DISTANCE.DOC

O PROBLEMIE ODLEGŁOŚCI W KOSMOLOGII

Jerzy Sikorski

    Od czasu do czasu pojawia się w mediach doniesienie o odkryciu przez astronomów jakiegoś rekordowo odległego obiektu - galaktyki lub kwazara - którego badanie dostarcza nam nowej wiedzy o wszechświecie. Podaje się przy tym także wyznaczoną odległość wyrażającą się zwykle liczbą wielu miliardów lat świetlnych. W tym momencie odbiorca takiej informacji , który zawodowym astronomem nie jest, ale którego zagadnienia te interesują, może mieć pewne wątpliwości co do interpretacji odebranej wiadomości. Wiedząc o skończonej prędkości światła oraz o ekspansji kosmologicznej można przecież domyśleć się, że przed miliardami lat nasz obiekt był w zupełnie innej odległości od naszej Galaktyki niż jest obecnie. Jak należy w takim razie rozumieć odległość do takich obiektów..

     W niniejszym artykule próbuję przybliżyć ten problem. Dla zawodowego astronoma kosmologa  są to sprawy dobrze znane lecz dla szerszego kręgu czytelników Uranii-PA zapewne warte opisania. Nie jest to jednak tekst całkiem popularny. Zawiera sporo wzorów i wymaga pewnej wiedzy matematycznej oraz fizycznej, przynajmniej na poziomie bardzo dobrej szkoły średniej.

      Zapewne każdy niemal z naszych czytelników zetknął się z prawem Hubble'a w klasycznej postaci . Prawo to zaliczane do największych odkryć astronomii XX wieku  uświadomiło nam fakt ekspansji naszego wszechświata a przy okazji stało się jedną z metod wyznaczania odległości w skali kosmologicznej. Od ponad siedmiu dziesięcioleci trwa obserwacyjna weryfikacja wartości liczbowej stałej Hubble'a , Ho. Zwykle wykorzystuje się do tego celu obserwacje cefeid lub supernowych w innych galaktykach. Obecnie najczęściej przyjmowana jest wartość km/s/Mpc. Jak wiemy, podstawową obserwablą przy wykorzystywaniu prawa Hubble'a jest wielkość przesunięcia linii widmowych , , w widmie badanego obiektu. Gdy przesunięcia są stosunkowo niewielkie korzystać możemy z nierelatywistycznej wersji wzoru Dopplera na prędkość radialną  . W ogólniejszym jednak przypadku korzystać musimy z pełnej relatywistycznej postaci wzoru Dopplera

                                                                                                          (1)

Jak widać z (1) nie tylko czysto radialna składowa prędkości, vr , jest istotna lecz także całkowita wartość  v  względnej prędkości obiektu i obserwatora.  Jednak przy analizie bardzo odległych obiektów można w pierwszym przybliżeniu zaniedbać ich ruchy własne w  macierzystej gromadzie galaktyk i utożsamić . Wówczas z formuły (1) dostaniemy

                                                                                                             (1a)

Z dość dobrym przybliżeniem można zaakceptować jako granicę stosowalności formuły nierelatywistycznej wartość . Dla tej liczby otrzymamy bowiem z formuły nierelatywistycznej prędkość oddalania się obiektu km/s zaś z formuły relatywistycznej km/s. Różnica jest więc ok. 7%. Wykorzystując prawo Hubble'a z wartością Ho = 65 km/s/Mpc dostaniemy w pierwszym przypadku odległość ok. 2.25 mld. lat świetlnych zaś w drugim ok. 2.1 mld. lat świetlnych. W tym miejscu można już jednak postawić sobie pewne istotne pytania:

1) Czy wolno nam, operując już w skali miliardów lat, używać stałej wartości Ho wyznaczonej na podstawie obserwacji stosunkowo bliskich galaktyk odległych najwyżej o kilkaset milionów lat świetlnych.

2) Co w ogóle oznacza odległość w sytuacji gdy operujemy miliardami lat świetlnych. Czy chodzi o odległość obiektu w chwili emisji widocznego dziś światła (co miało miejsce przed miliardami lat) czy też o jego odległość od nas w chwili obecnej. Przecież na skutek globalnej ekspansji odległości kosmologiczne miedzy obiektami zwiększają się stale i w skali miliardów lat nie sposób tego nie uwzględniać.

