Rozdział 1. Elementy logiki              9             

1. Elementy logiki

1.1. Rachunek zdań

Początki rachunku zdań datują się na III wiek p.n.e. Jest to jeden z najprostszych systemów logiki formalnej. Może on służyć do sprawdzania poprawności wnioskowań, czyli takich procesów myślowych, podczas których na podstawie uznania za prawdziwe jednych zdań dochodzimy do uznania kolejnego zdania.

W logice zdaniem nazywamy zdanie oznajmujące, któremu możemy przypisać w sposób jednoznaczny, w ramach danej nauki, jedną z dwóch ocen: prawda lub fałsz. W logice zdania oznaczamy zwykle małymi literami łacińskimi p, q, r…

Zdanie p: „Wszystkie kąty wewnętrzne trójkąta równobocznego mają miarę ” jest zdaniem prawdziwym w geometrii euklidesowej. Przypisujemy mu wartość logiczną 1, pisząc. Zdanie
q: „Wszystkie liczby pierwsze są liczbami nieparzystymi” jest zdaniem fałszywym w arytmetyce, ponieważ 2 jest liczbą pierwszą. Dlatego przyjmując 0 jako wartość logiczną takiego zdania, piszemy symbolicznie . W matematyce istnieją zdania, które posiadają ustaloną wartość logiczną, ale nie potrafimy jej podać. Są to tzw. hipotezy matematyczne. Znana hipoteza Goldbacha (z 1742 r.) mówi, że „Każda liczba parzysta większa niż 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych”. Do chwili obecnej matematykom nie udało się udowodnić prawdziwości tego twierdzenia, ale także nie udało im się znaleźć kontrprzykładu, który by tę hipotezę obalał.

W matematyce, oprócz zdań, posługujemy się często funkcjami zdaniowymi (formami zdaniowymi). Równanie postaci nie jest zdaniem, bo nie posiada wartości logicznej. Jeżeli natomiast w miejsce x postawimy konkretną liczbę, to otrzymamy pewną równość, która może być prawdziwa lub fałszywa. Np. dla otrzymujemy równość prawdziwą „”, a dla − równość fałszywą „”.

Niech X będzie pewną przestrzenią zawierającą przynajmniej jeden element. Wyrażenie , w którym występuje zmienna x i które staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy w miejsce x podstawimy dowolny element z przestrzeni X, nazywamy funkcją zdaniową jednej zmiennej x
o zakresie zmienności X.

Przykładami funkcji zdaniowych o zakresie zmienności R (zbiór liczb rzeczywistych) są równania „”, „”, „” oraz nierówności „”, „”, „”. Pojęcie funkcji zdaniowej możemy rozszerzyć na funkcję zdaniową większej ilości zmiennych; np. równanie „” jest funkcją zdaniową dwóch zmiennych.

O elemencie a zbioru X mówimy, że spełnia funkcję zdaniową jeżeli zdanie jest zdaniem prawdziwym. Zbiór elementów spełniających funkcję zdaniową o zakresie X ozna­czamy symbolem Analogiczne oznaczenia obowiązują dla funkcji zdaniowych większej ilości zmiennych.

Przykład.

Z danych zdań lub funkcji zdaniowych możemy tworzyć nowe zdania lub funkcje zdaniowe za pomocą słów: „i”, „lub”, „jeżeli…, to”, „wtedy i tylko wtedy, gdy”. Słowa te nazywamy funktorami zdaniotwórczymi lub spójnikami logicznymi.

Stwierdzenie „W tym roku Adaś zdał maturę i wyjechał do Anglii” uznamy za fałszywe, jeżeli Adaś nie zdał matury. Podobnie gdyby okazało się, że Adaś nie wyjechał do Anglii, to całą wypowiedź uznalibyśmy za fałszywą. Oczywiście, jeżeli Adaś ani nie zdał matury, ani nie pojechał do Anglii, to nasze stwierdzenie mija się z prawdą. Zdanie  „W tym roku Adaś zdał maturę i wyjechał do Anglii” jest prawdą, gdy oba zdarzenia zaszły, tzn. Adaś zdał maturę oraz pojechał do Anglii.

Spójnik „i” oznaczamy symbolem i  nazywamy znakiem koniunkcji. Zdanie nazywamy koniunkcją (lub iloczynem logicznym) zdań p i q. Koniunkcja jest zdaniem prawdziwym, jeżeli obydwa zdania p i q są zdaniami prawdziwymi; w pozostałych przypadkach koniunkcja jest zdaniem fałszywym. Możemy to zapisać przy pomocy tabeli zero-jedynkowej:

Jeżeli i y(x) są funkcjami zdaniowymi zmiennej o zakresie zmienności X, to mówimy, że element aÎX spełnia funkcję zdaniową y(x), jeżeli zdanie j(a)y(a) jest zdaniem prawdziwym; tzn. jeżeli obydwa zdania j(a) i y(a) są zdaniami prawdziwymi.

Słysząc prognozę „Jutro będą opady śniegu lub deszczu” uznamy ją za fałszywą, jeżeli następnego dnia nie spadnie ani śnieg, ani deszcz. Jeżeli natomiast spadnie sam deszcz lub sam śnieg, albo śnieg z deszczem, to prognozę uznamy za prawdziwą.

Zamiast słowa „lub” piszemy znak Ú i nazywamy go znakiem alternatywy (lub sumy logicznej). Tablica zero-jedynkowa dla alternatywy wygląda następująco:

Analogicznie definiujemy alternatywę dwóch funkcji zdaniowych. Zapis „” jest skróconym zapisem wyrażenia „ lub ”. Jest to alternatywa dwóch funkcji zdaniowych: „” oraz „”.

Często w mowie potocznej zdania łączone spójnikami występują w „skróconej” formie lub różnej postaci. W zdaniu „Kowalski jest aktorem filmowym lub teatralnym” wyrażenie  „teatralnym” jest skrótem zdania „Kowalski jest aktorem teatralnym”. Natomiast zdanie „Kowalski jest aktorem filmowym, a Nowak  teatralnym”  jest koniunkcją dwóch zdań: „Kowalski jest aktorem filmowym”
i „Nowak jest aktorem teatralnym”. Czasami w zdaniu pojawi się wyrażenie odpowiadające któremuś ze spójników, ale nie będące spójnikiem logicznym, np. „Ania i Zuzia są przyjaciółkami”.

Zastanówmy się, kiedy wypowiedź „Jeżeli będziesz grzeczny, to dostaniesz czekoladę” uznamy za prawdziwą. Jeżeli Jasio był grzeczny i dostał czekoladę lub był niegrzeczny i nie dostał czekolady, to niewątpliwie obietnica była prawdziwa. Jeżeli Jasio był grzeczny i mimo to nie dostał czekolady, to obietnica była fałszywa. Wątpliwości budzi przypade...