z równaniami geometrycznymi należy posłużyć się związkami fizycznymi uzależniającymi wzajemnie siły wewnętrzne i przemieszczenia.

W przypadku materiałów liniowosprężystych związki te wynikają bezpośrednio z prawa Hooke'a.

·         Ścinanie

3.     Ścinanie czyste i technologiczne

Stan naprężenia w przekrojach, w których występują tylko naprężenia styczne, nazywamy czystym ścinaniem.

      Prawo Hooke'a dla czystego ścinania:
Naprężenie styczne t jest proporcjonalne do odkształcenia postaciowego g.

                 

gdzie G - moduł sprężystości postaciowej.

      W elementach konstrukcyjnych spotykanych w technice można znaleźć takie przekroje, w których występuje czyste ścinanie, np. podczas czystego skręcania. W przeważającej liczbie przypadków w przekrojach elementów konstrukcyjnych występują jednocześnie naprężenia normalne i styczne.

Ścinaniem technologicznym nazywamy naprężenia i odkształcenia materiału spowodowane dwiema siłami tworzącymi parę o bardzo małym ramieniu.

4.     Konstrukcje ścinane

Nominalne naprężenia styczne w przekroju ścinanym wyraża się wzorem

                 

w którym P - siła ścinająca, styczna do przekroju ścinanego, A - pole przekroju poprzecznego elementu ścinanego.

Naprężenie to nie musi spełniać warunek

                 

gdzie kt - naprężenie dopuszczalne przy ścinaniu i wynosi  kt = (0,5 ÷ 0,8)kr 

Podstawowe przykłady elementów ścinanych to: połączenia nitowe, spawane, sworzniowe i wpustowe.

·         Momenty bezwładności

5.     Wiadomości wstępne

Momentem bezwładności układu mechanicznego względem nieruchomej osi a nazywamy wielkość fizyczną Ia równą sumie iloczynów mas wszystkich n punktów materialnych układu i kwadratów ich odległości od osi:

                 

gdzie mi jest masą i-tego punktu, a ri - jego odległością od osi.

Moment bezwładności ciała jest równy

                 

gdzie dm = r dV  jest masą małego elementu objętości bryły dV,
r - gęstością, a r - odległością elementu dV od osi a.

Moment bezwładności danej bryły względem dowolnej osi zależy od masy, kształtu i rozmiarów bryły oraz położenia bryły względem tej osi.

      Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności I dowolnego ciała względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności Io względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy ciała oraz iloczynu masy tego ciała i kwadratu odległości a obu osi: 

                 

6.     Momenty bezwładności figur płaskich

Moment bezwładności ciała płaskiego względem osi prostopadłej do jego płaszczyzny równa się sumie momentów bezwładności względem dwóch osi wzajemnie prostopadłych, leżących w jego płaszczyźnie.

                 

      Biegunowy moment bezwładności jest sumą osiowych momentów  bezwładności względem dwóch prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun.

                 

      Twierdzenia Steinera dla figury płaskiej
Moment bezwładności figury płaskiej względem osi równoległej do osi środkowej jest równy momentowi bezwładności tej figury względem jej osi środkowej, zwiększonemu o iloczyn pola figury i kwadratu odległości pomiędzy osiami.

                 

7.     Momenty bezwładności ciał sztywnych

W przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy (gęstość jest stała w całej objętości), jej moment bezwładności wynosi

                 

gdzie r - gęstość, r - odległość elementu dV od osi a.

Moment bezwładności bryły jest miarą jej bezwładności w ruchu obrotowym wokół nieruchomej osi a.

Biegunowy moment bezwładności jest równy sumie momentów bezwładności względem trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn przecinających się w biegunie O.

                 

Moment bezwładności względem osi jest równy sumie momentów bezwładności względem dowolnych dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn, przecinających się wzdłuż tej osi.

·         Zginanie

8.     Wiadomości wstępne

Zginanie zachodzące pod wpływem dowolnych sił działających na belkę nazywamy zginaniem złożonym.

      Belkami nazywamy elementy zginane. Na belkę może działać obciążenie w postaci sił skupionych lub obciążenia ciągłego.

      Siła skupiona jest to obciążenie przyłożone w jednym punkcie lub rozłożone na bardzo małym odcinku.

      Równomierne obciążenie ciągłe jest to obciążenie rozłożone na znacznej długości. Oznaczamy je literą q i podajemy w N/m.

      Jeżeli długość belki obciążonej w sposób ciągły wynosi l, to całkowita siła działająca na belkę, pochodząca od tego obciążenia ciągłego, wynosić będzie Q = q · l.

      Możliwe jest jeszcze nierównomierne obciążenie ciągłe belek (trójkątne, trapezowe. półkoliste).

9.     Moment gnący i siła gnąca

Momentem gnącym w danym przekroju belki nazywamy sumę momentów (względem środka ciężkości tego przekroju) wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem.

      Moment zginający uważamy za dodatni, jeśli wygina on belkę wypukłością ku dołowi. Momenty zginające wy...