skrypt2.pdf

Uniwersytet Wrocławski

Wydział Matematyki i Informatyki

Instytut Matematyczny

specjalno±¢: matematyka nauczycielska

Barbara Szczepa«ska

Skrypt z Algebry Liniowej 2

Praca magisterska

napisana pod kierunkiem

dr. hab. prof. Jacka wi¡tkowskiego

Wrocław 2007

Podzi¦kowania

Dzi¦kuj¦ Panu Profesorowi Jackowi wi¡tkowskiemu, mojemu pro-

motorowi, za po±wi¦cony mi czas, oraz liczne rady i wskazówki, które

pomogły mi w napisaniu tej pracy.

Wst¦p

Skrypt ten powstał na podstawie notatek do wykładu „Algbra liniowa 2”prowa-

dzonego przez prof. dr. hab. Jacka wi¡tkowskiego. Przeznaczony jest dla studentów

pierwszego roku matematyki, w szczególno±ci dla słuchaczy kursu z algebry liniowej

2 w łatwiejszym nurcie A.

Zało»eniem skryptu była pomoc słuchaczom w lepszym zrozumieniu tre±ci oma-

wianych w trakcie wykładu, dlatego został on napisany prostym j¦zykiem i wzboga-

cony o liczne rysunki i przykłady.

Tre±ci omawiane w trakcie wykładu, a tym samym zawarte w niniejszej pracy,

obejmuj¡ zakres klasycznej algebry liniowej poł¡czonej z geometri¡ analityczn¡, dla

przestrzeni R 3 , R n oraz dowolnych przestrzeni wektorowych. Skrypt ten w wielu

miejscach b¦dzie zawierał odwołania do analogicznych poj¦¢ omawianych w trakcie

wykładu „Algebra liniowa 1”i zawartych w pierwszej cz¦±ci skryptu napisanej przez

Patrycj¦ Piechaczek, dlatego wskazane jest, aby czytelnik chc¡cy zapozna¢ si¦ z

niniejsz¡ prac¡ opanował najpierw materiał omawiany w pierwszej cz¦±ci.

Pierwsze cztery rozdziały po±wi¦cone zostały na omówienie podstawowych po-

j¦¢ u»ywanych przy badaniu przestrzeni R 3 , przy czym szczególny nacisk poło»ono

na geometryczn¡ interpretacj¦ tych poj¦¢, a dopiero w oparciu o nie wprowadza

si¦ teori¦ z algebry liniowej. Nast¦pnie (rozdziały 5 - 11) omówiono przekształcenia

przestrzeni R 3 , szczególny nacisk poło»ono na poznanie teorii dotycz¡cych przeksz-

tałce« liniowych, poczynaj¡c od geometrycznych przykładów takich przekształce«,

poprzez omówienie najwa»niejszych własno±ci, a ko«cz¡c na wprowadzeniu pewnych

klas przekształce« liniowych. W odniesieniu do nich wprowadza si¦ równie» poj¦-

cie warto±ci i wektorów własnych oraz macierzy przekształcenia. Kolejne rozdziały

(12-13) dotycz¡ pewnych rodzajów macierzy rozmiaru 3 × 3, wraz z odniesieniem

do przekształce« zadanych tymi macierzami. W dalszej cz¦±ci (rozdział 14) wpro-

wadzono nowe układy współrz¦dnych, zarówno na płaszczy¹nie jak i w przestrzeni,

które b¦d¡ wykorzystywane do badania powierzchni stopnia drugiego, omawianych w

rozdziale 15. W skrypcie do±¢ du»o uwagi po±wi¦ca si¦ ró»nym metodom rozwi¡zy-

wania układów równa« liniowych z wieloma niewiadomymi (rozdziały 16,18,21).

Dalsza cz¦±¢ zawiera teori¦ dotycz¡c¡ przestrzeni wy»szych wymiarów, przy czym

zrezygnowano tu z odwoływania si¦ do intuicji geometrycznych. Pozostawiono je-

dynie analogie do przestrzeni R 2 i R 3 . Nast¦pnie (rozdział 18) wprowadzono teori¦

dotycz¡c¡ macierzy dowolnego rozmiaru. Omówiono tam działania na macierzach,

jak równie» ich zastosowanie. Na koniec (rozdział 24) podano przykłady poj¦¢ wys-

t¦puj¡cych w przestrzeniach R n oraz w dowolnych przestrzeniach wektorowych, które

mo»emy rozpatrywa¢ jako uogólnenia poj¦¢ pojawiaj¡cych si¦ w R 3 i R n .

Mam nadziej¦, »e skrypt ten przyczyni si¦ do lepszego zrozumienia tre±ci oma-

wianych w ramach wykładu. ycz¦ Czytelnikowi czerpania jak najwi¦kszej przyjem-

no±ci z odkrywania algebry liniowej.

Barbara Szczepa«ska

Spis tre±ci

1 Punkty i wektory w R 3 9

1.1 Współrz¦dne punktów w R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Odległo±¢ punktów w R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Wektory w R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Działania na wektorach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Rozkład wektora wzgl¦dem ustalonych trzech wektorów. . . . . . . . 16

1.6 Przedstawienie wektora w postaci kombinacji liniowej trzech wektorów. 17

1.7 Równanie parametryczne prostej w przestrzeni. . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Równanie parametryczne płaszczyzny w przestrzeni. . . . . . . . . . . 19

1.9 Liniowa zale»no±¢ i niezale»no±¢ wektorów w przestrzeni. . . . . . . . 19

2 Iloczyn skalarny w R 3 23

2.1 Deﬁnicja i podstawowe własno±ci iloczynu skalarnego. . . . . . . . . . 23

2.2 K¡t mi¦dzy wektorami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Rzut prostok¡tny wektora X na prost¡ wzdłu» wektora Y . . . . . . . 26

2.4 Równanie ogólne płaszczyzny przechodz¡cej przez pocz¡tek układu

współrz¦dnych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Równanie ogólne płaszczyzny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 K¡t pomi¦dzy płaszczyznami w R 3 zadanymi równaniami ogólnymi. . 29

2.7 K¡t pomi¦dzy płaszczyzn¡ i prost¡ w R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8 Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach U,W w R 3 . . . . . . 32

3 Iloczyn wektorowy 34

3.1 Deﬁnicja iloczynu wektorowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Własno±ci iloczynu wektorowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Geometryczna interpretacja iloczynu wektorowego. . . . . . . . . . . 37

4 Wyznacznik macierzy 3 × 3 41

4.1 Podstawowe deﬁnicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Własno±ci wyznacznika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Zastosowania wyznacznika 3 × 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 Zastosowanie wyznacznika do rozwi¡zywania układu 3 równa« linio-

wych z 3 niewiadomymi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Przekształcenia liniowe przestrzeni 53

5.1 Podstawowe deﬁnicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Rzut prostopadły na prost¡ wzdłu» wektora U. . . . . . . . . . . . . . 55

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: