Clebsch.pdf

(306 KB) Pobierz
Metoda Clebscha
Zadanie 3: Dla belki wolnopodpartej jak na Rys.1 (str.2), wyznaczyć metodą Clebscha :
• równanie odkształconej osi belki,
• równanie kątów obrotu przekrojów belki,
• sporządzić wykresy:
• odkształconej osi belki
• kątów obrotu przekrojów belki
Metoda Clebscha
Przy określonym porządku zapisywania i całkowania równań różniczkowych
odkształconej osi belki można zredukować ilość dowolnych stałych całkowania do liczby
dwóch: C i D. Równość między sobą dowolnych stałych całkowania
(C 1 = C 2 =...= C i D 1 = D 2 = ... = D ) jest możliwa przy spełnieniu następujących
warunków:
1. odcięte we wszystkich przedziałach powinny być liczone od jednego i tego samego
początku układu współrzędnych - skrajnego lewego (lub prawego) punktu osi belki ;
2. wszystkie składowe w wyrażeniu na moment gnący w przedziale poprzednim powinny
powtórzyć się bez zmian w wyrażeniu na moment gnący dla przedziału następnego;
warunek ten może byc spełniony, jeżeli przy zapisywaniu równania momentów
w poszczególnych przedziałach belki będziemy rozpatrywać tę część belki, która
zawiera w sobie początek układu współrzędnych;
3. w przypadku działania obciążenia rozłożonego w sposób ciągły kończącego się
w określonym punkcie belki spełnienie warunku (2) wymaga doprowadzenia tego
obciążenia do końca belki z jednoczesnym dodaniem na tym odcinku równoważnego mu
obciążenia o zwrocie przeciwnym ;
4. wszystkie nowe dochodzące człony w wyrażeniu na moment gnący dla dalszych
przedziałów (odcinków belki) powinny zawierać mnożnik (x-a) , gdzie a - suma długości
wszystkich poprzednich przedziałów (odcinków);
5. w przypadku działania w pewnym przekroju belki pary o momencie M (moment
skupiony) warunek (4) będzie spełniony, jeśli w wyrażeniu na M(x) wielkość M będzie
pomnożona przez (x-a) 0 , a - część długości belki od początku układu współrzędnych do
punktu przyłożenia M ;
6. całkowanie równania różniczkowego powinno przebiegać bez rozwijania wyrażeń
w nawiasach.
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 1/6
 
Rys.1
Rys.2
0 ≤
1
1 ≤
≤ x
3
3 ≤
≤ x
5
5 ≤
≤ x
6
Równania momentów zginajacych w poszczególnych przedziałach osi belki - Rys.2
wg zapisu metodą Clebscha :
A
−
x
B
0
≤
≤
1
M
( −
x
)
=
[ ]
AB
4
x
B
−
x
C
1
≤
≤
3
4
x
−
1
2
M
(
x
)
=
−
4
x
+
9
x
−
1
−
AB
2
BC
C
−
x
D
3
≤
≤
5
4
x
−
1
2
4
x
−
3
2
M
(
x
)
=
−
4
x
+
9
x
−
1
−
+
8
x
−
3
0
+
AB
2
BC
2
CD
D
−
x
E
5
≤
≤
6
4
x
−
1
2
4
x
−
3
2
M
(
x
)
=
−
4
x
+
9
x
−
1
−
+
8
x
−
3
0
+
+
3
x
−
5
AB
2
BC
2
CD
DE
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 2/6
≤ x
87543289.029.png 87543289.030.png 87543289.031.png
Równanie różniczkowe odkształconej osi belki:
d
EJ −
2
w
=
M
(
x
)
d
2
x
d
2
w
[ x
4
x
−
1
2
4
x
−
3
2
]
EJ
=
−
−
4
+
9
x
−
1
−
+
8
x
−
3
0
+
+
3 −
x
5
d
2
x
2
2
AB
BC
CD
DE
0 ≤
≤ x
1
1 ≤
≤ x
3
3 ≤
≤ x
5
5 ≤
≤ x
6
Równanie kątów obrotu przekrojów belki:
dw
4
x
2
9
x
−
1
2
4
x
−
1
3
4
x
−
3
3
3
x
−
5
2
EJ
=
C
+
−
+
−
8
x
−
3
−
−
dx
2
2
6
6
2
DE
AB
BC
CD
Równanie odkształconej osi belki
4
x
3
9
x
−
1
3
4
x
−
1
4
8
x
−
3
2
4
x
−
3
4
3
x
−
5
3
EJw
=
D
+
Cx
+
−
+
−
−
−
6
6
24
2
24
6
DE
AB
BC
CD
Warunki brzegowe: :
4
∗
1
3
EJ
∗
0
=
D
+
C
∗
1
+
Dla
x
=
1
w
=
0
6
4
∗
5
3
9
−
1
3
4
−
1
4
8
−
3
2
4
−
3
4
EJ
∗
0
=
D
+
C
∗
5
+
−
+
−
−
Dla
x
=
5
w
=
0
6
6
24
2
24
Obliczenie stałych D i C:
0
=
D
+
C
+
0
6667
0
=
D
+
5
C
+
11
,
3333
C
=
−
2
6667
D
=
2
0
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 3/6
87543289.001.png 87543289.002.png 87543289.003.png 87543289.004.png 87543289.005.png 87543289.006.png 87543289.007.png 87543289.008.png 87543289.009.png 87543289.010.png 87543289.011.png 87543289.012.png 87543289.013.png 87543289.014.png 87543289.015.png
 
Równanie kątów obrotu przekrojów belki
dw
4
x
2
9
x
−
1
2
4
x
−
1
3
4
x
−
3
3
3
x
−
5
2
EJ
=
−
2
667
+
−
+
−
8
x
−
3
−
−
dx
2
2
6
6
2
DE
AB
BC
CD
0 ≤
≤ x
1
1 ≤
≤ x
3
3 ≤
≤ x
5
5
≤ x
≤
6
Równanie odkształconej osi belki
4x
3
9
x
−
1
3
4
x
−
1
4
8
x
−
3
2
4
x
−
3
4
3
x
−
5
3
EJw
=
2,0
−
2,6667x
+
−
+
−
−
−
6
6
24
2
24
6
AB
BC
CD
DE
0 ≤
≤ x
1
1 ≤
≤ x
3
3 ≤
≤ x
5
5 ≤
≤ x
6
Obliczenie wartości w(x) - Tabela 1 oraz w’(x) - Tabela 2
w poszcególnych przedziałach osi belki.:
Przekrój belki – dwuteownik 100
J y = 171*10 −8 m 4
E = 2*10 8 KN/m 2
EJ = 342 KNm 2
Tabela 1
Tabela 2
x [m]
EJ*w(x)
w(x) [m]
x [m]
EJ*w'(x)
w'(x) rd
0
2
0,005848
0
-2,667
-0,0078
0,4
0,976
0,002854
0,4
-2,3467
-0,00686
1
0
0
1
-0,6667
-0,00195
1,19
-0,06
-0,00018
1,188
0
0
1,4
0,0043
1,26E-05
1,4
0,578
0,00169
2
0,6667
0,001949
2
1,5
0,004386
2,4
1,3403
0,003919
2,4
1,863
0,005447
3
2,6667
0,007797
3
2,667
0,007798
3,4
3,2853
0,009606
3,4
0,507
0,001482
3,609
3,3127
0,009686
3,609
0
0
4
2,8333
0,008285
4
-1,833
-0,00536
4,4
1,892
0,005532
4,4
-2,7933
-0,00817
5
0
0
5
-3,333
-0,00975
5,4
-1,3333
-0,0039
5,4
-3,3333
-0,00975
6
-3,3333
-0,00975
6
-3,3333
-0,00975
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 4/6
87543289.016.png 87543289.017.png 87543289.018.png 87543289.019.png 87543289.020.png 87543289.021.png 87543289.022.png
W Y K R E S Y
Wykres momentów zginających M(x)
A
B
C
x
D E
x
x
x
M(x)
0 ≤
1
1 ≤
≤ x
3
3 ≤
5
5 ≤
≤ x
6
Wykres odkształconej osi belki w(x) [m]
0 ≤
1
1 ≤
3
3 ≤
5
5 ≤
≤ x
6
Wykres kątów obrotu przekrojów belki w′(x) [rd]
Zestawienie wykresów:
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka 5/6
≤ x
≤ x
≤ x
≤ x
≤ x
87543289.023.png 87543289.024.png 87543289.025.png 87543289.026.png 87543289.027.png 87543289.028.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin