1. Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań?
Jeżeli f:A→B, g:B→C to g∘f:A→C zdefiniowane wzorem ∀ a∈A g∘fa=gfa nazywamy złożeniem odwzorowań
2. Podać i uzasadnić wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań.
Niech f: A→B, g:B→C - bijekcje, wtedy g∘f-1=f-1∘g-1
Dowód:
g∘f-1c=a ⟺ g∘fa=c ⟺ fa=b∧gb=c
f-1∘g-1c=a1 ⇔ f-1g-1c=a1 ⇔ g-1c=fa1 ⇔ c=gfa1=g∘fa1
⇒a=a1 ⇒ f-1∘g-1=g∘f-1
3. Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje?
Niech f:A→B – bijekcja (warunek istnienia)
Odwzorowanie g:B→A takie, że ∀b∈B gb=a ⇔ fa=b ⟺ g=f-1 nazywamy odwrotnym do danego
4. Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego?
Niech z1=x1+y1i, z2=x2+y2i, z1=z2=m
z1∙z2=x1+y1i∙x2+y2i=x1x2-y1y2+x1y2-x2y1i=
x1x2-y1y22+x1y2-x2y12=x12x22+y12y22+x12y22+x22y12=(x12+y12)(x22+y22)=m∙m=m2
5. Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci wykładniczej? Objaśnić użyte symbole. Podać wzór na iloczyn dwóch liczb w tej postaci.
z∙eiφ - postać wykładnicza funkcji zespolonej, gdzie:
z – moduł liczby z
e - liczba Eulera
i - jednostka urojona
φ - argument
z1∙eiφ1∙z2∙eiφ2=z1∙z2∙ei(φ1+φ2)
6. Podać i uzasadnić wzór na cosinus i sinus kąta w zależności od funkcji wykładniczej.
cosφ=eiφ+e-iφ2, sinφ=eiφ- e-iφ2i
eiφ=cosφ+sinφ∙ie-iφ=cos-φ+sin-φ∙i ⟺eiφ=cosφ+sinφ∙ie-iφ=cosφ-sinφ∙i ⟺ eiφ-cosφ=sinφ∙ie-iφ=cosφ-eiφ+cosφ
⟺eiφ-eiφ- e-iφ2=sinφ∙icosφ=eiφ+e-iφ2 ⟺ sinφ=eiφ- e-iφ2icosφ=eiφ+e-iφ2
7. Kiedy wektory e1,...en nazywamy liniowo niezależnymi? Czy wektory (1,2),(4,-1),(-2,3) są liniowo niezależne?
Liniowo niezależne, gdy ∀α1,…,αn∈K (i=1nαiei=0 ⟹ α1=...=αn=0)
X-przestrzeń wektorowa. Wektory e1,…,en∈X nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli istnieją liczby
α1,…,αn∈K takie, że:
i=1nαi>0 oraz i=1nαiei=0
Wektory e1,…,en, które nie są liniowo zależne, nazywamy liniowo niezależnymi
α11,2+α24,-1+α3-2,3=0,0, α1,α2,α3∈R
α1+4α2-2α3=02α1-α2+3α3=0
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, zatem wektory nie są liniowo niezależne.
8. Co to jest baza przestrzeni wektorowej? Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni?
Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów e1,…,en liniowo niezależnych, które generują daną przestrzeń.
Dwie bazy tej samej przestrzeni mają tą samą ilość elementów.
9. Jak określamy reprezentację macierzową odwzorowania liniowego?
Niech X,Y- przestrzenie wektorowe nad K, e1,…,en - baza w X, E1,…,En - baza w Y
T:X→Y- odwzorowanie liniowe.
∀ j∈1,…,n Tej=i=1maijEi - Reprezentacja macierzowa odwzorowania T w danych bazach:
A=a11a12a21a22⋯a1n⋯a2n⋮⋮am1am2⋮⋮⋯amn
10. Podać i uzasadnić wzór na iloczyn macierzy.
X,Y,Z- przestrzenie wektorowe, e1,…,en - baza w X, E1,…,En - baza w Y, ε1,…,εn - baza w Z
T:X→Y, S:Y→Z, S∘T:X→Z – odwzorowania liniowe,
A - reprezentacja odwzorowania T, B - reprezentacja odwzorowania S
S∘Tx=STx, Niech C...
wiedmololbul