POCHODNE:
Pochodna funkcji w punkcie xo nazywamy następującą granicę:
Twierdzenie:
Jeżeli f i g są funkcjami różniczkowalnymi w punkcie xo i c jest pewną liczbą rzeczywistą to różniczkowalne są też funkcje: c*f,f+g,f-g,f*g i kiedy g(x0)≠0
Proste pochodne:
CIĄGI, SZEREGI:
Granica ciągu – Niech (X,d), będzie przestrzenią metryczną, a (xn) dowolnym ciągiem elementów z przestrzeni X. mówimy, że x€X jest granicą ciągu (xn) jeżeli dla każdego a>0 istnieje taka naturalna n0, że d(xnX)<ϕ dla n0≥n.
Jeżeli ciąg (xn) jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę. Ponadto każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Dowód:
Dowodzimy nie wprost. Załóżmy, że ciąg (xn) ma dwie różne granice x i y. Niech ϕ=d(x,y)/2 z definicji granicy istnieje takie n0€N takie, że d(xn X)<ϕ i d(xn y)<ϕ, wtedy d(xn x)≤d(xn x)+(xn y)≤ε+ϕ=2ε co daje nam sprzeczność z definicji.
Kryterium d'Alemberta
Jeżeli granica ciągu |an+1|/|an| istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg (*) jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny. Dla rozbieżności szeregu wystarczy zresztą, by istniała taka liczba N, że nierówność |an+1|/|an|>1 była spełniona dla wszystkich n większych od N. Jest to najprostsza wersja tego kryterium. Wersja nieco subtelniejsza: jeżeli granica górna ciągu |an+1|/|an| jest mniejsza niż 1 to szereg (*) jest zbieżny. Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku gdy granica ta (lub odpowiednia granica górna) jest równa 1.
Tw.o trzech ciągach Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych an, bn oraz cn. Jeśli prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich n, większych od pewnego wskaźnika N, zachodzi an=<bn=<cn przy czym lim an = lim cn = g to wtedy bn = g
Dowód: Niech dany będzie ? > 0 Zbieżność ciągów an oraz cn oznacza, że można wskazać δ1,δ2 należące do N dla których (z własności wartości bezwzględnej) przy dowolnym n > max(δ1,δ2) zachodzą nierówności
i Na podstawie nierówności z założenia zachodzi oszacowanie
Kryterium Cauchy'ego
Jeżeli granica ciągu sqrt[1]{|a_n|} istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg (*) jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny. Jak w przypadku poprzedniego kryterium, jest to wersja uproszczona. Wersja subtelniejsza mówi, że jeśli granica górna ciągu sqrt[2]{|a_n|} jest mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli granica górna jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny. Kryterium Cauchy'ego nie przesądza nic o zbieżności szeregu w przypadku, gdy odpowiednia granica (lub granica górna) jest równa 1. Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze niż kryterium d'Alamberta – jeśli szereg spełnia warunek kryterium d'Alamberta, to spełnia warunek Cauchy'ego, ale nie na odwrót.
Twierdzenie Rolle’a
Niech f będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na przedziale domkniętym [a,b], różniczkowalną na przedziale otwartym (a,b). Wówczas jeżeli f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c należący do przedziału otwartego (a,b), że
Twierdzenie Lagrange’a
Jeśli dana funkcja jest
· ciągła w przedziale [a,b],
· różniczkowalna w przedziale (a,b),
to istnieje taki punkt , że:
.
CAŁKI:
Całkowanie przez podstawienie:
Całka nieoznaczona ma następującą własność: Jeżeli:
· funkcja jest ciągła na przedziale
· funkcja ma ciągłą pochodną na przedziale to
gdzie jest dowolną funkcją pierwotną funkcji oraz
Całkowanie przez części:
Jeżeli funkcje i mają ciągłe pochodne, to:
smok12-1993