Wersja dla st.- l. zespolone.pdf

(420 KB) Pobierz
1
LICZBY ZESPOLONE
Liczby zespolone pojawiły się po raz pierwszy w XVI w. Wykorzystywano je (używając
symbolu 1 ) do obliczania pierwiastków wielomianów stopnia trzeciego.
Znaleziono wzory na rozwiązywanie takich równań, jednak wymagały one wprowadzenia tzw.
jednostki urojonej. Doprowadziło to do zdefiniowania liczb zespolonych, dla których znaleziono
później wiele innych zastosowań.
Niech B
A , są niepustymi zbiorami.
DEFINICJA . Iloczynem kartezjańskim zbiorów A oraz B nazywamy zbiór
 
.
ba
:, B
a
A
b
.
Oznaczamy go symbolem . B
A
 
A ,
,1
2
xB ,
,
y
z
Przykład 1 . Dla zbiorów
otrzymujemy
      
A
B
,1
x
,
,1
y
,
,1
z
,
,2
x
,
,2
y
,
,2
z
      
B
A
x
,
1
,
x
,
2
,
y
,
1
,
y
,
2
,
z
,
1
,
z
,
2
Zauważmy, że . A
BA
B
RR
 :
(
a
,
b
)
a
R
b
R
Przykład 2 . Iloczyn kartezjański
, gdzie R jest zbiorem
liczb rzeczywistych.
2 nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy przez .
Zbiór R
RR
Z
Elementy zbioru Z nazywamy liczbami zespolonymi i oznaczamy krótko przez z, w,...
Liczbę zespoloną z = (a, b) przedstawiamy na płaszczyźnie w postaci punktu o współrzędnych (a,
b) lub wektora o początku w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie (a, b).
971732785.036.png
 
2
  ,
 
z
1 b
a
z ,
2
d
DEFINICJA . Niech
będą liczbami zespolonymi.
1. Równość liczb zespolonych określamy przez warunek:
def
a
c
z
z
1
2
b
d
2. Sumę liczb zespolonych określamy wzorem:
def
z
 ,
z
a
c
b
d
1
2
3. Iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem:
def
z
z
a
c
b
d
,
a
d
c
b
1
2
n
zz
 ...
z
z
W szczególności iloczyn
n
czynników
, wstępujące w powyższych równościach po prawej znaku równości
oznaczają zwykłe dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych.
Odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych określamy jako działania odwrotne względem
dodawania i mnożenia w taki sam sposób, jak w arytmetyce liczb rzeczywistych, zachowując te
Symbole działań:
same symbole.
Liczby zespolone postaci  
, a będziemy zapisywali krótko a i utożsamiali z liczbami
0
rzeczywistymi.
Przykład 3.
  
   5
,4 
2
,3
7
4
;3
2
7
,1
   
 
,2
1
,0
1
2
0
1
(
1
);
2
(
)1
1
0
,1
2
 
. Stąd  
.
a
,
b
       
x
,
y
a
,
b
c
,
d
x
,
y
ba
, xd
cx
dy
cy
(
c
,
d
)
cx o
dy
a
Z własności równości dwóch liczb zespolonych otrzymujemy układ równań
dx
cy
b
dwóch niewiadomych . y
orazx
ac
bd
bc
ad
x
2 ,
y
Po rozwiązaniu tego układu mamy
2
2
c
d
c
d
971732785.037.png
3
POSTAĆ ALGEBRAICZNA (kanoniczna) LICZB ZESPOLONYCH.
DEFINICJA . Liczbę zespoloną   1
,0 nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i
  1
def
i
,0
   
1
2
i
,0
1
,0
1
0
0
1
;1
0
1
0
1
,1
0
Przykład 4.
TWIERDZENIE . Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci:
az
bi
, gdzie R
a ,
b
Zauważmy, że             1
a
,
b
 b
a
,
0
,0
b
a
,
0
,
0
,0
,
co po utożsamieniu liczb postaci  
, a z liczbami a oznacza, że
0
bi
az
, gdzie R
a ,
b
Ten sposób przedstawiania liczb zespolonych nazywamy ich postacią algebraiczną
Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z , co zapisujemy
def
Re ,
z
a
zaś liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z i zapisujemy
def
Im .
z
b
z
Im
bi bi
az
i
z
Re
0
1 a
971732785.038.png 971732785.001.png 971732785.002.png 971732785.003.png
 
4
Dla liczb zespolonych w postaci algebraicznej dodawanie, odejmowanie i mnożenie
wykonujemy tak, jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej i , przy
2
warunku 1
i .
Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną bi
a , gdzie R
a , , należy dzielną i dzielnik
b
pomnożyć przez liczbę bi
a , aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą.
A więc dla liczb zespolonych b
az
1 oraz di
cz
2 mamy:
 
i
z
z
a
bi
c
di
(
a
c
)
b
d
1.
1
2
 
i
z
z
a
bi
c
di
(
a
c
)
b
d
2.
1
2
 
2
 
z
z
a
bi
c
di
ac
adi
bci
bdi
ac
ad
bc
i
bd
1
1
2
3 . .
i
(
ac
bd
)
ad
bc
 
z
a
bi
a
bi
c
di
ac
bd
bc
ad
i
1
dla 0
dic .
4.
 
2
2
z
c
di
c
di
c
di
c
d
2
Dla tak określonych działań można wykazać prawa przemienności dodawania i mnożenia,
łączności dodawania i mnożenia oraz rozdzielności mnożenia względem dodawania.
W zbiorze liczb zespolonych prawdziwe są także wzory skróconego mnożenia, wzór
dwumianowy Newtona, wzory na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego itp.
Ponadto dla każdej liczby zespolonej z mamy:
z
z
0 , 0
zz oraz z
z
1 .
Przykład 5 .
2
4
5
i
(
4
5
i
)(
2
i
)
8
4
i
10
i
5
i
8
5
4
10
i
3
14
i
3
14
i
2
2
i
(
2
i
)(
2
i
)
4
1
5
5
5
4
2
i
2
i
i
971732785.004.png 971732785.005.png
5
DEFINICJA . Sprzężeniem liczby zespolonej bi
az
, gdzie R
a , nazywamy liczbę
b
określoną wzorem:
def
bi
z
a
z
Im
bi
az
bi
z
Re
0 a
bi
bi
az
DEFINICJA . Modułem liczby zespolonej bi
az
, gdzie R
a , , nazywamy liczbę
b
rzeczywistą z określoną wzorem:
def
2 b
2
z
a
z
Im
bi z
z
z
Re
0 a
2
2
1
3
1
3
1
3
i
1
1
Przykład 6 .
.
2
2
2
2
4
4
971732785.006.png 971732785.007.png 971732785.008.png 971732785.009.png 971732785.010.png 971732785.011.png 971732785.012.png 971732785.013.png 971732785.014.png 971732785.015.png 971732785.016.png 971732785.017.png 971732785.018.png 971732785.019.png 971732785.020.png 971732785.021.png 971732785.022.png 971732785.023.png 971732785.024.png 971732785.025.png 971732785.026.png 971732785.027.png 971732785.028.png 971732785.029.png 971732785.030.png 971732785.031.png 971732785.032.png 971732785.033.png 971732785.034.png 971732785.035.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin