stany_nieutsalone.pdf

(499 KB) Pobierz
STAN NIEUSTALONY – POJĘCIA PODSTAWOWE
STANY NIEUSTALONE W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
st. kpt.dr inż. Józef Szmitkowski
STAN NIEUSTALONY – POJĘCIA PODSTAWOWE
METODA KLASYCZNA
1. WPROWADZENIE
Wyobraźmy sobie dowolny liniowy obwód pasywny, na który działamy zdeterminowanym
wymuszeniem x ( t ) określonym dla t ∈(-∞,+∞). Jeśli interesuje nas funkcja określonej wielkości fizycznej
w tym obwodzie, to możemy nazywać ją odpowiedzią r ( t ) obwodu na istniejące wymuszenie x ( t ).
x (t) r (t)
P
Dotychczas rozpatrywaliśmy obwody w stanie ustalonym - co oznaczało, że moment włączenia
źródła wymuszającego do obwodu był nieskończenie odległy od momentu obserwacji. Wówczas
wszystkie napięcia i prądy występujące w obwodzie miały ten sam charakter, co wymuszenie.
Jeśli w jakimś momencie czasu ( t k ) nastąpi dowolna
zmiana warunków pracy obwodu
zmiana sygnału wymuszającego (np. zmiana parametrów
sygnału, w tym także załączenia lub
wyłączenia)
KOMUTACA
zmiana struktury obwodu (np. odłączenie elementu, dołączenie
elementu dodatkowego)
zmiana parametrów obwodu
to nowe warunki wymuszają oczywiście inną funkcję odpowiedzi układu, czyli inny stan ustalony.
Przejście od jednego stanu ustalonego do drugiego - przejście zapoczątkowane w chwili komutacji
( t k ) - trwa pewien określony czas, który nazywamy czasem trwania stanu nieustalonego ( t ∞ ) a stan układu,
w którym znajduje się on w przedziale czasu [ t k , t ∞ ], nazywamy STANEM NIEUSTALONYM
1
677196847.009.png
rt
()
t k
t
t
0
stan
nieustalony
I stan
ustalony
II stan
ustalony
rt
()
I stan
ustalony
t k
stan
nieustalony
t
II stan
ustalony
t
Przyjmujemy założenie, że czas trwania komutacji jest równy zeru, tzn. wszystkie zmiany
odbywają się bezzwłocznie.
2. PRAWA KOMUTACJI – WARUNKI POCZĄTKOWE
Na podstawie zasady ciągłości energii w obwodzie oraz pamiętając, że wartość energii
nagromadzonej
w polu magnetycznym cewki o
indukcyjności L , przez którą przepływa prąd
w polu elektrycznym kondensatora o
pojemności C , naładowanego do napięcia u C
wynosi
i L wynosi
W
() ()
t
=
1
L
i
2
t
(2.1)
W
() ()
=
1
C
u
2
t
(2.2)
L
L
C
C
2
2
Możemy sformułować dwa prawa komutacji:
Pierwsze prawo komutacji
Drugie prawo komutacji
Prąd płynący przez cewkę nie może ulec
skokowej zmianie, co oznacza, że prąd cewki
Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się
skokowo, co oznacza, że napięcie na
w chwili tuż przed komutacją równa się
kondensatorze w chwili tuż przed komutacją jest
prądowi tuż po komutacji
równe napięciu tuż po komutacji
i
L
( ) ( )
0
− = 0
i
L
+
(2.3)
u
C
( ) ( )
0
− = 0
u
C
+
(2.4)
2
t
677196847.010.png 677196847.011.png 677196847.012.png 677196847.001.png 677196847.002.png 677196847.003.png
Warunki początkowe
stanowią zbiór wartości prądów w indukcyjnościach i napięć na
pojemnościach układu w chwili początkowej. Warunki
początkowe określają całkowitą wartość energii zgromadzonej
w układzie w chwili t K =0.
Wyznaczenie warunków początkowych w obwodzie wiąże się z rozwiązaniem stanu ustalonego
obwodu przed komutacją, określeniem postaci czasowej tego rozwiązania na prądy cewek i napięcia
kondensatorów oraz wyznaczeniem rozwiązania odpowiadającego chwili czasowej komutacji. Oznacza
to, iż podstawą do ustalenia warunków początkowych obwodu są prawa komutacji.
Warunki początkowe mogą być zerowe, jeśli prądy wszystkich cewek i napięcia kondensatorów w
chwili komutacji miały wartości zerowe.
3. ANALIZA STANÓW NIEUSTALONYCH
Wyznaczenie rozwiązań obwodów w stanie nieustalonym
Metoda klasyczna
Metoda operatorowa
polegająca na bezpośrednim
rozwiązaniu równań różniczkowych
(zwyczajnych, liniowych o stałych
współczynnikach)
wykorzystująca właściwości
przekształcenia Laplace’a .
4. METODAKLASYCZNA
Modelem matematycznym obwodu elektrycznego, o dowolnej konfiguracji, jest układ równań
różniczkowo-całkowych, wynikających z praw Kirchhoffa i definicji elementów R , L i C . W celu
wyznaczenia poszukiwanych prądów i napięć wszystkie równania należy sprowadzić do układu równań
różniczkowych o postaci ogólnej
d
r
()
t
=
a
r
() () () ()
+
a
r
t
+
...
+
a
r
t
+
x
t
11
1
12
2
1
n
n
1
dt
()
d
r
t
() ()
() ()
2
=
a
r
t
+
a
r
t
+
...
+
a
r
t
+
x
t
21
1
22
2
2
n
n
2
dt
(4.1)
() ()
M
d
r
()
t
=
a
r
() ()
+
a
r
t
+
...
+
a
r
t
+
x
t
n
1
1
n
2
2
nn
n
n
dt
3
1
t
n
t
677196847.004.png 677196847.005.png
gdzie: r 1 ( t ) ... r n ( t ) – zmienne oznaczające prądy cewek lub napięcia kondensatorów (tzw. zmienne
stanu); stałe współczynniki a ij stanowią kombinację wartości parametrów R , L , C ; funkcje x 1 ( t ) ...
x n ( t ) związane są z wymuszeniami w postaci źródeł napięciowych i prądowych; liczba równań n
zależy od liczby reaktancji w obwodzie.
Rozwiązując układ równań z uwagi na poszukiwaną funkcję odpowiedzi r ( t ) przy znanym
wymuszeniu x ( t ) otrzymujemy równanie różniczkowe zwyczajne, liniowe o stałych współczynnikach n -
tego rzędu o postaci:
d
n
r
()
t
d
n
−
1
r
( )
t
d
r
( )
t
() ()
a
+
a
+
...
+
a
+
a
r
t
=
x
t
(4.2)
n
dt
n
n
−
1
dt
n
−
1
1
dt
0
Rozwiązaniem równania (4.6) określającym analityczną postać odpowiedzi r ( t ) jest tak zwana
całka ogólna równania niejednorodnego ( C.O.R.N. )
r =
(
t
)
C
.
.
.
.
(4.3)
Teoria równań różniczkowych mówi, że jest ona sumą dwóch składowych: całki ogólnej równania
jednorodnego ( C.O.R.J .) i całki szczególnej równania niejednorodnego ( C.S.R.N .). Zatem
r =
t
)
C
.
.
.
.
=
C
.
.
.
.
+
C
.
.
.
.
(4.4)
składowa odpowiedzi
składowa odpowiedzi
niezależna od wymuszenia
wywołana przez wymuszenia
oznaczana r S ( t ) i nazywana
składową swobodną
oznaczana r W ( t ) i nazywana
składową wymuszoną
(przejściową) odpowiedzi
(ustaloną) odpowiedzi
Czyli
r
(
t
)
=
r S
(
t
)
+
r W
(
t
)
(4.5)
4
(
677196847.006.png
Składowa swobodna r S ( t ) opisuje procesy
Składowa wymuszona r W ( t ) opisuje stan
ustalony w obwodzie przy działającym
wymuszeniu, może być zatem łatwo
zachodzące w obwodzie na skutek niezerowych
warunków początkowych przy braku wymuszeń
wyznaczona dowolną metodą analizy
zewnętrznych. Odpowiada ona obwodowi, w
obwodów.
którym wszystkie źródła napięciowe zwarto a
prądowe rozwarto. Składowa przejściowa
zależy jedynie od warunków początkowych,
Cechą charakterystyczną r S ( t ) jest jej
zanikanie z biegiem czasu do zera
struktury obwodu i wartości parametrów tego
[ ] 0
obwodu.
lim
r
S
(
t
)
=
(4.6)
t
→
+∞
Równanie składowej swobodnej r S ( t ) otrzymuje się zakładając wymuszenie x ( t ) we wzorze (4.2)
równe zeru i zastępując zmienną r ( t ) poprzez jej składową swobodną r S ( t )
d
n
r
()
d
n
−
1
r
( )
d
r
( )
() 0
a
S
+
a
S
+
...
+
a
S
+
a
r
t
=
(4.7)
n
n
−
1
1
0
S
dt
n
dt
n
−
1
dt
Rozwiązanie równania jednorodnego (4.7) uzyskuje się za pośrednictwem równania charakterystycznego,
które ma postać
a
s
n
+
a
s
n
−
1
+
...
+
a
s
+
a
=
0
(4.8)
n
n
−
1
1
0
jeśli wielomian ten posiada tylko pierwiastki pojedyncze s i ( i =1,2, ... n ), to
r
S
(
t
)
= n
=
A
i
e
s
i
t
(4.9)
i
1
gdzie współczynniki A i ( i =1,2, ... n ) są stałymi całkowania, których wartości wyznacza się opierając się
na znajomości warunków początkowych.
5
t
t
t
677196847.007.png 677196847.008.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin