Rozdział 10. Funkcje wykładnicze 75
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną wzorem
gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od 1.
Uwaga. W niektórych opracowaniach dopuszcza się przypadek , ale wówczas funkcja jest funkcją stałą nie posiadającą własności charakterystycznych dla funkcji wykładniczej.
Poniżej podane są przykładowe wykresy funkcji wykładniczych w przypadku, gdy i gdy
1
i) Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych. Dzięki temu nie ma potrzeby nakładania zastrzeżeń na argumenty funkcji wykładniczej przy rozwiązywaniu równań i nierówności wykładniczych.
ii) Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest przedział Oznacza to że, funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie. Dzięki temu możemy dzielić lub mnożyć obie strony równań lub nierówności przez wyrażenia typu wykładniczego.
iii) Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa. Oznacza to, że . Równoważność ta jest wykorzystywana przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.
iv) Dla funkcja wykładnicza jest funkcją rosnącą, tzn. Równoważność ta jest wykorzystywana przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych.
v) Dla funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą, tzn. .
Równoważność ta jest wykorzystywana przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych.
Równaniem wykładniczym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi.
Przykłady. Rozwiążemy kilka typowych równań wykładniczych.
Rozwiązanie. Mamy
Korzystając z własności iii), otrzymujemy:
Ponieważ dziedziną równania był zbiór liczb rzeczywistych, więc jedynym rozwiązaniem tego równania jest liczba .
b)
Rozwiązanie. Zachodzą równoważności
A więc:
Rozwiązaniami równania są więc liczby 0 i 1.
c)
Rozwiązanie.
d)
e)
Rozwiązanie. Zauważmy, że
Stąd
Nierównością wykładniczą nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi.
Przykłady. Rozwiążemy kilka nierówności.
a) .
Korzystając z faktu, że funkcja jest rosnąca, otrzymujemy:
Zbiorem rozwiązań jest suma przedziałów
b) .
gdyż nierówność w rozważanym przypadku jest zawsze fałszywa. Stąd wracając do podstawienia, otrzymujemy:
Nierówność spełniają wszystkie liczby z przedziału
Rozwiązanie. Muszą być spełnione następujące zastrzeżenia:
Zauważamy, że
Zatem warto zastosować podstawienie Widzimy, że i zgodnie z zastrzeżeniami oraz . Wtedy
Wracając do niewiadomej x, otrzymujemy:
Ostatecznie stwierdzamy, że
Zwróćmy uwagę, że w jednym z kroków skorzystaliśmy z faktu, że nierówność jest spełniona dla każdego x. A więc
e) .
Rozwiązanie. Funkcja wykładnicza o podstawie jest malejąca, więc
Zatem
f) .
Rozwiązanie. Musi być spełnione zastrzeżenie:
Wprowadzając podstawienie otrzymujemy
Uwzględniając zastrzeżenie, ostatecznie stwierdzamy, że
Przykład. Rozwiążemy układ równań
Koteciek