matlab.pdf

- 1 -

Ewa Dyka

Instytut Elektroenergetyki PŁ

LABORATORIUM

METOD NUMERYCZNYCH

- 2 -

Wstęp

Rozwój techniki komputerowej spowodował, że wiele skomplikowanych problemów naukowych

rozwiązywanych jest przy pomocy maszyn cyfrowych. Różnorodność zagadnień i złożoność obliczeń

wymaga niejednokrotnie dobrej znajomości problemów mających wpływ na dokładność obliczeń czy też na

szybkość ich wykonania. Istnieje wiele metod rozwiązywania typowych zagadnień, dlatego wszechstronne

ich poznanie umożliwia właściwe podejście do problemów związanych z obliczeniami numerycznymi.

W ramach laboratorium z przedmiotu Metody Numeryczne przedstawione zostały podstawowe działy metod

numerycznych: interpolacja, aproksymacja, równania nieliniowe, układy równań liniowych, wartości własne

macierzy, całkowanie i równania różniczkowe zwyczajne.

Ćwiczenia prowadzone są w oparciu o dwa programy:

MET-NUM – program napisany w Turbo Pascalu przez pracowników Instytutu Informatyki

Uniwersytetu Wrocławskiego zawierający moduły składające się z programów

demonstracyjnych oraz pakietów zawierających wybrane funkcje i procedury

MATLAB – pakiet obliczeniowy firmy MathWorks umożliwiający dokonywanie dowolnych

obliczeń numerycznych

Celem powyższych ćwiczeń jest zarówno poznanie metod przedstawionych w obydwu programach jak i

porównanie ich ze sobą pod kątem dokładności otrzymywanych wyników.

- 3 -

PODSTAWY MATLAB-a

- 4 -

1. Wprowadzenie .

MATLAB jest programem służącym do obliczeń numerycznych.

Na prawidłowość wyników uzyskiwanych w trakcie obliczeń mają wpływ dwa podstawowe elementy:

uwarunkowanie zadania - (złe uwarunkowanie powoduje, że małe odchylenia danych wejściowych

mają duży wpływ na wynik końcowy)

stabilność algorytmów - w trakcie obliczeń następuje kumulacja błędów, obliczenia w MATLAB-

ie dokonywane są na liczbach zmiennoprzecinkowych, zarówno te liczby jak i wykonywane na

nich operacje obarczone są pewnymi błędami uzależnionymi od precyzji zapisu. Błędy te w

trakcie obliczeń mają tendencję do przenoszenia się i kumulowania, jeżeli powodują uzyskanie

wyniku znacznie oddalonego od prawidłowego to mówimy o niestabilnym algorytmie

obliczeniowym.

Jedynym używanym typem danych są macierze , przy czym MATLAB umożliwia również

dokonywanie operacji arytmetycznych dla poszczególnych elementów macierzy, przy wykorzystaniu tzw.

operatorów tablicowych.

Macierze należy oznaczać dużymi literami , natomiast wektory bądź tablice wartości mogą być oznaczane

małym i lub dużymi literami . Tę samą zmienną zapisaną raz dużą literą raz małą MATLAB traktuje jako dwie

różne zmienne.

operatory arytmetyczne :

operatory porównania

mnożenie

równe

potęgo anie

różne

+ -

dodawanie, odejmowanie

mniejsze

dzielenie (dzielenie prawostronne),

większe

dzielenie lewostronne (A/B = (A'\B')')

mniejsze równe

transpozycja macierzy (tablicy)

większe równe

tablica wartości

Części dziesiętne oddzielane są kropką (np. 3.5, 100.9). Liczby ułamkowe postaci a*10 -n zapisywane są

następująco: ae-n.

Można podać sposób wyświetlania obliczeń pisząc polecenie format z odpowiednim parametrem (np. liczba

1/3; format short – 0.3334; format long – 0.33333333333334).

W celu odróżnienia działań dokonywanych na macierzach od działań dokonywanych na tablicach

wartości, w przypadku tablic wartości należy zawsze po zmiennej umieścić kropkę przed znakiem

mnożenia, dzielenia i potęgowania (np. (x . ^4) . *tan(x) + x . *sin(x) - x . /cos(x)). W przypadku dzielenia

umieszcza się kropkę również po stałej przed znakiem dzielenia (np. 2 . /x).

Najczęściej używane znaki przy pisaniu własnego programu:

% na początku linii – linia ta jest komentarzem

; na końcu linii zawierającej wzory – program nie wyświetla pośrednich obliczeń

%% na początku pierwszej linii po której jest pusty wiersz – linia ta jest helpem do pliku

...

na końcu linii – dalszy ciąg danej linii w następnym wierszu

Napisany program należy zachowywać w skrypcie z rozszerzeniem " m " i umieszczać w katalogu o

nazwie MATLAB . Katalog ten należy założyć na dysku sieciowym użytkownika. Program obliczeniowy

- 5 -

uruchamiany jest poprzez napisanie w oknie MATLAB-a nazwy pliku bez rozszerzenia. Przed jego

wywołaniem należy podać ścieżkę dostępu: np. path(path,'g:\MATLAB') .

Niektóre obliczenia wymagają zastosowania wbudowanych funkcji MATLAB-a (np. całkowanie,

różniczkowanie, wyznaczanie zer funkcji), wówczas w skrypcie deklaruje się dane zadanie jako własną

funkcję pisząc " function y = f(x) ..... ", natomiast w oknie programu należy napisać polecenie zawierające

odpowiednią funkcję MATLAB-a (np. quad, ode23, fzero).

2. Definiowanie macierzy.

a) przez wyliczenie elementów:

np. : A = [2 2 1;3 4 5; 5 6 7]

A = [2 2 1

3 4 5

5 6 7]

Macierz deklaruje się poprzez umieszczenie jej elementów w nawiasach kwadratowych;

poszczególne elementy macierzy oddzielane są spacjami ; koniec wiersza oznaczany jest średnikiem

lub deklarowany jest poprzez wciśnięcie klawisza "Enter".

b) przez wygenerowanie elementów:

np. x = -5 : 0.1 : 8

macierz wierszowa ( -5 - pierwszy element; 0.1 - krok, 8 - ostatni

(131) element)

y = f(x)

macierz wierszowa ( y1 = f(5) - pierwszy element, y131 = f(8) -

ostatni (131) element)

c) przez podanie zależności określającej elementy macierzy:

np. dla macierzy Hilberta elementy macierzy określone są następującą zależnością:

a(i, j) = 1 / (i+j-1), aby wyznaczyć elementy tej macierzy można skorzystać z biblioteki

programu pisząc polecenie hilb(n) , gdzie n - stopień macierzy lub napisać własny

program:

n =

for i = 1:n

for j = 1:n

A(i,j) = 1/(i+j-1);

end

disp( )

napisanie średnika na końcu linii powoduje brak wyświetlania pośrednich obliczeń,

disp() - wyświetlenie wyniku

Elementy macierzy lub tablicy wartości umieszcza się zawsze w nawiasach kwadratowych , natomiast

nawiasy zwykłe zarezerwowane są dla poleceń i funkcji MATLABA-a .

Poszczególne elementy polecenia bądź funkcji oddzielane są przecinkami i jeżeli nie stanowią zmiennej lub

liczby umieszczane są w apostrofach (np. plot(x, y, ‘r*’)).

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: