Topologia II skrypt - A.Bojanowska.pdf - Topologia algebraiczna - mwt3

TOPOLOGIAII

AgnieszkaBojanowska StefanJackowski

1.Wste , p

Topologiajestdziedzina , matematykiwyrosÃla , zintuicjidotycza , cychwÃlasno´sci

obiekt´owgeometrycznych,zwia , zanychjedyniezichksztaÃltemaniezodlegÃlo´scia ,

punkt´ow.Jestzdumiewaja , ca , tajemnica , matematyki,˙zebardzoprosteaksjomaty

przestrzenitopologicznejwystarczaja , doopisywaniawielkiegobogactwatre´scige-

ometrycznych.Strukturatopologicznastanowifundamentnakt´orymzbudowanesa ,

innestrukturymatematycznenp.analityczneialgebraiczne.JakoprzykÃladmo˙ze

sÃlu˙zy´ctopologicznydow´odpodstawowegotwierdzeniaalgebry.

Podstawowymcelemprzedmiotu TopologiaII jestrozwinie , cieaparatupoje , cio-

wegopozwalaja , cegozrozumie´ctopologie , powierzchnidwuwymiarowych,toznaczy

przestrzenilokalniehomeomorﬁcznychzpÃlaszczyzna , euklidesowa , .Intuicyjniejest

jasne,˙zewÃlasno´scitopologicznesfery(powierzchnikuli)itorusa(powierzchnide , tki)

sa , odmienne,aleprecyzyjnewyra˙zenietejr´o˙znicywymagasubtelniejszychnarze , dzi,

ni˙ztekt´orewyste , puja , w TopologiiI. InneciekaweprzykÃladypowierzchnitowste , ga

M¨obiusa,pÃlaszczyznarzutowa,butelkaKleina.

PodstawowadlanaszegowykÃladuidearozwa˙zaniaalgebryklashomotopiikrzy-

wychnaprzestrzeniliczyniecoponad100latizostaÃlawprowadzonaprzezwielkiego

francuskiegomatematykaHenriPoincar´e-pionieraalgebraicznegopodej´sciado

badaniawÃlasno´scitopologicznych.GÃl´ownetematyskÃladaja , cesie , nategorocznykurs

to:homotopiadr´ogidowolnychprzeksztaÃlce´n;homotopijnar´ownowa˙zno´s´c;algebra

dr´og;grupapodstawowaprzestrzeni;przestrzenienakrywaja , ceiichzwia , zekzgrupa ,

podstawowa , ;realizacjadowolnejgrupyjakogrupypodstawowejprzestrzeni;grupy

podstawowepowierzchni;twierdzenieJordanaorozcinaniupÃlaszczyzny.

Wieledodatkowychwiadomo´sciotopologiiiliteraturzeprzedmiotuCzytelnik

znajdzienastronachinternetowej TopologiiII orazseminariummagisterskiegoz

topologiialgebraicznej,doste , pnychzestronyhttp://mimuw.edu.pl/sjack.

NaszeopracowaniemacharakterskryptudowykÃladu,anieregularnegopo-

dre , cznika.JestpodzielonenarozdziaÃlyodpowiadaja , ceok.1-2wykÃlad´ow.Poziom

szczeg´oÃlowo´scizapewneniejestjednolity;zache , camyCzytelnikadowypeÃlnienia

wszystkichskr´ot´owwdowodach,aszczeg´olnietychoznaczonych ~ .Powieluroz-

dziaÃlachumie´scili´smyzadania,r´ownie˙zprzypomocy ~ szczeg´olniezache , caja , cdo

rozwia , zanianiekt´orychznich.Wskrypcie,wodr´o˙znieniuodwykÃladuniemaani

jednegorysunku.Gora , cozache , camyCzytelnik´owdowykonaniaprzylekturzery-

sunk´owilustruja , cychpoje , ciaitwierdzenia.

SerdeczniezapraszamyCzytelnik´owdonadsyÃlaniawszelkichuwag,zapyta´n,ko-

rektitp.dotycza , cychtegoskryptunaadresaboj@mimuw.edu.pl.Ewentualnaer-

rata,komentarzeidodatkowewyja´snieniabe , da , nabie˙za , copublikowanenastronie

3Wprzedmiotu.

