1. Płyny, różnice między cieczami i gazami.
Substancje występujące w przyrodzie: ciała stałe, ciecze i gazy, składają się z drobin, które pozostają w nieustannym ruchu postępowym, obrotowym i drgającym. Miarą tego ruchu jest temperatura. Między drobinami występują siły wzajemnego oddziaływania – molekularne. Oddziaływanie tych sił zależy od stanu skupienia materii. Innym kryterium podziału ciał jest zmiana kształtu pod wpływem działania sił mechanicznych. Charakterystycznymi wielkościami fizycznymi płynów są ciśnienie, gęstość i temperatura.
Płyny dzielimy na ciecze i gazy:
- ciecze to płyny, które zachowują niemal stałą objętość pod działaniem nawet wielkich sił mechanicznych i małej zmianie temperatury (mała ściśliwość), przyjmują kształt zbiornika i są zdolne do formowania swobodnej powierzchni, zwanej zwierciadłem cieczy,
- gazy to płyny, które cechuje znaczna ściśliwość, zmieniają pod wpływem sił oraz temperatury swoją objętość, zaś wprowadzone do zamkniętego zbiornika zawsze wypełniają jego całą objętość.
2. Mechanika płynów i jej podział.
Przedmiotem mechaniki płynów są zjawiska ruchu i równowagi płynów ze szczególnym uwzględnieniem działania płynu na ścianki naczyń w których się znajduje lub ścianki ciał stałym, które opływa.
W mechanice płynów wyróżniamy następujące działy:
- statyka płynów – zajmująca się zagadnieniami równowagi płynów, nieruchomych względem układu odniesienia siłami wywieranymi przez płyny na ścianki naczyń lub na ścianki ciał stałych, które opływa,
o w dziale statyki wyróżniamy hydrostatykę, która zajmuje się tylko cieczami,
- kinematyka płynów zajmuje się ruchem płynów, bez uwzględnienia powodów wywołujących ruch,
- dynamika płynów – bada związki przyczynowe pomiędzy przyczyną wywołującą ruch, a skutkiem czyli ruchem,
o hydrodynamika - dotyczy wyłącznie cieczy, w dziale hydrodynamiki wyróżniamy dodatkowo hydraulikę, zajmującą się ruchem cieczy w przewodach rurowych oraz kanałach.
3. Hipoteza ciągłości d’Hamberta.
Płyn rzeczywisty złożony jest z wielkiej liczby poruszających się bezwładnie cząsteczek, co pozwala opisywać ciecz i gaz modelem ośrodka ciągłego z pominięciem przestrzeni i sił międzymolekularnych. Dla większości rozważanych zjawisk, ciągłości ośrodka towarzyszy ciągłość i różniczkowalność takich wielkości jak prędkość czy ciśnienie. Przedmiotem mechaniki cieczy i gazów są ośrodki ciągłe. Założenie ciągłości wprowadza jednak ograniczenia dotyczące najmniejszej objętości płynu, dla której cechy zawartego w niej ciała nie zmieniają się – czyli elementu płynu. Model ten zakłada, że nie ma przestrzeni między poszczególnymi elementami płynu, czyli cała objętość wypełniona jest płynem – jest to tzw. continuum materialne.
4. Definicja elementu płynu.
Element płynu jest to część masy płynu o wymiarach nieskończenie małych w porównaniu z wymiarami ścian ograniczających płyn lub ścian zamoczonych w płynie. Ta najmniejsza objętość musi jednak być dostatecznie wielka w porównaniu ze średnią drogą swobodną cząstek i zawierać dostateczną liczbę molekuł, aby można było stosować statystyczne metody uśredniania wielkości. Jednocześnie wymiary elementu płynu powinny być nieskończenie małe w stosunku do ciał stałych poruszających się lub ograniczających rozpatrywaną objętość płynu.
5. Właściwości fizyczne płynów.
W celu opisania zachowania się płynu pod wpływem sił niezbędne jest określenie parametrów charakteryzujących stan płynu oraz pewne własności fizyczne ośrodka. Indywidualne cechy każdego płynu zależą od temperatury oraz ciśnienia. Do podstawowych parametrów fizycznych płynu należą:
- gęstość to stosunek masy do objętości jaka ta masa zajmuje; wyróżniamy:
o gęstość średnią cieczy – definiowaną jako stosunek masy cieczy zawartej w pewnym obszarze do jego objętości (dla cieczy nieściśliwej) zgodnie ze wzorem:
;
o gęstość lokalną elementu cieczy uważanej za ośrodek ciągły – opisaną wzorem:
Gęstość zależy od ciśnienia i temperatury – woda zajmuje najmniejszą objętość w temperaturze 277 K, natomiast w temperaturach wyższych i niższych objętość jej wzrasta.
- ciężar objętościowy to stosunek ciężaru ciała do jego objętości, dla ciał niejednorodnych należy wyznaczyć granicę tego stosunku dla DV ® 0, co opisuje wzór:
o ciężar objętościowy cieczy ściśliwej można wyrazić za pomocą zależności:
Ciężar objętościowy można również wyrazić zależnością:
g = r * g [N/m3]
- lepkość cieczy jest to właściwość cieczy polegająca na stawianiu oporu przy wzajemnym przesuwaniu się cząstek względem siebie; właściwość ta występuje w cieczy będącej w ruchu i powoduje ujawnienie sił stycznych – sił oporów ruchu między wzajemnie przesuwającymi się cząsteczkami płynu. Wielkością charakteryzującą lepkość jest dynamiczny współczynnik lepkości. Zgodnie ze wzorem Newtona naprężenie jest proporcjonalne do pochodnej prędkości w kierunku normalnym do płaszczyzny występowania siły stycznej. Zjawisko lepkości najlepiej tłumaczy doświadczenie z dwoma równoległymi płytami, z których górna się przesuwa, a dolna pozostaje nieruchoma. Cząsteczki cieczy przylegające do płyty poruszają się z takimi samymi prędkościami co płyty. Siły tarcia występujące przy przesuwaniu warstw cieczy względem siebie określa zależność:
, zaś naprężenia styczne określa wzór:
; gdzie:
m - dynamiczny współczynnik lepkości,
F – powierzchnia płynu.
V – objętość płynu.
W praktyce obok dynamicznego współczynnika lepkości znacznie częściej wykorzystuje się kinematyczny współczynnik lepkości, który opisuje wzór:
r - gęstość cieczy,
- ściśliwość cieczy – jest to zdolność płynu do zmiany objętości w danej temperaturze przy zmianie ciśnienia. Jej miarą jest współczynnik ściśliwości opisywany zależnością:
bp – współczynnik określający względną zmianę objętości płynu przypadającą na jednostkę przyrostu ciśnienia, dla stałej temperatury ośrodka.
Odwrotnością współczynnika ściśliwości jest moduł sprężystości objętościowej K [Pa], stąd równanie można również zapisać jako:
- rozszerzalność cieplna płynu – to zdolność płynu do zmiany swej objętości przy danym ciśnieniu pod wpływem zmian temperatury. Własność tę opisuje współczynnik rozszerzalności cieplnej bT, który definiuje zależność:
Współczynnik bT wyraża względną zmianę objętości przypadającej na jednostkę przyrostu temperatury przy danym ciśnieniu płynu.
6. Modele płynów.
W celu ułatwienia matematycznego opisu zjawisk fizycznych w płynach w rozważaniach stosuje się często uproszczone modele cieczy i gazów. Uproszczenia polegają na pomijaniu niektórych własności fizycznych płynów rzeczywistych. W rozważaniach stosuje się następujące modele płynów:
- płyn nielepki w którym pomija się siły styczne podczas ruchu ośrodka – dynamiczny współczynnik lepkości wynosi 0,
- płyn nieściśliwy – w którym gęstość wynosi zero,
- ciecz doskonała, w której pomija się lepkość, ściśliwość, rozszerzalność cieplną oraz napięcie powierzchniowe,
- gaz doskonały, w którym pomija się objętość molekuł, siły spójności, lepkość. Gaz ten ściśle spełnia równanie stanu gazu Clapeyrona,
- gaz termodynamicznie doskonały, który spełnia równanie Clapeyrona, lecz jest ośrodkiem lepkim.
W większości zagadnień dotyczących stanu spoczynku płynu, rozwiązania dla płynów doskonałych są słuszne dla ośrodków rzeczywistych. W zagadnieniach ruchu wyników otrzymanych dla modeli uproszczonych nie można bezpośrednio przenieść na płyny rzeczywiste. W tym celu wp0rowadza się pewne współczynniki, których wartości są określone doświadczalnie.
7. Siły działające na płyny.
Rozróżnia się dwa rodzaje sił działających w danym obszarze płynu: siły masowe oraz siły powierzchniowe.
Siły masowe wynikają z oddziaływania zewnętrznego sił. Są one proporcjonalne do całej masy płynu. Można do nich zaliczyć siłę ciążenia, siły bezwładności i odśrodkowe wywołane ruchem naczynia z rozważanym płynem. Miarą sił masowych jest jednostkowa siła masowa Fjm – przypadająca na jednostkę masy rozważanego płynu. Ma ona wymiar przyspieszenia [m/s2], na przykład jednostkową siłą masową jest przyspieszenie ziemskie.
Siły powierzchniowe działają na powierzchni wydzielonej masy płynu i są proporcjonalne do tej powierzchni. Do sił powierzchniowych należy zaliczyć siły tarcia oraz parcia hydrostatycznego. Szczególnym rodzajem tych sił jest siła spowodowana napięciem powierzchniowym. Występuje ona na powierzchni ograniczającej dwa ośrodki.
Miarą sił powierzchniowych jest jednostkowa siła powierzchniowa FjA, która jest granicą stosunku siły powierzchniowej do elementu powierzchni na którą działa.
Składowa jednostkowej siły powierzchniowej na kierunku normalnym do elementu powierzchni jest nazywana naprężeniem normalnym.
Dla płynu znajdującego się w stanie spoczynku, naprężenie normalne nazywane jest ciśnieniem. Dla poruszających się płynów ciśnieniem określa się średnią arytmetyczną z naprężeń normalnych działających w danym punkcie.
8. Zasada zesztywnienia, określenie ciśnienia hydrostatycznego.
Element cieczy poddawany działaniu sił pozostaje w równowadze, jeżeli suma ich rzutów na osie x, y, z przestrzennego układu współrzędnych jest równa 0.
Warunek ten zapisać można w postaci:
Sx = 0, Sy = 0, Sz = 0
Ciśnienie hydrostatyczne można określić na podstawie następującego toku rozumowania:
Zakładając, że pewna bryła cieczy zostanie przecięta wzdłuż płaszczyzny F i górna jej część odrzucona. Odrzuconą część bryły musimy zastąpić siłą parcia P, normalną do płaskiej powierzchni siłą ściskającą. Stosunek siły parcia do pola tej powierzchni nazywamy średnim ciśnieniem hydrostatycznym i zapisujemy równaniem:
Pśr = [N/m2]
Natomiast ciśnienie w punkcie rozpatrywanego pola nazywamy granicą tego stosunku przy powierzchni pola malejącej do zera zgodnie z zależnością:
P = limDF®0= [N/m2] = [Pa]
