CIĄGI – rozwiązanie zadań.docx

CIĄGI – rozwiązanie zadań

Zadanie 1

a)      an=2n+1

an+1=2n+1+1=2n+2+1=2n+3

an+1-an=2n+3-2n+3=2>0

ciąg rosnący↗

b)      an=2n+3n+1

an+1=2n+1+3n+1+1=2n+2+3n+2=2n+5n+2

an+1-an=2n+5n+2-2n+3n+1=2n+5n+1-2n+3(n+2)n+1(n+2)=2n2+2n+5n+5-(2n2+4n+3n+6)n+1(n+2)=2n2+2n+5n+5-2n2-4n-3n-6n+1(n+2)=2n2-2n2+7n-7n+5-6n+1(n+2)=-1n+1(n+2)n∈N<0

ciąg malejący↘

Zadanie 2

a2=4

a4=10

an= ?

an=a1+n-1r

a2=a1+2-1r

a4=a1+4-1r

4=a1+r10=a1+3r

-6=-2r

r=3

4=a1+3

a1=1

a1=1r=3

an=1+n-13

an=1+3n-3

an=3n-2

S5=?

S5=a1+a52*5

a5=a1+4r

a5=1+12=13

S5=1+132*5=35

Zadanie 3

3, 6, 9, 12, …, 99

r=3

an=99

a1=3

an=a1+n-1r

99=3+n-1*3  | :3

33=1+n-1

n=33

Sn=a1+an2*n

S33=3+992*33

S33=1683

S99=?

S99=1+992*99=4950

S99-S33=4950-1683=3267

Zadanie 4

1+3+5+…+x=81

r=2a1=1an=x

Sn=81

Sn=a1+an2*n

an=a1+n-1r

x=1+n-12

x-1=2n-1 | :2

x-12=n-1

n=x-12+1

n=x-1+22

n=x+12

81=1+x2*1+x2   |*4

324=(1+x)2   |√

18=1+x

18=1+x

x=17

-18=1+x

x=-19  ∉  D

Odpowiedź:  x=17

Zadanie 5

a5=16

a2=2

an=a1*qn-1

a5=a1*q5-1

16=a1*q4

a2=a1*q1

2=a1q

2=a1q2=2a1

a1=1

16=a1*q42=a1q

8=a1q4a1q

8=q3

q=2

an=1*2n-1=2n*2-1=12*2n

Zadanie 6

x, 2, y,ciągarytmetyczny8

x, 2, y, 8ciąggeometryczny

y-2=2-x8y=y2

y=4-xy2=16

y=4-xy1=4  ∧   y2=-4

x=4-yy2=16

x1=4-y1

x1=4-4

x1=0

x2=4-y2

x2=4+4

x2=8

x1=0y1=4     ∨     x2=8y2=-4

Zadanie 7

2x1,2x2,2x3

x1+x2+…+x10=110

x7=14

a3= ?

2x32x2=2x22x1

2x3-x2=2x2-x1

funkcja różnowartościowa

x3-x2=x2-x1

x7=x1+6r

14=x1+6r

14-x1=6r

r=14-x16

x10=x1+9r

x10=x1+9*14-x16

x10=x...