Topologia I - S.Betley, J.Chaber, E.Pol, R.Pol.pdf
(
589 KB
)
Pobierz
605558720 UNPDF
Stanisław Betley, Józef Chaber, El»bieta Pol i Roman Pol
TOPOLOGIAI
wykładyizadania
grudzie« 2010
WSTP.
Materiał w skrypcie odpowiada programowi zaj¦¢ z Topologii I w trzecim se-
mestrze studiów na Wydziale MIM Uniwersytetu Warszawskiego i jest oparty na
naszych do±wiadczeniach z wykładów i ¢wicze« do tego przedmiotu.
Program dopuszcza du»¡ ró»norodno±¢ w rozło»eniu akcentów na poszczególne
tematy i przedstawiony materiał jest wynikiem wypo±rodkowania naszych pogl¡-
dów na te kwestie, pocz¡tkowo do±¢ rozbie»nych. Mamy nadziej¦, »e to wywa»enie
ró»nych punktów widzenia przyniesie po»ytek u»ytkownikom skryptu.
W ci¡gu ostatnich kilku lat program wykładu z topologii na Wydziale MIM
uległ pewnym zmianom – nie ma w nim obecnie grupy podstawowej, natomiast
w “potoku gwiazdkowym”(prowadzonym na Wydziale MIM równolegle z zaj¦-
ciami standardowymi) nale»y dodatkowo omówi¢ twierdzenie Borsuka o rozcina-
niu przestrzeni euklidesowych i poj¦cie parazwarto±ci.
Modyfikuj¡c wcze±niejsz¡ wersj¦ naszego skryptu uznali±my jednak za celowe
pozostawienie omówienia grupy podstawowej w tek±cie zasadniczym. Rozszerzy-
li±my natomiast Uzupełnienia (cz¦±¢ 7) tak, aby obejmowały tak»e aktualny ma-
teriał dla “potoku gwiazdkowego”.
Istotn¡ cz¦±ci¡ skryptu s¡ zadania. Starali±my si¦ dobra¢ je tak, aby (z ewentu-
aln¡ wskazówk¡) nie były zbyt zło»one. Znaczn¡ ich cz¦±¢ nale»y jednak traktowa¢
jako materiał uzupełniaj¡cy. Nasz¡ ocen¦ tego, co daje si¦ dokładnie omówi¢ na
¢wiczeniach, sygnalizujemy opatruj¡c pewne z tych zada« symbolem
. Z tych
zada« układali±my, prowadz¡c ¢wiczenia, zestawy dla studentów i dawali±my po-
dobne zadania na kolokwiach i egzaminach.
Istnieje obszerna literatura w j¦zyku polskim, dotycz¡ca ró»nych aspektów pro-
blematyki, w któr¡ wprowadza kurs Topologii I (niektóre z tych pozycji wymie-
niamy poni»ej). Nasz skrypt, pisany z my±l¡ o zaj¦ciach kursowych, nie zast¡pi
oczywi±cie kontaktu z »adn¡ z tych znakomitych ksi¡»ek.
WYBRANE POZYCJE Z LITERATURY W JZYKU POLSKIM.
R.Engelking, K.Sieklucki,
Wst¦p do topologii
, Warszawa 1986.
K.Janich,
Topologia
, Warszawa 1991.
C.Kosniowski,
Wprowadzenie do topologii algebraicznej
, Pozna« 1999.
K.Kuratowski,
Wst¦p do teorii mnogo±ci i topologii
, Warszawa 2004.
J.Mioduszewski,
Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych
, Ka-
towice 1994.
1
1.Przestrzeniemetryczneiprzestrzenietopologiczne
1.1.
Metryki i topologia przestrzeni metrycznej.
Metryka pozwala mierzy¢ odległo±¢ mi¦dzy punktami przestrzeni. Interesowa¢
nas b¦d¡ jednak nie same metryki, a wyznaczone przez nie rodziny zbiorów otwar-
tych - topologie.
Definicja 1.1.1.
Metryk¡ na zbiorze X nazywa si¦ funkcj¦ d
:
X
×
X
!
R
spełniaj¡c¡ nast¦puj¡ce warunki:
(1)
d
(
x,y
) = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy x
=
y,
(2)
d
(
x,y
) =
d
(
y,x
)
, dla x,y
2
X,
(3)
d
(
x,y
)
¬
d
(
x,z
) +
d
(
z,y
)
, dla x,y,z
2
X.
Par¦
(
X,d
)
nazywamy przestrzeni¡ metryczn¡.
Z własno±ci (3), nazywanej nierówno±ci¡ trójk¡ta, warunku symetrii (2), oraz
(1) wynika, »e dla
x,y
2
X
, 0 =
d
(
x,x
)
¬
2
d
(
x,y
), a wi¦c metryka przyjmuje
tylko warto±ci nieujemne.
Elementy przestrzeni metrycznej (
X,d
) nazywa¢ b¦dziemy punktami, a liczb¦
d
(
x,y
) odległo±ci¡ mi¦dzy punktami
x,y
2
X
.
n
s¡ ci¡gi
n
-elementowe liczb rzeczywistych, a odległo±¢ miedzy
a
= (
a
1
,...,a
n
),
b
= (
b
1
,...,b
n
)
2
R
n
jest okre±lon
a formuł¡
(4)
d
e
(
a,b
) =
q
P
i
=1
(
a
i
−
b
i
)
2
.
Sprawdzimy, »e
d
e
jest metryk¡. Uzasadnienia wymaga jedynie nierówno±¢ trój-
k¡ta (3). Poka»emy najpierw, »e dla
0
= (0
,...,
0),
(5)
d
e
(
a,b
)
¬
d
e
(
a,
0
) +
d
e
(
0
,b
).
Po podniesieniu do kwadratu obu stron, (5) przekształca si¦ w nierówno±¢
Cauchy’ego
(6)
n
,d
e
). PunktamiR
P
i
=1
|
a
i
b
i
|¬
q
P
i
=1
a
2
i
q
P
i
=1
b
2
i
.
q
P
i
=1
a
2
i
,
B
=
q
P
i
=1
b
2
i
,
s
i
=
B
, mamy
P
i
=1
s
2
i
= 1 =
P
i
=1
t
2
i
, a poniewa» 2
s
i
t
i
¬
s
2
i
+
t
2
i
, po
zsumowaniu tych nierówno±ci stronami dostaniemy (6).
Aby przej±¢ od (5) do ogólnej sytuacji, zauwa»my, »e metryka euklidesowa jest
niezmiennicza ze wzgl¦du na przesuni¦cia, a wi¦c dla dowolnych
a,b,c
2
R
A
,
t
i
=
|
b
i
|
n
mamy
d
e
(
a,b
) =
d
e
(
a
−
c,b
−
c
)
¬
d
e
(
a
−
c,
0
) +
d
e
(
0
,b
−
c
) =
d
e
(
a,c
) +
d
e
(
c,b
).
Kul¡ w przestrzeni metrycznej (
X,d
) o ±rodku w punkcie
a
2
X
i promieniu
r >
0 nazywamy zbiór
B
(
a,r
) =
{
x
2
X
:
d
(
a,x
)
< r
}
.
Definicja 1.1.3.
W przestrzeni metrycznej
(
X,d
)
, zbiór U
X jest otwarty, je±li
dla ka»dego x
2
U istnieje r >
0
takie, »e B
(
x,r
)
U. Rodzin¦
T
(
d
)
wszystkich
zbiorów otwartych w
(
X,d
)
nazywamy topologi¡ tej przestrzeni metrycznej albo
topologi¡ generowan¡ przez metryk¦ d.
Przykład 1.1.2.
Wprowadzimy przestrzenie euklidesowe (R
Przypomnijmy uzasadnienie (6): przyjmuj¡c
A
=
|
a
i
|
2
Uwaga 1.1.4.
(A) W przestrzeni metrycznej (
X,d
), je±li
b
2
B
(
a,r
), to zgod-
nie z nierówno±ci¡ trójk¡ta, dla
s
=
r
−
d
(
a,b
), mamy
B
(
b,s
)
B
(
a,r
). W
szczególno±ci, kule
B
(
a,r
) s¡ otwarte w przestrzeni (
X,d
).
(B) Dopełnienie
X
\
F
zbioru sko«czonego
F
w przestrzeni metrycznej (
X,d
)
jest otwarte. Istotnie, je±li
x
2
X
\
F
i
r
= min
{
d
(
x,y
) :
y
2
F
}
, to
B
(
x,r
)
X
\
F
.
Własno±ci topologii przestrzeni metrycznej, które wyró»nimy w nast¦puj¡cym
twierdzeniu, posłu»¡ nam w dalszej cz¦±ci do okre±lenia ogólnych przestrzeni to-
pologicznych.
Twierdzenie 1.1.5.
Topologia
T
(
d
)
przestrzeni metrycznej
(
X,d
)
ma nast¦puj¡-
ce własno±ci:
(i)
;
,X
2T
(
d
)
,
(ii) przeci¦cie sko«czenie wielu elementów
T
(
d
)
jest elementem
T
(
d
)
,
(iii) suma dowolnie wielu elementów
T
(
d
)
jest elementem
T
(
d
)
.
Dowód.
Poniewa»
x
62;
dla ka»dego
x
2
X
, warunek okre±laj¡cy zbiory otwarte
w (
X,d
) jest spełniony dla
;
. Jest te» jasne, »e
X
2T
(
d
).
Sprawdzimy (ii). Niech
U
1
,U
2
2 T
(
d
). Dla dowolnego
x
2
U
1
\
U
2
istniej¡
r
i
>
0 takie, »e
B
(
x,r
i
)
U
i
, a wi¦c
B
(
x,r
)
U
1
\
U
2
, dla
r
= min(
r
1
,r
2
).
Zatem
U
1
\
U
2
2T
(
d
), a st¡d (ii) wynika przez indukcj¦.
Przykład 1.1.6.
(A) Metryki na tym samym zbiorze, o ró»nych własno±ciach
geometrycznych, mog¡ generowa¢ t¦ sam¡ topologi¦. Dla ilustracji, rozpatrzmy
wR
n
metryki
d
s
(
a,b
) =
X
|
a
i
−
b
i
|
, d
m
(
a,b
) = max
i
=1
n
,d
m
) maj¡ ró»ny kształt, ale metryki
d
e
,
d
s
i
d
m
gene-
ruj¡ t¦ sam¡ topologi¦,
T
(
d
e
) =
T
(
d
s
) =
T
(
d
m
).
n
,d
e
), (R
n
,d
s
), oraz (R
Wyn
ik
a to z prostych nierówno±ci
d
e
¬
p
nd
m
,
d
m
¬
d
s
, oraz nierówno±ci
d
s
¬
p
nd
e
, która jest konsekwencj¡ nierówno±ci Cauchy’ego (6) w 1.1.2.
(B) Niech (
X,d
) b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡ i
>
0. Wówczas funkcja
d
(
x,y
) = min
{
d
(
x,y
)
,
}
jest metryk¡ w
X
, generuj¡c¡ t¦ sam¡ topologi¦, co
metryka
d
. Wynika to st¡d, »e w obu przestrzeniach metrycznych (
X,d
) i (
X,d
)
kule o promieniach
<
s¡ identyczne.
Przykład 1.1.7.
(A) Funkcja
d
:R
×
R
!
Rokre±lona formułami
d
(
x,y
) =
|
x
|
+
|
y
|
, dla
x
6
=
y
, oraz
d
(
x,x
) = 0, jest metryk¡. Metryka
d
generuje wR
topologi¦
T
(
d
) ró»n¡ od topologii euklidesowej, tzn. generowanej przez metryk¦
d
e
(
x,y
) =
|
x
−
y
|
. W przestrzeni (R
,d
) kula o ±rodku w punkcie
x
6
= 0 i promieniu
r
=
|
x
|
składa si¦ jedynie z punktu
x
, a zatem
{
x
}
jest zbiorem otwartym w tej
przestrzeni. Poniewa» kula w (R
,d
) o ±rodku w zerze i promieniu
r
jest przedzia-
łem (
−
r,r
), wynika st¡d, »e
T
(
d
) składa si¦ ze wszystkich podzbiorówR
\{
0
}
,
oraz wszystkich zbiorów zawieraj¡cych pewien przedział (
−
r,r
).
Niech
V
=
S
U
b¦dzie sum¡ rodziny
U T
(
d
). Je±li
x
2
V
, to
x
2
U
dla
pewnego
U
2 U
, a wi¦c istnieje
r >
0 takie, »e
B
(
x,r
)
U
V
. Zatem
V
2T
(
d
), co dowodzi (iii).
i
|
a
i
−
b
i
|
,
gdzie
a
= (
a
1
,...,a
n
),
b
= (
b
1
,...,b
n
). Kule w przestrzeniach metrycznych
(R
3
1
b¦dzie zbiorem ci¡gów liczb rzeczywistych (
x
1
,x
2
,...
) o prawie
wszystkich (tzn. wszystkich, poza sko«czenie wieloma) współrz¦dnych równych
zeru. B¦dziemy identyfikowa¢R
n
ze zbiorem punktów (
x
1
,...,x
n
,
0
,
0
,...
) wR
1
.
Metryki
d
e
i
d
s
wR
1
okre±lamy formułami
t
d
e
(
a,b
) =
X
(
a
i
−
b
i
)
2
, d
s
(
a,b
) =
X
|
a
i
−
b
i
|
,
i
=1
i
=1
1
metryki
d
e
i
d
s
pokry-
waj¡ si¦ z metrykami wprowadzonymi w 1.1.2 i 1.1.6 (A)). Poka»emy, »e
d
e
i
d
s
generuj¡ ró»ne topologie wR
n
R
1
. Istotnie, niech
0
= (0
,
0
,...