9. Podstawowe twierdzenie hydrostatyki.
Jednym z podstawowych twierdzeń hydrostatyki jest twierdzenie Pascala. Mówi ono, ze jeżeli na ciecz pozostającą w spoczynku działają tylko siły powierzchniowe to ciśnienie hydrostatyczne w każdym punkcie ma stałą wartość. Prawo to udowadnia się w ten sposób, że wycina się z cieczy element w kształcie walca ograniczonego podstawami dF1 i dF2. Normalne powierzchnie walca dFn tworzy z podstawami dF1 i dF2 kąty a1 i a2. Z zależności matematycznych wynika, że elementarne parcie dP1 i dP2 tworzą z osią y również odpowiednie kąty a1 i a2. na podstawę dF1 działa elementarne parcie hydrostatyczne:
dP1 = p1 * dF1
zaś na podstawę dF2 działa parcie hydrostatyczne:
dP2 = p2 * dF2
z warunku równoległości dla cieczy pozostających w spoczynku wynika, że suma sił na oś Y jest równa 0. Równanie przyjmuje wtedy postać:
dP1 * cosa1 + dP2 * cosa2 = 0
Uwzględniając w równaniu wyżej zapisane zależności otrzymamy:
p1 * dF1 * cosa1 + p2 * dF2 * cosa2 = 0
Ponieważ między powierzchnią normalną walca dFn, z powierzchniami dF1 i dF2 zachodzą zależności trygonometryczne:
dF1 * cosa1 = dFn oraz dF2 * cosa2 =dFn
-p1dFn + p2 * dFn = 0
p1 = p2
Prawo zostało udowodnione.
10. Różniczkowe równanie równowagi płynów (równanie Eulera).
Prawo Eulera mówi, że jeżeli na ciecz znajdującą się w spoczynku działają siły powierzchniowe i masowe, to wielkość ciśnienia wywieranego na element powierzchni umieszczony w dowolnym punkcie cieczy nie zależy od orientacji tego elementu.
Siła masowa w praktyce hydrotechnicznej występuje bardzo często przede wszystkim jako siła ciężkości. Powoduje ona niejednostajność ciśnienia w cieczy będącej w spoczynku, np. cząstki położone głębiej unoszą na sobie cząstki wyżej położone, co powoduje wzrost ciśnienia w niżej położonych warstwach.
Aby określić wartość ciśnienia w dowolnym punkcie cieczy, wyodrębniamy z niej bardzo mały element w postaci prostopadłościanu i rozważamy warunek równowagi w przestrzennym układzie współrzędnych x, y, z.
Zakładamy, że na jedną ze ścian prostopadłych do osi x działa ciśnienia p, a na przeciwległa do niej oddaloną o dx działa ciśnienie p + , parcie na ścianę c wynosi pdxdy, zaś siła masowa działająca w kierunku osi x jest równa axdm = adxdydzp, gdzie ax to składowa jednostkowej siły masowej, zaś dm to elementarna masa.
W sposób analogiczny określamy siły masowe w kierunku osi y i z. Warunek równowagi cieczy pozostającej w spoczynku uwzględniający sumę wszystkich sił równoległych do osi x zapisujemy jako:
pdydz – (p + )dydz +axrdxdydz = 0
zatem:
= axrdx
Analogicznie należy zapisać SY = 0 oraz SZ = 0
= ayrdy
= azrdz
Ponieważ ciśnienie jest funkcją zmiennych x, y, z różnica tej funkcji musi być zapisana:
dp = + +
Ostatecznie po scałkowaniu równanie to można zapisać jako:
p = po + p
11. Równanie cieczy właściwej znajdującej się w polu sił ciężkości.
W praktyce najczęściej zdarza się szczególny przypadek równowagi cieczy kiedy jedyna działającą siłą masową jest siła ciążenia. Dla przyjętego układu współrzędnych składowej jednostkowej siły masowej wynoszą: X = 0, Y = 0 i Z = 0 co po podstawieniu do równania równowagi płynu pozwala uzyskać:
a stąd dla r = const:
p = rgz + C
Stałą całkowania można określić z warunku brzegowego: z = 0, p = p0 wtedy C = p0, co po podstawieniu daje równanie:
p =p0 + rgz = p0 + gz
Dla swobodnego zwierciadła cieczy, ciśnienie p0 jest równe ciśnieniu atmosferycznemu.
Powyższy wzór wyraża jedną z najważniejszych zależności hydraulicznych, którą można sformułować następująco: ciśnienie w dowolnym punkcie cieczy równe jest...
MarekMaly