Rozdział 6. Funkcje kwadratowe              53

6. Funkcje kwadratowe

Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję określoną wzorem

gdzie a, b, c są współczynnikami rzeczywistymi, przy czym Powyższy wzór definiujący f nazywa się postacią ogólną funkcji kwadratowej.

              Wykonajmy następujące przekształcenie:

gdzie Liczba nazywa się wyróżnikiem trójmianu kwadratowego, a wzór

postacią kanoniczną tego trójmianu.

Powyższa postać kanoniczna funkcji kwadratowej pozwala na otrzymanie w prosty sposób wykresu tej funkcji poprzez przesunięcie równoległe o wektor wykresu jednomianu kwadratowego postaci Ponieważ wykresem jednomianu kwadratowego jest krzywa zwaną parabolą o wierzchołku w początku układu współrzędnych, to wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie Ramiona tej paraboli są skierowane do góry, jeśli , i skierowane ku dołowi, gdy Rozchylenie gałęzi paraboli zależy od wartości . Im wartość bezwzględna a jest mniejsza, tym bardziej gałęzie paraboli są odchylone od osi OY.

Z powyższych faktów wynika, że:

              Jeżeli , to funkcja kwadratowa przyjmuje dowolnie duże wartości, a w punkcie osiąga wartość najmniejszą (minimum) równą

              Jeżeli , to funkcja kwadratowa przyjmuje dowolnie małe wartości, a w punkcie osiąga wartość największą (maksimum) równą

              Przykład. Rozwiążemy równanie

.

Rozwiązanie. Aby skorzystać z posiadanych wiadomości o funkcji kwadratowej, przekształćmy dyskutowane równanie do postaci

Funkcja posiada minimum w punkcie , gdyż

w pozostałych punktach jej wartości są większe od 1. Natomiast wartości funkcji są zawsze niewiększe niż 1, przy czym W konsekwencji jedynym rozwiązaniem naszego równania jest liczba  .

Jeżeli , to postać kanoniczną funkcji kwadratowej można przekształcić do postaci iloczynowej:

gdzie

W przypadku, gdy postać iloczynowa ma kształt:

Dla postać iloczynowa funkcji kwadratowej nie istnieje.

              Przykład.  Doprowadzimy ułamek

do najprostszej postaci.

Rozwiązanie. Mamy

Aby skorzystać z podanych wyżej wzorów na rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki, obliczmy wyróżniki: licznika i mianownika oraz wykonajmy stosowne obliczenia:

Stąd:

Konsekwencją postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego jest następujące twierdzenie:

Niech gdzie oraz będzie funkcją kwadratową. Wtedy

(i) jeżeli to funkcja  f  nie ma miejsc zerowych;

(ii) jeżeli to funkcja  f  ma jedno miejsce zerowe równe

(iii) jeżeli to funkcja  f  ma dwa różne miejsca zerowe wyrażone wzorami:

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej nazywamy pierwiastkami tej funkcji.

              W uzupełnieniu poprzedniego twierdzenia, zanotujmy ważną własność:

Jeżeli , to funkcja kwadratowa przyjmuje:

(i) tylko wartości dodatnie, gdy

              (ii) tylko wartości ujemne, gdy

Przykłady. Naszkicujemy wykresy trzech funkcji kwadratowych.

a)                                                         .

Rozwiązanie.

−2

b)                                                         .

Rozwiązanie.

Ponieważ funkcja posiada tylko jedno miejsce zerowe, dla dokładniejszego naszkicowania wykresu funkcji obliczyliśmy wartości funkcji dla dwóch dodatkowych argumentów, wybraliśmy punkty symetryczne względem punktu . Wykres ten wygląda następująco:

c)                                                              

Rozwiązanie. Postąpimy analogicznie, jak w poprzednim podpunkcie.

1

3

1

3

1

-

1

Przykład. Przedyskutujemy ilość rozwiązań równania w zależności od wartości parametru c.

Rozwiązanie. Równanie można przekształcić do postaci

Ilość jego rozwiązań jest równa ilości punktów wspólnych wykresu funkcji i funkcji stałej Zauważamy, że

Funkcja f obcięta do przedziału na dwa miejsca zerowe równe 0 i 2 oraz przyjmuje wartość najmniejszą równą w punkcie . Funkcja f jest funkcją nieparzystą, więc jej wykres
na przedziale jest obrazem symetrycznym wykresu funkcji w symetrii środkowej o środku Kompletny rysunek wygląda więc następująco:

Stąd wynikają następujące wnioski:

·         dla równanie posiada jedno rozwiązanie;

·         dla równanie posiada 2 rozwiązania;

·         dla równanie posiada 3 rozwiązania.

Wśród własności funkcji kwadratowej ważne miejsce zajmują tzw. wzory Viete’a. O naj­ważniejszych z nich mówi poniższe twierdzenie:

Liczby i są pierwiastkami funkcji kwadratowej gdzie
i wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są równości:

(i)

              (ii)

              Wzory Viete’a pozwalają na wyciąganie różnorodnych wniosków dotyczących trójmianu kwadratowego bez konieczności wyliczania jego pierwiastków, a nawet mogą być pomocne w szyb­...