2/6/2008 20 44

2.Przestrzenieilorazowe

Zaczniemyodopisaniaog´olnejkonstrukcjiwprowadzaniatopologiiwzbiorzena

kt´orymokre´slonesa , przeksztaÃlceniaowarto´sciachwprzestrzeniachtopologicznych.

Niech X be , dziezbiorema F = ff i : X¡!Y i g rodzina , przeksztaÃlce´nowarto´sciach

wprzestrzeniachtopologicznych( Y i ;T i ).Deﬁniujemytopologie , T F wzbiorze X

jakonajmniejsza , topologie , wkt´orejwszystkieodwzorowania f i : X¡!Y i sa , cia , gÃle.

ÃLatwozauwa˙zy´c,˙zebaza , tejtopologiisa , zbiorypostaci ff ¡ 1

i 1 ( U i 1 ) \:::\f ¡ 1

i k ( U i k ) g

gdzie U i k 2T i k .

2.1.PrzykÃlad.Je´sli A½X jestpodzbioremprzestrzenitopologicznej,totopolo-

giapodprzestrzeniw A jestzadanaprzezodwzorowaniezanurzenia i : A½X .

2.2.PrzykÃlad.Je´sli X 1 ;X 2 sa , przestrzeniamitopologicznymi,totopologiaw

zbiorze X 1 £X 2 jestzadanaprzezprzeksztaÃlcenia p i : X 1 £X 2 ¡!X i , i =1 ; 2

be , da , cerzutowaniaminaosie.

2.3.Stwierdzenie. NiechZbe , dzieprzestrzenia , topologiczna , .Odwzorowanie

g : Z¡!Xjestcia , gÃlewtedyitylkowtedygdydlaka˙zdegoi2IzÃlo˙zenie

Z g ¡!X f i ¡!Yjestcia , gÃle. ~

Podobniemo˙zemyzdeﬁniowa´ctopologie , wzbiorze Y je´slizadanajestrodzinaodw-

zorowa´n F := ff i : X i ¡!Yg zprzestrzenitopologicznych( X i ;T i )do Y .Topologie ,

T F w X deﬁniujemyjakonajwie , ksza , topologie , w Y taka , ,˙zewszystkieodwzorowania

f i : X i ¡!Y sa , cia , gÃle.

2.4.Deﬁnicja. NiechfXg j2J be , dzierodzina , przestrzenitopologicznych.Zdeﬁniu-

j2J X j := S

suma , rozÃla , czna , przestrzenitopologicznychfX j gioznaczamy `

j2J X j .

Zauwa˙zmy,˙zeje´sli 8 j2J X j = X to `

j2I X j = X£J gdziewzbiorzewska´znik´ow

J rozpatrujemytopologie , dyskretna , .

2.5.Stwierdzenie. NiechZbe , dzieprzestrzenia , topologiczna , .Odwzorowanie

g : Y¡!Zjestcia , gÃlewtedyitylkowtedygdydlaka˙zdegoj2JzÃlo˙zenie

X j i j ¡!Y g ¡!Zjestcia , gÃle. ~

TerazopiszemydokÃladniejwprowadzanietopologiiwzbiorzeklasabstrakcjirelacji

r´ownowa˙zno´sciokre´slonejnaprzestrzenitopologicznej.

2.6.Deﬁnicja. Niech ( X;T ) be , dzieprzestrzenia , topologiczna , ,Rrelacja , r´owno-

wa˙zno´sciwzbiorzeX,aq : X¡!X=RprzeksztaÃlceniemprzypisuja , cympunktowi

jegoklase , abstrakcji.Zbi´orX=Rztopologia , T=Rzdeﬁniowana , przezodwzorowanie

q,nazywamyprzestrzenia , ilorazowa , .

Zgodniezdeﬁnicja , T=R jestnajwie , ksza , topologia , ,dlakt´orejprzeksztaÃlcenie

q : X¡!X=R jestcia , gÃle.PonadtoprzeksztaÃlcenie f : X=R¡!Y jestcia , gÃle

wtedyitylkowtedygdyzÃlo˙zenie f±q jestcia , gÃle.

jmyzbi´orY := `

j2J X j £fjgDladowolnegoj2Jmamyzanurzenie

i j : X j ½Y.Zbi´orYztopologia , zadana , przezrodzine , odwzorowa´nfi j gnazywamy

2.7.Stwierdzenie. T=R := fU½X=R : q ¡ 1 ( U ) 2Tg. ~

2.8.Deﬁnicja. PrzeksztaÃlceniecia , gÃleq : X¡!Ybe , da , cesurjekcja , nazywamy

ilorazowym,je˙zelidladowolnegoprzeksztaÃlceniaf : Y¡!Zzcia , gÃlo´scizÃlo˙zenia

f±q : X¡!Zwynikacia , gÃlo´s´cprzeksztaÃlceniaf.

Przypomnijmy,˙zeoprzeksztaÃlceniucia , gÃlymm´owimy,˙zejest otwarte (odp. dom-

knie , te ),je´sliobrazdowolnegozbioruotwartego(odp.domknie , tego)jestotwarty

(odp.domknie , ty).

2.9.Stwierdzenie. Je´sliprzeksztaÃlceniecia , gÃleq : X¡!Yjestsurjekcja , ijest

otwartelubjestdomknie , te,toqjestprzeksztaÃlceniemilorazowym. ~

2.10.Stwierdzenie. PrzeksztaÃlcenieq : X¡!Yjestilorazowe,wtedyitylkowte-

dy,gdyprzestrze´nYjesthomeomorﬁcznazprzestrzenia , ilorazowa , X=R q ,gdzie

x 1 R q x 2 ()q ( x 1 )= q ( x 2 ) . ~

2.11.PrzykÃlad.Je˙zeli A½X jestpodprzestrzenia , ,toprzez X=A oznaczamy

przestrze´nilorazowa , relacji x» A x 0 ()x = x 0 lub x;x 0 2A .Zauwa˙zmy,˙ze

klasyabstrakcjipunkt´ow x2XnA sa , jednoelementowe,natomiastklasa , abstrakcji

dowolnegopunktu a2A jestcaÃlyzbi´or A .M´owimy,˙zeprzestrze´n X=A powstajez

przestrzeni X zprzezzgnieceniezbioru A dopunktu.

2.12.PrzykÃlad.Je˙zeli A jestprzestrzenia , topologiczna , ,tosto˙zkiemnad A nazy-

wamyprzestrze´n A£I=A£f 1 g ,gdzie I oznaczaodcinek[0 ; 1]ztopologia , euklides-

owa , .

2.13.PrzykÃlad.Zdeﬁniujemybukietprzestrzenitopologicznychzwyr´o˙znionym

punktem.Niech X j , j2J be , da , przestrzeniamitopologicznymi,ka˙zdazwyr´o˙znionym

j2J X i be , dzieichsuma , rozÃla , czna , za´s A =

j2J fx j gµX .W´owczas X=A nazywamy bukietem przestrzeni X j ioznaczamy

symbolem W

j2J X j .Bukietsko´nczonejliczbyprzestrzenioznaczamytak˙zesymbolem

X 1 _X 2 :::_X n .Zauwa˙zmy,˙zedlaka˙zdego j mamywÃlo˙zenie i j : X j ,! W

j2J X j .

KonstrukcjataspeÃlnianaste , puja , cywarunekuniwersalno´sci:Niech Y be , dzieprzestrzenia ,

zwyr´o˙znionympunktem y 0 .W´owczasdladowolnejrodzinyprzeksztaÃlce´n, f j :

X j ¡!Y , f j ( x j )= y 0 istniejedokÃladniejednoprzeksztaÃlcenie f : W

j2J X j ¡!Y ,

dlakt´oregodlaka˙zdego j2Jf±i j = f j .TojedyneprzeksztaÃlcenie f be , dziemy

j2J f j .

przestrze´nilorazowaprzestrzenisp´ojnej(Ãlukowosp´ojnej)jestoczywi´sciesp´ojna

(Ãlukowosp´ojna),gdy˙zjestjejobrazemprzyprzeksztaÃlceniucia , gÃlym.Jednakwiele

innychwÃlasno´scitopologiiprzestrzeni X ”psujesie , ”przyprzechodzeniudoprze-

strzeniilorazowej.Niesa , zachowywaneaksjomatyoddzielania,istnieniaprzeliczal-

nejbazy,czyte˙zprzeliczalnejbazywpunkcie.przestrze´nilorazowaprzestrzeni

metrycznejmo˙zenieby´cmetryzowalna.

2.14.PrzykÃlad.Niech A½ Rbe , dziezbioremliczbcaÃlkowitych.przestrze´nR =A ,

kt´orajesthomeomorﬁcznazbukietemprzeliczalnejliczbyokre , g´ow,niemaprzeli-

czalnejbazywpunkciebukietowym.