) i niech
B
s
(
0
,
1)
1
,d
s
) o ±rodku w
0
i promieniu 1. Sprawdzimy, »e
B
s
(
0
,
1)
62
T
(
d
e
). Załó»my przeciwnie i niech
B
e
(
0
,r
)
B
s
(
0
,
1), gdzie
B
e
(
0
,r
) jest kul¡
w (R
1
,d
e
) o ±rodku w
0
i promieniu
r >
0. Ustalmy
n
takie, »e
1
n
< r
2
i niech
a
= (
1
n
,
1
n
,...,
1
n
,
0
,
0
,...
) b¦dzie pun
ktem m
aj¡cy
m
dokładnie
n
współrz¦dnych
niezerowych. Wówczas
d
e
(
a,
0
) =
q
1
n
< r
, sk¡d
a
2
B
e
(
0
,r
), ale
d
s
(
a,
0
) =
n
·
1
n
= 1, czyli
a
62
B
s
(
0
,
1), a wi¦c doszli±my do sprzeczno±ci.
q
n
·
(
1
n
)
2
=
Zako«czymy t¦ cz¦±¢ uwag¡ dotycz¡c¡ topologii podprzestrzeni przestrzeni me-
trycznych.
Uwaga 1.1.8.
Niech (
X,d
X
) b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡ i niech
Y
X
.
Wówczas obci¦cie
d
Y
=
d
X
|
Y
×
Y
metryki
d
X
do
Y
jest metryk¡, generuj¡c¡
w
Y
topologi¦
T
(
d
Y
), której elementy s¡ ±ladami zbiorów otwartych w (
X,d
X
)
na
Y
, tzn.
T
(
d
Y
) =
{
U
\
Y
:
U
2 T
(
d
X
)
}
. Aby si¦ o tym upewni¢, wystarczy
zauwa»y¢, »e dla
y
2
Y
kula w przestrzeni (
Y,d
Y
) o ±rodku w
y
i promieniu
r
jest przeci¦ciem z
Y
kuli w (
X,d
X
) o ±rodku w
y
i promieniu
r
.
Przykład 1.1.9.
Niech
Y
=
{
0
}[{
1
n
:
n
= 1
,
2
,...
}
i niech
d
Y
b¦dzie obci¦-
ciem do
Y
metryki euklidesowej wR. Topologia
T
(
d
Y
) składa si¦ ze wszystkich
podzbiorów
Y
, które albo nie zawieraj¡ zera, albo ich dopełnienie do
Y
jest sko«-
czone.
Zauwa»my, »e obci¦cie do
Y
metryki z Przykładu 1.1.7 (A) generuje t¦ sam¡
topologi¦.
1.2.
Przestrzenie topologiczne.
Własno±ci wyró»nione w Twierdzeniu 1.1.5 przyjmiemy za okre±lenie topologii
w przestrzeniach bez metryki.
Definicja 1.2.1.
Rodzina
T
podzbiorów zbioru X jest topologi¡ w X, je±li
(i)
;
,X
2T
,
(ii) przeci¦cie sko«czenie wielu elementów
T
jest elementem
T
,
(iii) suma dowolnie wielu elementów
T
jest elementem
T
.
Par¦
(
X,
T
)
nazywamy przestrzeni¡ topologiczn¡, elementy zbioru X punktami
tej przestrzeni, a elementy rodziny
T
zbiorami otwartymi w
(
X,
T
)
.
Je±li dla przestrzeni topologicznej (
X,
T
) mo»na okre±li¢ metryk¦
d
na
X
, dla
której
T
=
T
(
d
), mówimy, »e przestrze« (
X,
T
) jest metryzowalna. Istnieje wiele
wa»nych przestrzeni topologicznych, które nie s¡ metryzowalne. Jedn¡ z nich
wska»emy w nast¦puj¡cym przykładzie (zob. tak»e Uzupełnienie 7.3.2).
(B) NiechR
gdzie
a
= (
a
1
,a
2
,...
),
b
= (
b
1
,b
2
,...
) (naR
b¦dzie kul¡ w (R
Plik z chomika:
mwt3
Inne pliki z tego folderu:
Wstep do teorii mnogosci i topologii - K.Kuratowski.pdf
(48178 KB)
Geometric Topology in Dimensions 2 and 3 - E.E.Moise.pdf
(5952 KB)
A Course in Topological Combinatorics - M.DeLongueville.pdf
(1616 KB)
Using the Borsuk-Ulam Theorem - J.Matousek.pdf
(1761 KB)
Theory and problems of general topology - S.Lipschitz.pdf
(12118 KB)
Inne foldery tego chomika:
Algebra
Analiza funkcjonalna
Analiza matematyczna
Analiza zespolona
Geometria kombinatoryczna
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin