Zasada Tellegena
W każdym obwodzie moc chwilowa pobierana przez cały obwód, równa sumie mocy pobieranych przez wszystkie gałęzie, w każdej chwili jest równa zeru.
Moc chwilowa pobierana przez k-tą gałąź jest równa pk = ukik, więc moc chwilowa pobierana przez cały obwód o b gałęziach wyraża się następująco
gdzie u, i – wektory napięć i prądów gałęziowych są b-elementowymi macierzami kolumnowymi, a T oznacza transpozycję macierzy.
Korzystając z powyższego równania zasadę Tellegena wyrażamy następująco
lub
Można wykazać, że zasada Tellegena jest konsekwencją obu praw Kirchhoffa. Oznacza to, że ze spełnienia obu praw Kirchhoffa wynika spełnienie zasady Tellegena.
Zasada Tellegena obowiązuje zarówno w obwodach liniowych jak i nieliniowych.
Elementy topologii obwodów
Topologia obwodów zajmuje się tymi właściwościami obwodów skupionych, które dotyczą struktury połączeń poszczególnych elementów obwodu. Elementarnymi pojęciami stosowanymi w topologii obwodów są: węzeł i gałąź.
Węzłem nazywamy punkt połączenia dwóch lub większej liczby elementów obwodu. Wielkością elektryczną, która związana jest z węzłem, jest jego potencjał względem węzła odniesienia o potencjale równym zero.
Gałęzią nazywamy jeden lub kilka elementów włączonych między dwoma węzłami. Wielkościami elektrycznymi związanymi z gałęzią są prąd i napięcie gałęzi równe różnicy potencjałów węzłów, między którymi włączona jest gałąź.
Gałąź dołączoną do węzła nazywamy gałęzią incydentną z tym węzłem.
Grafem G obwodu nazywamy odwzorowanie, które każdej gałęzi bi Î B przyporządkowuje jednoznacznie parę ni, nj Î N; gdzie: B - zbiór gałęzi rozpatrywanego obwodu, N - zbiór węzłów tego obwodu.
Rys. 2.1. Przykład obwodu o 6 gałęziach i czterech węzłach a) obwód b) graf
Graf obwodu z rys. 2.1a można zdefiniować następująco
Obwodowi z oznaczonymi zwrotami prądów w gałęziach przyporządkowuje się graf skierowany, który można przedstawić w postaci rysunku (rys. 2.1b), gdzie każdą gałąź obwodu zastępujemy odcinkiem linii ze strzałką, o takim zwrocie jak zwrot prądu. Taki odcinek nazywamy krawędzią lub gałęzią grafu. Węzłom obwodu przyporządkowuje się punkty o tych samych numerach co numery węzłów obwodu. Punkty te nazywamy wierzchołkami lub węzłami grafu.
Ścieżka
Ciąg gałęzi nazywamy ścieżką łączącą węzły nj, nk, jeśli:
· kolejne gałęzie mają jedną wspólną końcówkę,
· żaden węzeł nie stanowi końcówki więcej niż dwóch gałęzi ciągu.
Inaczej mówiąc, ścieżka jest drogą pomiędzy dwoma węzłami, nie tworząca linii zamkniętej.
Graf spójny
Graf nazywamy spójnym, jeśli istnieje ścieżka między każdymi dwoma węzłami grafu. Graf, który nie jest spójny nazywamy rozłącznym.
Oczko (kontur)
Oczkiem nazywamy spójny podgraf, w którym każdy węzeł stanowi końcówkę dokładnie dwóch gałęzi. Oczku nadaje się zwrot zgodny lub przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Oczko z zaznaczonym zwrotem nazywamy oczkiem zorientowanym.
Drzewo
Drzewem nazywamy podgraf, który jest:
· spójny,
· zawiera wszystkie węzły grafu,
· nie zawiera oczek.
Przykłady drzew grafu z rys. 2.1b pokazano na rys. 2.2.
Rys. 2.2. Przykłady drzew obwodu z rys. 2.1b
Gałęzie nie należące do drzewa nazywamy cięciwami. Dla grafu spójnego o n węzłach każde drzewo ma dokładnie n-1 gałęzi. Jeżeli z grafu wybierze się n-1 gałęzi, tak aby nie tworzyły oczka, to gałęzie te stanowić będą drzewo.
Rozcięcie (przekrój)
Zbiór gałęzi grafu spójnego nazywamy rozcięciem, jeśli:
· usunięcie z grafu tego zbioru gałęzi (bez końcówek) powoduje, że graf staje się niespójny,
· powrót jakiejkolwiek jednej gałęzi zbioru do grafu powoduje, że staje się on ponownie spójny.
Rys. 2.3. Przykłady rozcięć
Macierz węzłowa (macierz incydencji)
Informacje zawarte w grafie skierowanym można w pełni zapisać za pomocą macierzy węzłowej. Pełną macierzą węzłową Aa obwodu o n węzłach i b gałęziach jest macierz o n wierszach i b kolumnach, gdzie:
· aij=1, jeśli i-ty węzeł jest końcem j-tej gałęzi (strzałka skierowana od węzła i-tego),
· aij=-1, jeśli i-ty węzeł jest początkiem j-tej gałęzi (strzałka skierowana do i-tego węzła),
· aij=0, jeśli j-ta gałąź nie jest incydentna z i-tym węzłem.
