MACIERZE-v_stud.pdf

(404 KB) Pobierz
MACIERZE
DEFINICJA
m , nazywamy
n
N
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m x n , gdzie
prostokątną tablicę złożoną z n
m liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w
m wierszach i n kolumnach. Macierze symbolicznie zapisujemy
a
a
a
11
12
1
n
a
a
a
21
22
2
n
następująco:
a
a
a
m
1
m
2
mn
i oznaczamy dużymi literami alfabetu np. X
A ,, itp.
B
Element macierzy A stojący w i -tym wierszu oraz w j -tej kolumnie oznaczamy przez
ij a lub  
a . Macierz A można także zapisywać w postaci   mxn
ij a , gdy znany jest jej
ij
wymiar.
Zadanie Podać wymiary macierzy:
1
i
x
0 A ,
2
1
3
e
cos
x
B
i
,
C
x
4
0
cos
x
e
1
2
i
Rodzaje macierzy
1. Macierz zerowa
Macierz wymiaru m x n , której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą
zerową wymiaru m x n , i oznaczamy przez mxn 0 lub przez 0 , gdy znamy jej wymiar.
0
0
0
0
0
0
0
Macierze:  
0 ,
0
0
,
są macierzami zerowymi odpowiednio
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
wymiarów 1 x 1, 3 x 2, 3 x 5.
2. Macierz kwadratowa
1
0
2
4
0
1
0
i
21 ,
i
0
1
0
1
Macierze:
,
są macierzami kwadratowymi
2
1
3
3
2
i
3
1
2
2
1
2
0
1
3
4
5
odpowiednio stopnia 2, 3, 4.
1
Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza co kolumny, tworzą główną
przekątną macierzy .
1
0
0
0
0
1
0
0
3. Macierz jednostkowa
def
I n
I
0
0
1
0
0
0
0
1
4. Macierz blokowa
1
0
0
1
1
3
0
1
0
1
1
3
Macierz
jest macierzą blokową zbudowaną z 6-ciu
A
0
0
1
1
1
3
2
2
2
0
1
5
1
2
1
1
0
5
bloków (macierzy).
Działania na macierzach
1. Dodawanie (odejmowanie) macierzy
Sumą (różnicą) macierzy   mxn
i   mxn
nazywamy macierz   mxn
A
a
B
b
C
c
,
ij
ij
ij
def
ij b
c
której elementy są określone wzorem:
,
dla m
1 oraz n
1 .
i
j
ij
ij
Piszemy wtedy B
AC
.
Przykład
20 =
3
1
0
2
2
3
3
21 +
3
01
6
=
 2
4
5
5
4
6
5
7
2
5
6
7
1
1
5
Zadanie
Wyznaczyć:
i
a ij ,0
j
,
gdy
i
j
a) macierz   4
A
a
, taką, że
ij
2 x
gdy
i
j
i
j
,
gdy
i
j
b) macierz   2
B
b
b ij
, taką, że
.
ij
3 x
i
j
gdy
i
j
2. Iloczyn macierzy przez liczbę
Iloczynem macierzy   mxn
  mxn
przez liczbę nazywamy macierz
B
b
A
a
,
ij
ij
def
ij a
b
.
której elementy są określone wzorem:
ij
2
971732784.021.png 971732784.022.png
 
Gdy = - 1, to zamiast -1 A piszemy A
i nazywamy macierzą przeciwną
do macierzy A .
Przykład
4
8
0
3
6
0
3
8
12
4
6
9
3
4
16
0
4
12
0
3
Zadanie
Znaleźć macierz X spełniającą równanie:
01 =
4
6
4
2
1 X .
X +
0
2
2
2
0
4
0
Własności działań na macierzach
BA ,, będą macierzami tego samego wymiaru oraz niech
, będą
Niech C
liczbami.
1. A
BA
B
;
 
C
BA
C
A
B
2.
;
3. A
A
 00 ;
4.   0
AA ;
5.
B
BA
A
;
6.
A
AA
;
7. A
1 ;
A
8.  
  A
 
A
.
3. Iloczyn macierzy
 
Niech macierz  
B
b
ma wymiar k
xn .
ma wymiar n
xm , a macierz
A
a
ij
ij
 
wymiaru k
xm , której
C
c
Iloczynem macierzy B
iA nazywamy macierz
ij
elementy określone są wzorem:
ac
b
a
b
...
a
b
dla m
1 oraz .
i
1 k
j
ij
i
1
1
j
i
2
2
j
in
nj
Piszemy wtedy AB
C
3
Przykład
 
   
1
0
1
1
0
3
1
2
0
5
1
2
1
2
 
2
3
2
1
3
3
2
2
3
5
11
11
3
5
   
 
0
1
0
1
1
3
0
2
1
5
3
5
Zadanie
1 A ,
4
2
0 B
4
1
Obliczyć AB oraz BA
jeżeli:
3
2
DEFINICJA
Macierz transponowana (przestawiona ) do macierzy  
A
a
(gdzie m
i ,
,1
oraz
ij
) to macierz  
j ,
,1
n
ji a (gdzie n
j ,
,1
oraz m
i ,
,1
) .
Aby więc otrzymać macierz transponowaną, należy elementy kolejnych wierszy zapisać
w kolejnych kolumnach.
Macierz transponowaną oznaczamy symbolem T A
1
4
2
1
A , to
2
3
0
2
5
0
T A
Przykład . Jeżeli
4
5
6
1
3
6
1
2
0
1
2
0
1
2
DEFINICJA
Podmacierz macierzy A powstaje, gdy „skreślimy” pewną ilość wierszy i kolumn
macierzy A . Symbolem ij
A oznaczymy macierz powstałą przez skreślenie i - tego
wiersza oraz j - tej kolumny macierzy A .
0
A jest 13 A =
3
2
2
1
2
1
0
Przykład Jedną z podmacierzy macierzy
.
3
2
3
2
1
0
1
0
1
2
4
DEFINICJA
Wyznacznik macierzy kwadratowej A to liczba, oznaczana symbolem A
det lub A ,
określona indukcyjnie w następujący sposób:
  a
(tu  
det
a
1.
A
a
jest macierzą o jednym wierszu i jednej kolumnie).
2. Zakładamy, że definicja jest znana dla macierzy stopnia 1
n , gdzie 2
n .
 
stopnia n kładziemy
A
a
Dla macierzy
ij
1
n A
det
A
a
det
A
a
det
A
(
)1
a
det
11
11
12
12
1
n
1
n
Przykłady
2
1
   
1
2
  5
1)
2
det
1
1
1
det
3
2
3
.
3
1
a
a
Dla n=2 :
det
11
12
a
a
a
a
11
22
12
21
.
a
a
21
22
1
5
4
2
0
3
0
3
2
 
   
2)
3
2
0
1
5
4
1
12
5
18
4
7
50
.
3
6
1
6
1
3
1
3
6
Metoda Sarrusa:
det
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
:
11
22
33
12
23
31
13
21
32
31
22
13
32
23
11
33
21
12
a
a
a
a
a
11
12
13
11
12
a
a
a
a
a
21
22
23
21
22
a
a
a
a
a
31
32
33
31
32
x
2
2
1
Zadanie Rozwiązać nierówność 0
5
1
1
2
3
x
DEFINICJA
 
a macierzy kwadratowej
Dopełnieniem algebraicznym elementu ij
A
a
nazywamy
ij
i
ij A
1
j
, dla n
ji ,
,1,
wyrażenie  
.
d det
ij
d
d
d
11
12
1
n
oznaczamy symbolem d
d
d
d
A i nazywamy macierzą
Macierz  
21
22
2
n
d
ij
d
d
d
n
1
n
2
nn
dopełnień .
5
971732784.023.png 971732784.001.png 971732784.002.png 971732784.003.png 971732784.004.png 971732784.005.png 971732784.006.png 971732784.007.png 971732784.008.png 971732784.009.png 971732784.010.png 971732784.011.png 971732784.012.png 971732784.013.png 971732784.014.png 971732784.015.png 971732784.016.png 971732784.017.png 971732784.018.png 971732784.019.png 971732784.020.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin