Dr Maria Wieczorek

Estymacja

1. Losujemy z populacji n- elementową probę. Z pierwszej połowy wyników została wyznaczona średnia arytmetyczna. Sprawdzić, czy tak zdefiniowana średnia jest nieobciążonym estymatorem średniej w populacji generalnej.

2. Zmienna X ma rozkład N(m,s). Poniżej przedstawiono kolejno: parametr rozkładu (Θ), proponowany estymator (Tn) oraz wartość średnią i wariancję tego estymatora:

Sprawdzić, który z estymatorów jest: a) nieobciążony ; b) zgodny

3.Zmienna losowa ma rozkład  określony funkcją gęstości:

f(x)=αeαx-α-1

Wyznaczyć MNW estymator parametru alfa w tym rozkładzie.

4.Zmienna losowa ma rozkład Weibulla określony funkcją gęstości:

                                 dla x³0

f(x) =

0                               dla x<0

Wyznaczyć MNW estymator parametru lambda w tym rozkładzie.

5.  100 losowo wybranym osobom zadano pytanie na temat czasu oczekiwania na autobus (min). Na podstawie uzyskanych odpowiedzi obliczono średnią = 10  i odchylenie stand. =2 .

a)      Ile wynosi punktowe oszacowanie nieznanej wartości  średniego czasu oczekiwania.

b)     Oszacować przedziałowo ten parametr przy współczynniku ufności 0,9

c)      Co się stanie gdy współczynnik ten zwiększymy do 0,95 – odpowiedzieć nie szacując nowego przedziału.

6 .  W oparciu o informacje z 25 losowo wybranych prywatnych szkół średnich ustalono, że przeciętne czesne w tych szkołach wyniosło 500 zł, zaś odchylenie standardowe 146 zł.        a) Jaki współczynnik ufności zastosowano przy przedziałowej estymacji średniej wielkości czesnego w szkołach średnich , jeśli maksymalny błąd szacunku stanowił 10% wartości estymatora?

b) Jakie założenie należy przyjąć konstruując przedział ufności w takim przypadku?

7. Z szeregu badań wiadomo, że poziom leukocytów we krwi (tys/mm3)  ma rozkład normalny o odchyleniu standardowym 0,3. W pewnym instytucie doświadczalnym postanowiono sprawdzić możliwość zastosowania w analizie krwi pewnego nowego aparatu do badania przecietnego poziomu leukocytów.

a)      Jak liczna powinna być próba badanych osób, aby przy współczynniku ufności 0,95 maksymalny błąd szacunku  wynosił 0,1 tys/ mm3 ?

b)     Oszacować przedział ufności dla przeciętnego poziomu leukocytów we krwi (1-a = 0,95), jeśli w próbie o liczebności wyznaczonej w punkcie a) średni  poziom leukocytów wynosił 8.

c)      Czy przedziały ufności dla średniej w populacji normalnej, konstruowane przy tym samym współczynniku ufności, ale w oparciu o różne, ale jednakowo liczne próby mają jednakowe czy też różne długości przedziałów.

8.  Roczne wydatki na promocję firm z pewnej branży mają rozkład normalny.

a) Ile wynosił współczynnik ufności przy przedziałowej estymacji średniej wysokości tych wydatków dla wszystkich firm branży, jeśli na podstawie wyników 9-elementowej próby przedsiębiorstw uzyskano przedział o długości  1500 zł,  a odchylenie standardowe ( nieobciążone) wydatków w badanej próbie firm wyniosło 995 zł?

b) Jak liczna powinna być próba, aby z prawdopodobieństwem 0,95 oszacować odsetek firm tej branzy reklamujących się w TV z maksymalnym błędem (tj. połowa długości przedziału ufności) 0,02? Badanie pilotażowe wskazuje, iż takich firm powinno być około 20 %.

9. W środowisku studenckim  pewnej uczelni pojawiły się głosy na temat konieczności zwiększenia liczby godzin z języków obcych. Oszacować punktowo i  przedziałowo ( 1-a = 0,95)  odsetek studentów popierających ten pogląd , jeśli  w próbie 600 studentów  400 wypowiedziało się  „za”. Jakie konsekwencje będzie miało zmniejszenie współczynnika ufności do 0,9. Ile wynosi maksymalny błąd szacunku. Jak liczebność próby wpływa na wielkość maksymalnego błędu szacunku

10. W losowo wybranej grupie 20 inwestorów giełdowych stwierdzono, że średni wiek wynosi 34 lata, zaś odchylenie standardowe wieku 6 lat.

a)      Jakie jest punktowe oszacowanie nieznanego średniego wieku  ogółu inwestorów w tym kraju?

b)     Oszacować metodą przedziałową przeciętny wiek inwestorów. Przyjąć współczynnik ufności 0,95.

c)      Czy zalożenie o normalności rozkładu w populacji jest tu niezbędne ?

d)     Jak można poprawić precyzję szacunku.

11. W badaniach opinii publicznej próba 1068-mio osobowa gwarantuje, że przy współczynniku ufności 0,95 maksymalny błąd szacunku nie przekroczy 3 %. O ile należałoby zwiększyć próbę, aby przy tym samym współczynniku ufności błąd wynosił tylko 2% ?

12. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy przedziałowej estymacji odsetka miejsc zajętych  na spektaklu Romeo i Julia, jeżeli otrzymano przedział (50,8 % - 69,2%), oraz wiadomo,że na losowo wybranym przedstawieniu stwierdzono obecność 80 osób w sali liczącej 133 miejsca.

13. Towarzystwo Miłośników Poznania (TMP) chce przeforsować decyzję, aby poznańskie „koziołki” na miejskim ratuszu pokazywały się częściej, a nie tylko w południe.

a)      Jak liczną próbę należałoby wylosować dla oszacowania odsetka mieszkańców miasta popierających ten pogląd przy założeniu, że współczynnik ufności wynosi 0,95, zaś maksymalny błąd szacunku 5% (wcześniej takie szacunki nie były prowadzone).

b)     Oszacuj właściwy przedział dla 1-a = 0,95 jeśli w wylosowanej próbie  o liczebności obliczonej w punkcie a) ¾ mieszkańców miasta zaakceptowało propozycję TMP.

14. Roczne wydatki (  x – tys. zł.) na promocję nowych wyrobów w zakładach produkcyjnych branży spożywczej mają rozkład normalny. Na podstawie wyników 10 elementowej próby zakładów oszacowano przedział ufności o długości 18,096 tys. zł. dla średniej wysokości wydatków na promocję nowych wyrobów ogółu zakładów tej branży.

a) Jaki współczynnik ufności przyjęto przy estymacji wartości średnich wydatków w populacji, jeśli dodatkowo wiadomo, że w wylosowanej próbie

b) O ile należałoby zwiększyć liczebność próby, aby – przy ustalonym ( w punkcie a) współczynniku ufności – dwukrotnie zwiększyć precyzję oszacowania?

15. Aby oszacować odsetek pracujących mieszkańców pewnego osiedla korzystających z metra pobrano losowo 200 osób i stwierdzono, że 72 spośród nich dojeżdża regularnie metrem do pracy. Z jakim prawdopodobieństwem można oczekiwać, że przedział o końcach 29,3% - 42,7% pokrywać będzie nieznany procent osób dojeżdżających metrem do pracy wśród wszystkich pracujących mieszkańców tego osiedla?

16. Oszacuj metodą przedziałową (1-α= 0,95) częstość kupowania wybielającej pasty do zębów. W próbie 200 osób, pastę taką kupiło 30% klientow.

     Ile osób należałoby wylosować do próby, aby przy tej samej ufności uzyskać oszacowanie częstości kupowania takiej pasty z wymaganym absolutnym błędem szacunku 2,5%.

ODPOWIEDZI

3.  4.   5.10;   (9,672; 10,328) 6.0,9  7. 35,  (7,9; 8,1)   8. a) 0,95   b) 1537   

9. 0,67;   (0,629; 0,705);   0,0376   10. a)34 b) (31,2; 36,8)   11. 1333     12. 0,97   13.   a) 385  b)   (0,707; 0,793)   14. a) 0,95;  b) 30  15. 0,95   16. (0,236; 0,364);  1291 lub 1537