Rys. 3.1. Graf z zaznaczonymi węzłami
Dla grafu z rys. 3.1 mamy
Każda kolumna pełnej macierzy węzłowej ma dokładnie dwa elementy różne od zera. Bez zmniejszenia ilości zawartych informacji możemy z takiej macierzy wykreślić dowolny wiersz. Wiersz taki można zawsze odtworzyć, korzystając z własności, że suma elementów każdej kolumny pełnej macierzy węzłowej jest równa zeru.
Macierz otrzymaną przez wykreślenie z pełnej macierzy węzłowej Aa dowolnego wiersza nazywamy macierzą węzłową (macierzą incydencji) A. Węzeł odpowiadający skreślonemu węzłowi nazywamy węzłem odniesienia. Pozostały zbiór węzłów nazywamy układem węzłów niezależnych.
Macierz węzłowa ma następujące właściwości:
· wiersze macierzy węzłowej A są liniowo niezależne,
· jeśli A jest macierzą węzłową grafu spójnego mającego n węzłów, to n – 1 kolumn macierzy A jest liniowo niezależnych wtedy i tylko wtedy, gdy gałęzie odpowiadające tym kolumnom tworzą drzewo grafu.
Wynika stąd, że jeśli macierz A zostanie podzielona następująco
gdzie kolumny macierzy AT odpowiadają gałęziom drzewa, a kolumny macierzy AL odpowiadają cięciwom, to
Przykładowo, jeżeli dla grafu z rys. 3.1 jako drzewo wybierzemy gałęzie (4, 5, 6) i jako węzeł odniesienia wybierzemy węzeł (0), to otrzymamy
Macierz rozcięć
Pełną macierzą rozcięć Da grafu skierowanego mającego nc zorientowanych (z zaznaczonymi zwrotami) rozcięć oraz b gałęzi jest macierz o nc wierszach i b kolumnach, gdzie:
· dij=1, jeśli gałąź j należy do rozcięcia i oraz ma ten sam zwrot co rozcięcie,
· dij=-1, jeśli gałąź j należy do rozcięcia i oraz ma przeciwny zwrot niż rozcięcie,
· dij=0, jeśli gałąź j nie należy do rozcięcia i.
Rys. 3.2. Graf z oznaczonymi rozcięciami
Graf z rys. 3.2 ma sześć rozcięć, a odpowiadająca mu pełna macierz rozcięć ma postać
Po wykreśleniu z pełnej macierzy Da takiej minimalnej liczby wierszy, aby pozostałe wiersze były liniowo niezależne, otrzymuje się macierz rozcięć D.
Dla grafu spójnego o n węzłach macierz rozcięć D ma (n – 1) wierszy. Każdy zbiór rozcięć, którym odpowiadają liniowo niezależne wiersze macierzy Da, nazywamy układem rozcięć niezależnych.
Macierz rozcięć otrzymuje się korzystając z drzewa obwodu i stosując następujące zasady:
· każda gałąź drzewa razem z pewną liczbą cięciw tworzy rozcięcie,
· zwrot rozcięcia przyjmuje się zgodny z ze zwrotem odpowiadającej mu gałęzi drzewa.
Tak wybrane rozcięcia nazywamy rozcięciami fundamentalnymi. Graf spójny mający n węzłów ma n – 1 gałęzi drzewa, a zatem również n – 1 rozcięć fundamentalnych.
Jeżeli dla grafu z rys. 3.2 drzewo zostanie utworzone z gałęzi (1, 3, 4) to macierz rozcięć będzie następująca
Nie wszystkie możliwe zbiory rozcięć niezależnych mogą być utworzone na podstawie odpowiadającego im drzewa. Na przykład zbiorowi rozcięć niezależnych (1, 2, 3) nie odpowiada żadne drzewo.
Macierz D może być podzielona następująco
gdzie kolumny macierzy jednostkowej I odpowiadają gałęziom drzewa, a kolumny macierzy DL odpowiadają cięciwom.
Macierz oczkowa
Pełną macierz oczkową Ba grafu skierowanego o b gałęziach i nl zorientowanych oczkach jest macierz o nl wierszach i b kolumnach, w gdzie:
· aij=1, jeśli gałąź j należy do oczka i oraz ma ten sam zwrot co oczko,
· aij=-1, jeśli gałąź j należy do oczka i, a ma przeciwny zwrot niż oczko,
· aij=0, jeśli gałąź j nie należy do oczka i.
Rys. 3.3. Graf z oznaczonymi oczkami
Pełna macierz oczkowa grafu z rys. 3.3 ma postać
Wiersze macierzy oczkowej nie są liniowo niezależne. Po wykreśleniu z pełnej macierzy oczkowej Ba takiej minimalnej liczby wierszy, aby pozostałe wiersze były liniowo niezależne, otrzymuje się macierz oczkową B.
Dla grafu spójnego mającego b gałęzi i n węzłów macierz oczkowa B ma b – n + 1 wierszy. Każdy zbiór oczek, którym odpowiadają liniowo niezależne wiersze macierzy Ba nazywa się układem oczek niezależnych.
Macierz oczkową otrzymuje się korzystając z drzewa obwodu i stosując następujące zasady:
· każda cięciwa razem z jedną i tylko jedną ścieżką drzewa tworzy oczko,
· zwrot oczka przyjmuje się zgodnie ze zwrotem cięciwy.
Tak wybrane oczka nazywane są oczkami fundamentalnymi. Graf spójny mający n węzłów i b gałęzi ma b – n + 1 cięciw, a zatem również b – n + 1 oczek fundamentalnych.
...
haslo12344