Podamyterazdeﬁnicje , precyzuja , ca , intuicje , doklejaniajednejprzestrzenidodrugiej.

punktem x j 2X j .Niech X = `

oznacza´csymbolem W

2.15.Deﬁnicja. NiechAµXiniechf : A¡!Ybe , dzieprzeksztaÃlceniemcia , gÃlym.

W´owczassklejeniemprzestrzeniXiYwzdÃlu˙zprzeksztaÃlceniafnazywamyprze-

strze´nilorazowa , ( XtY ) =R,gdzieRjestnajmniejsza , relacja , r´ownowa˙zno´scizawie-

raja , ca , relacje , xRf ( x ) dlaka˙zdegox2A.Otrzymana , przestrze´noznaczamysym-

bolemX[ f Y.Mamynaste , puja , cyprzemiennydiagram,wkt´orymprzeksztaÃlcenia

iorazi 0 sa , wÃlo˙zeniami:

A i

? ? y

¡¡¡¡!X

? ? y f 0

Y i 0

¡¡¡¡!X[ f Y

Odnotujmypewneszczeg´olneprzypadkitejkonstrukcji:

2.16.PrzykÃlad.Je´sliodwzorowanie f : A¡!Y jeststaÃlewpunkt y 0 ,toprze-

strze´n X[ f Y jesthomeomorﬁcznazbukietem( X=A ) _Y .Wszczeg´olno´scije´sli

Y = pt to X[ f fptg = X=A .

2.17.PrzykÃlad.Je´sli i : A¡!Y jestwÃlo˙zeniempodzbioru,to X[ i Y = X[Y a

podzbi´or V½X[Y jestotwartywtedyitylkowtedygdypodzbiory V\X oraz

V\Y sa , otwarte.

Zanotujmywa˙zna , wÃlasno´s´coperacjidoklejania:

2.18.Stwierdzenie. NiechAµXiniechf : A¡!Y.W´owczas:

a)Homeomorﬁzmh : Y¡!Y 0 ,deﬁniujehomeomorﬁzmX[ f Y » = ¡!X[ h±f Y.

b)Je´sliA 0 µX 0 ,za´sg : X 0 ¡!Xjesthomeomorﬁzmemtakim,˙zeg ( A 0 )= Ato

gdeﬁniujehomeomorﬁzmX 0 [ f±g Y » = ¡!X[ f Y. ~

2.19.PrzykÃlad.Konstrukcje , doklejaniaprzestrzeniwzdÃlu˙zprzeksztaÃlceniamo˙zna

uog´olni´c.Niech f 1 : A¡!X i f 2 : A¡!Y be , da , przeksztaÃlceniami.Sklejeniem

przestrzeni X i Y wzdÃlu˙zprzeksztaÃlce´n f 1 i f 2 nazywamyprzestrze´nilorazowa ,

( XtY ) =R ,gdzie R jestnajmniejsza , relacja , r´ownowa˙zno´scizawieraja , ca , aRf 1 ( a )

oraz aRf 2 ( a ),dlaka˙zdego a2A .Otrzymana , przestrze´noznaczamysymbolem

X[ f 1 ;f 2 Y .Mamynaste , puja , cyprzemiennydiagram:

A f 1

¡¡¡¡!X

? ? y f 0 2

f 2

Y f 0 1

¡¡¡¡!X[ f 1 ;f 2 Y

Przestrzeniepowstaja , ceprzezuto˙zsamieniabok´owkwadratu

Zastosujemywprowadzonepoje , ciadoskonstruowaniabardzowa˙znychprzykÃlad´ow

przestrzeni,kt´orebe , dziemynazywa´cpowierzchniami.Niech[ ¡ 1 ; 1] £ [ ¡ 1 ; 1]be , dzie

kwadratempoÃlo˙zonymnapÃlaszczy´znie.Rozpatrzmywzbiorze[ ¡ 1 ; 1] £ [ ¡ 1 ; 1]

relacjer´ownowa˙zno´sci R 1 ;:::;R 5 takie,˙zeklasyabstrakcjipunkt´owwewna , trzkwa-

dratusa , jednoelementowe,natomiastnabrzegukwadratudokonujemynaste , puja , -

cychuto˙zsamie´n:

? ? y

Topologia II skrypt - A.Bojanowska.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: