w10.pdf

MatematykaETId I.Gorgol Przebiegzmienno´scifunkcjiTwierdzeniaowarto´sci´sredniejWzórTaylora

Przebiegzmienno´scifunkcji

Twierdzeniaowarto´sci´sredniej

WzórTaylora

MatematykaETIdI.Gorgol

MatematykaETId I.Gorgol Przebiegzmienno´scifunkcjiTwierdzeniaowarto´sci´sredniejWzórTaylora

Punktprzegi˛eciawykresufunkcji

MatematykaETId I.Gorgol Przebiegzmienno´scifunkcjiTwierdzeniaowarto´sci´sredniejWzórTaylora

Punktprzegi˛eciawykresufunkcji

DEFINICJA Niechfunkcjafb˛edzieokre´slonairó˙zniczkowalna

przynajmniejwotoczeniupunktux 0 .Punkt ( x 0 , f ( x 0 ))

nazywamy punktemprzegi˛ecia wykresufunkcjifwtedyitylko

wtedy,gdyistniejeliczba d > 0taka,˙zefunkcjafjestwypukła

na ( x 0 − d , x 0 ) orazwkl˛esłana ( x 0 , x 0 + d ) lubodwrotnie.

MatematykaETId I.Gorgol Przebiegzmienno´scifunkcjiTwierdzeniaowarto´sci´sredniejWzórTaylora

Punktprzegi˛eciawykresufunkcji

DEFINICJA Niechfunkcjafb˛edzieokre´slonairó˙zniczkowalna

przynajmniejwotoczeniupunktux 0 .Punkt ( x 0 , f ( x 0 ))

nazywamy punktemprzegi˛ecia wykresufunkcjifwtedyitylko

wtedy,gdyistniejeliczba d > 0taka,˙zefunkcjafjestwypukła

na ( x 0 − d , x 0 ) orazwkl˛esłana ( x 0 , x 0 + d ) lubodwrotnie.

Warunekkoniecznyistnieniapunktu

przegi˛ecia:

TWIERDZENIE Je˙zelifunkcjafposiadapochodn˛adrugiego

rz˛eduwpunkciex 0 orazposiadawpunkcjie ( x 0 , f ( x 0 )) punkt

przegiecia,tof 00 ( x 0 )= 0.

MatematykaETId I.Gorgol Przebiegzmienno´scifunkcjiTwierdzeniaowarto´sci´sredniejWzórTaylora

Iwarunekdostatecznyistnieniapunktuprzegi˛ecia

TWIERDZENIE Niechx 0 2 R ifb˛edziefunkcj˛aokre´slon˛a

przynajmniejwotoczeniupunktux 0 ,ci˛agł˛airó ˙ zniczkowaln˛aw

punkciex 0 .Je˙zeliistnieje d > 0takie,˙ze

A ^

x 2( x 0 − d , x 0 )

f 00 ( x )> 0oraz ^

x 2( x 0 , x 0 + d )

f 00 ( x )< 0

lub

B ^

x 2( x 0 − d , x 0 )

f 00 ( x )< 0oraz ^

x 2( x 0 , x 0 + d )

f 00 ( x )> 0,

towpunkcie ( x 0 , f ( x 0 )) funkcjafmapunktprzegi˛ecia.