Rozdział 5. Funkcje liniowe 43
Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem o dziedzinie równej zbiorowi liczb rzeczywistych, gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym funkcji, a liczbę b – wyrazem wolnym. W szczególnym przypadku, gdy , funkcja liniowa ma postać i jest funkcją stałą.
Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta przechodząca przez punkt o współrzędnych i nachylona do osi OX pod takim kątem że
Uwaga. Kątem nachylenia prostej l do osi OX nazywamy kąt skierowany, którego ramię początkowe zawarte jest w osi OX i ma zwrot tej osi, zaś ramię końcowe zawarte jest w prostej l oraz miara tego kąta należy do przedziału
Funkcja liniowa ma następujące własności:
Funkcja liniowa jest:
(i) malejąca, gdy
(ii) rosnąca, gdy
(iii) stała, gdy .
Funkcja liniowa
(i) ma jedno miejsce zerowe gdy
(ii) nie ma miejsc zerowych, gdy i
(iii) ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, gdy W tym przypadku każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym tej funkcji.
Równaniem liniowym nazywamy równanie postaci gdzie Rozwiązaniem tego równania jest miejsce zerowe funkcji
Z poprzednich rozważań wynika, że równanie liniowe z jedną niewiadomą:
· posiada jedno rozwiązanie postaci gdy nazywamy je wówczas równaniem oznaczonym;
· nie ma rozwiązań, jeżeli a = 0 i nazywamy je wówczas równaniem sprzecznym;
· posiada nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli a = 0 i b = 0. Co więcej, wówczas każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem tego równania i dlatego nazywamy je równaniem tożsamościowym.
W pewnych sytuacjach całą rodzinę równań lub nierówności da się opisać przy pomocy jednego równania z parametrem lub nierówności z parametrem. Dla zilustrowania zagadnienia rozważmy następującą sytuację.
W zakładzie produkującym tkaniny na dzienny koszt produkcji składają się koszty stałe wynoszące 5000 zł dziennie i oraz koszty zmienne zależne od rodzaju danej tkanin i wynagrodzeń robotników. Należy tak zaplanować produkcję, aby koszty nie przekroczyły 50 000 zł dziennie. Załóżmy, że danego dnia produkowana jest tkanina tylko jednego rodzaju. Jeżeli koszty zmienne wynoszą 10 zł za metr bieżący wyprodukowanej tkaniny, to aby zaplanować dzienną produkcję należy rozwiązać nierówność gdzie x oznacza ilość metrów bieżących produkowanej tkaniny. Jeżeli natomiast koszty zmienne wzrosną do 15 zł za metr bieżący wyprodukowanej tkaniny, to analogiczna nierówność ma postać .
Zagadnienie powyższe w przypadku ogólnym opisuje nierówność gdzie parametr a jest kosztem zmiennym wyprodukowania metra bieżącego tkaniny. W badanym przypadku należy założyć, że .
Przykład. Rozwiążemy równanie z parametrem m:
Rozwiązanie. Po przekształceniach równoważnych otrzymujemy równanie liniowe
Przeprowadźmy dyskusję tego równania ze względu na wartość m.
10 Jeżeli i to możemy podzielić obie strony równania przez skąd otrzymamy, że . W tym przypadku równanie jest oznaczone i posiada jedno rozwiązanie.
20 Jeżeli , to równanie ma postać i jest równaniem sprzecznym.
30 Jeżeli , to równanie ma postać i jest równaniem tożsamościowym. Każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem tego równania.
Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi nazywamy każde równanie postaci a nierównością liniową z dwiema niewiadomymi – każdą z nierówności postaci gdzie przynajmniej jedna z liczb a lub b jest różna od zera.
Wykresem równania liniowego jest linia prosta o równaniu Wykresem nierówności liniowej jest jedna z półpłaszczyzn wyznaczonych przez prostą o równaniu , bez lub z tą prostą w zależności od znaku nierówności. Szczegóły wyjaśniają poniższe przykłady.
Przykłady: a) Rozwiążemy równanie
Rozwiązanie. Zachodzi równoważność
Zbiorem rozwiązań równania jest więc zbiór par liczb postaci gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Aby przedstawić graficznie znaleziony zbiór rozwiązań, należy narysować wykres funkcji liniowej
Każdy punkt leżący na tej prostej ma współrzędne, które spełniają badane równanie i odwrotnie, każde rozwiązanie równania jest parą liczb będących współrzędnymi pewnego punktu leżącego na tej prostej.
b) W ekonomii często rozważa się nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi. Zbiór rozwiązań takich nierówności przedstawia się na ogół graficznie. Rozwiążemy nierówność
Rozwiązanie. Podobnie jak poprzednio, mamy:
Na przedstawionym rysunku:
punkt ma rzędną
Rozwiązaniami nierówności są pary liczb, które są współrzędnymi punktów leżących w zaznaczonym obszarze (nad prostą o równaniu Przykładem takiej pary jest
c) Rozwiążemy nierówność
Rozwiązanie. Proste o równaniach i dzielą płaszczyznę układu współrzędnych na cztery obszary, wewnątrz których wyrażenia występujące pod znakami modułów są stałego znaku.
10
Nierówność ma postać , czyli
20
30
40
Poniższy rysunek przedstawia znaleziony zbiór rozwiązań (obszar zacieniowany):
Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań tego typu. Koniunkcję tę zapisujemy w postaci:
Z definicji równania liniowego z dwiema niewiadomymi wynika, że i . Jeżeli jedno z równań nie spełnia tego warunku, to staje się ono równaniem sprzecznym lub tożsamościowym i wówczas układ jest układem sprzeczny lub równoważny jednemu z równań z dwiema niewiadomymi; oczywiście, jeżeli oba równania są równaniami tożsamościowymi, to rozwiązaniem układu jest dowolna para liczb rzeczywistych.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest para liczb spełniających oba równania układu. Układ taki może posiadać jedno rozwiązanie (układ oznaczony), nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony) lub nie posiadać rozwiązań (układ sprzeczny).
...
Koteciek