3) Jaką właściwie drogę przebywa światło od dalekiego obiektu do nas? Wyemitowane światło biegnie ze skończoną prędkością, trwa to bardzo długo (według czasu kosmologicznego) a jednocześnie trwa ekspansja i wzajemne oddalanie się obiektu od miejsca przyszłej obserwacji. Przebyta droga nie będzie więc równa ani odległości początkowej (w chwili emisji widocznych dziś fotonów) ani odległości obecnej w chwili dokonywania obserwacji.

      Widzimy więc, że problem odległości w kosmologii nie jest wcale taki trywialny. Do dyspozycji mamy bowiem tylko dwie wielkości - zmierzoną dla obiektu wartość "poczerwienienia" kosmologicznego, , oraz wyznaczoną dla dzisiejszej epoki wartość stałej Ho. Przy pomocy tych dwóch liczb wyrazić musimy poszukiwaną odległość. Jednakże zagadnienie, o którym tu piszemy nie jest nowe. Jego rozwiązanie znane jest kosmologom od kilkudziesięciu lat i opisane w wielu akademickich monografiach (np. [1], [2], [3]) . Warto więc może przybliżyć je także tym czytelnikom, dla których fachowe monografie z różnych przyczyn są niedostępne.

      Zawarty w zaznaczonej ramce przypis przypomina kilka podstawowych dla kosmologii równań i zależności przydatnych dla analizy używanych dalej formuł.  Widać z nich natychmiast, że odpowiedź na nasze powyższe pytanie (1) jest negatywna. Nie można dzisiejszej wartości stałej Ho używać wprost w prawie Hubble'a dla obiektów dalszych niż kilkaset milionów lat świetlnych.

     Odpowiedź na pytanie (2) znana była już pod koniec lat 50-tych. Rozwiązanie znalezione zostało m.in. przez Mattiga w 1958 r. Podamy tu, bez nieco żmudnego wyprowadzenia, końcowe rezultaty jego rozważań.  Jeśli obserwujemy obiekt z przesunięciem linii w widmie równym to obecnie znajduje się on w odległości  do wyrażającej się formułą

                                                                                          (2)

gdzie parametr charakteryzuje typ modelu kosmologicznego (patrz ramka) zaś Ho to wartość stałej Hubble'a w dzisiejszej epoce. Obiekt ten w chwili wyemitowania widocznego dziś światła (czyli np przed miliardami lat)   znajdował się w odległości d1 równej

                                                                                                                               (3) 

Zauważmy, że dla modelu z geometrią euklidesową (k = 0 i W = 1 ) formuła (2) daje nam

                                                                                                             (4)

Dla małych wartości z<<1 możemy w (4) zastosować rozwinięcie w szereg

                                                                               (5)

a stąd już tylko krok do klasycznej formuły Hubble'a  .

Przypis I.

   Podstawowe równanie kosmologiczne (bez stałej kosmologicznej oraz przy zaniedbaniu ciśnienia materii wypełniającej wszechświat) ma postać

                                                                                                                      (I.1)

gdzie r to średnia gęstość materii we wszechświecie, R(t) - tzw. kosmologiczny czynnik skali opisujący ekspansję kosmologiczną, kropka oznacza pochodną po czasie zaś k = 0, +1, -1 odpowiada trzem znanym typom modeli kosmologicznych Friedmana. W szczególności modelowi o geometrii euklidesowej (k = 0) odpowiada tzw. "krytyczna" średnia gęstość materii, rc. Odległość między dwoma punktami (obiektami), d, w chwili t  można zapisać jako , gdzie to wektor jednostkowy. Po czasie Dt odległość ta zwiększy się na skutek ekspansji i będzie wynosiła . Możemy więc napisać prostą proporcję

                                                                                                                                (I.2)

Przyrost odległości wyniesie więc

                                                                                                   (I.3)

zaś tempo wzajemnego oddalania się

                                                                                                        (I.4)

co po przejściu w granicy do pochodnej możemy zapisać

                                                                                                                                         (I.4a)

Porównując z prawem Hubble'a v = H d  widzimy, że 

                                                                                                                                             (I.5)

Tak więc parametr Hubble'a H nie jest wielkością stałą lecz jest funkcją czasu a konkretna postać H(t) zależy od rozważanego modelu kosmologicznego..

W szczególności rozwiązując równanie (I.1) dla przypadku z k=0 otrzymamy

                                                                                                                  (I.6)

(indeks zero odnosi się zawsze do obecnej chwili to).  Po zróżniczkowaniu po czasie i wstawieniu do (I.5) otrzymujemy

                                                                                                                               (I.7)

Dla dzisiejszej chwili to (obecny wiek wszechświata) mamy właśnie wielkość  Ho = H(to) wyznaczaną obserwacyjnie z relatywnie bliskich galaktyk. Stąd zaś .

Nasze równanie kosmologiczne (I.1) możemy więc zapisać

                                                                                                                     (I.8)

zaś tzw. gęstość krytyczną rc (dla k=0)

                                                                                                                                    (I.9)

Wprowadza się też tzw. parametr , który dla modeli z k=+1 jest W>1 zaś dla k=-1 W<1.

Weźmy dla przykładu jeden z rekordowo "poczerwienionych" obiektów mających z = 5.25. Wówczas dla modelu z k=0 (W=1) oraz Ho=65 km/s/Mpc otrzymamy z (4) do = 18 mld. lat świetlnych zaś d1 =do/(z+1) = 2.88 mld. lat świetlnych.  Widać, że na wartość do możemy otrzymać nawet więcej miliardów lat świetlnych niż wynosi szacowany wiek wszechświata w miliardach lat wyrażony. Nie ma w tym jednak nic dziwnego gdyż wszechświat z k=0 ma prawo być przestrzennie nieskończony. Dziś widzimy z naszego obiektu światło wysłane w chwili gdy odległość wynosiła d1 zaś obecnie jest on w odległości do a wysłane z niego dziś światło doleci do naszej Galaktyki po kolejnych wielu miliardach lat. Lecz wówczas on sam być może nie będzie już istniał.

   Z formuły (4) - cały czas dla W=1 - możemy obliczyć największą teoretycznie możliwą odległość do. Odpowiada to przejściu do granicy .Otrzymamy wówczas

                                                                                                                                (6)

Ponieważ jednocześnie dla takiego modelu mamy (patrz przypis w ramce) więc graniczne .Przyjmując przykładowo obecny wiek wszechświata to = 15 mld. lat mielibyśmy (teoretycznie) największe możliwe do ok. 45 mld. lat świetlnych. Jest to jedna z możliwych definicji promienia tzw. horyzontu kosmologicznego  RH(t) = 3ct.

     Przejdźmy teraz do wyrażonego wcześniej pytania (3) dotyczącego drogi, jaką przebywa światło od chwili wyemitowania przez rozważany obiekt aż  do chwili jego obecnej obserwacji. Korzystając z (3) oraz z faktu, że każdy dystans można zapisać otrzymać możemy

                                                                                                                     (7) 

Przywołajmy jeszcze wzór (I.6) w ramce - - oraz związki i . Wszystko to wstawione do (7) pozwala po uporządkowaniu napisać

                                                                                                                                (8)  

Otrzymaliśmy więc związek pomiędzy mierzoną wielkością "z"  a wiekiem wszechświata, t , w chwili emisji widocznego dziś światła z tego obiektu. Możemy (8) przekształcić do postaci

                                                                                                                                   (8a)

Światło biegło więc od obiektu do nas przez czas

                                                                                                     (9)

i przebiegło dystans

                                                                                                  (10)

Odległość ta nazywana bywa  "odległością własną" (z ang. proper distance ) obiektu . Widać, że tu w granicy gdy mamy Jest to jeszcze jeden rodzaj definiowania odległości kosmologicznych oprócz wprowadzonych wcześniej wielkości do i d1. 

      Powróćmy raz jeszcze do odległości d1 = do/(z+1). Korzystając ze wzoru Mattiga (4) dla W = 1  oraz z wykorzystywanego już parokrotnie związku możemy przepisać (4) w postaci

                                                                                                             (11)

Wykorzystamy również zdefiniowany wcześniej promień horyzontu RH = 3ct. Mnożąc stronami (8a) przez 3c mamy

                                                                                                             (12)

Patrząc na (11) i (12) widzimy, że

                                                                                                         (13)

Łatwo sprawdzić, że dla z>3 mamy d1 > RH czyli nasz obiekt był w chwili emisji widocznego dziś światła poza "naszym" ówczesnym horyzontem kosmologicznym . Ponieważ promień horyzontu narasta liniowo z wiekiem wszechświata () zaś wzajemne odległości zmieniają się jak (czyli wolniej) a więc nasz analizowany obiekt obecnie, w chwili to , jest już w obrębie naszego horyzontu, chociaż jego obserwowane obecnie światło pochodzi sprzed miliardów lat..

     Można też sprawdzić, że funkcja d1(z) z formuły (11) ma ekstremum dla z=1.25 . Czytelnik znający rachunek różniczkowy i sposoby szukania ekstremów funkcji łatwo to sobie wyliczy. Na użytek pozostałych czytelników prześledzimy to w poniższej tabelce, gdzie przyjęto przykładowo wartość to = 15 mld. lat.