Probabilistyka na podstawie idei teorii niezawodności.pdf

Probabilistyka

napodstawieideiteoriiniezawodności

KarolDziedziul

2009

1.Podstawowepojęciateoriiniezawodności

Ω .Wariantom

tym(adok“adniejdopuszczalnymzbioromr ó »nychwariant ó w)przyporzad-

kowujemyodpowiedni¡wagƒ,czylimiarƒprognozuj¡cmo»liweprawdopodobie«stwo.

Interesowa¢nasbƒdzieprzysz“yczas»ycia T = T ( x ) pojedy«czegoele-

mentu,uk“adu,cz“owieka x ,zatem

T :Ω ! [0 ; + 1 ) :

Czas(zmiennalosowa) T jesttakzde niowana,abymo»naby“opoliczy¢

prawdopodobie«stwo–miercidochwili t ,czyliwyznaczy¢funkcjƒnazywan¡

dystrybuant¡

Dystrybuanta F nazywanajestr ó wnie»funkcj¡zawodno–ci.Dystry-

buantajestfunkcj¡niemalej¡c¡,ponadto 0

Ω: T ( x )( ! )

1 .Warto–¢ F ( t ) inter-

pretujemyjakoprawdopodobie«stwo–miercielementudochwili t .Mo»na

r ó wnie»dlaelement ó wjednorodnych(otychsamychparametrachitych

samychmo»liwychdopomy–leniawariantach»ycia)s¡dzi¢,»e F ( t ) oznacza

procentelement ó w,kt ó rezepsuj¡siƒdochwili t .

Mybƒdziemyzak“ada¢,»efunkcja F jestci¡g“aoraz F (0)=0 .

R ó wnowa»n¡charakteryzacjƒprzysz“egoczasu»yciaotrzymamyrozwa»¡j¡c

funkcjƒniezawodno–ci

R ( t )=1

F ( t )

Interpretujemyj¡wodniesieniudoelement ó wsystemu(czasbezawaryjnej

pracy,np.liczbagodzin–wiecenia»ar ó wkilubjednorodnejpartii»ar ó wek).

Dlasystemyz“o»onegopojƒcieniezawodno–cirozwa»asiƒwkategoriidostƒp-

no–ciitolerowaniaawarii.Dlatowarzystwaubezpieczoniowegooznaczaono

wzale»no–ciodrodzajupolisyczas»ycia,czaszdolno–cidopracyitp.

Ω: T ( x )( ! ) >t

De nicja1Je–liistniejepochodnafunkcji F ,tonazywamyj¡gƒsto–ci¡

prawdopodobie«stwalubgƒsto–ci¡ioznacza¢bƒdziemyj¡przez f ,czyli

f ( t )= F ′ ( t ) :

Zde nicjiorazza“o»eniaotrzymujemy,»e

F ( t )= ∫ t

0 f ( s ) ds:

Rozwa»amyzbi ó rwszystkichmo»liwychdopomy–leniawariant ó w(sce-

nariuszy)ca“ego»ycia-element ó w,uk“ad ó wlubludzi !

F ( t )= P

W“asno–cigƒsto–ci

f 0 ;

∫ ∞

0 f ( t ) dt =1 ;

P ( a<T

b )= ∫ b

f ( s ) ds:

Wtymwyk“adziezazwyczajbƒdziemyzak“ada¢,»efunkcja F

jestr ó »niczkowalna.

R ó wnowa»nymsposobemopisudalszegoczasu»ycia T jestfunkcjanazy-

wanaintensywnosci¡uszkodze«,intensywno–ci¡–miertelno–ciczyintensy-

wno–ci¡–mierci.Danajestonawzorem

( t )= ( lnR ( t )) ′ = f ( t )

R ( t ) :

Senstegoparametrujestnastepuj¡cy:wjednorodnejpopulacji,kt ó rado»y“a

dochwili t obserwujemyszybko–¢–mierci.Pokazujetor ó wnie»wz ó r

( t )

R ( t )

R ( t + dt )

dtR ( t )

oznaczaj¡cywzglƒdnywzrostuszkodze«,–mierci.

Zwi¡zkipomiƒdzyfunkcj¡niezawodno–ci,gƒsto–ci¡iintensy-

wno–ci¡uszkodze«

∫ t

0 ( s ) ds ) ;

f ( t )= R ( t ) ( t )= e − ∫ t 0 ( s ) ds ( t ) :

R ( t )= exp (

Charakterystykiliczbowe

Jedn¡zpodstawowychcharakterystykliczbowychbadanejcechy,czyli

przysz“egoczasu»ycia,jestmiarapo“o»eniarozk“adu,czyliwarto–¢oczeki-

wana

ET = ∫ ∞

0 tf ( t ) dt:

Tenparametrwteoriiniezawodno–ciinterpretujemyjakooczekiwanyczas

(wjƒzykupotocznym–redniczaspatrzuwagijƒzykoweponi»ej)doawarii

(meantimetofailure).Ponadtowprowadzamyk-tymomentcentralny

ET k = ∫ ∞

VarT = E ( TET ) 2 = ET 2

( ET ) 2

orazzwi¡zanezwariancj¡odchyleniestandardowe

= p VarT:

Czasamiwartojestpodkre–la¢s“owooczekiwane:np.oczekiwaneodchyle-

niestandardowedlarozr ó »nieniapomiƒdzypojƒciamiprobabilistykiastaty-

tysk¡.

Zadanie1.Umiejƒtno–¢obliczania EX oraz VarX dlazmiennychlosowych

dyskretnych.

2.Podstawowerozkłady

Rozk“adwyk“adniczy.Og ó lnaposta¢dystrybuanty

F ( t )=1

exp (

t ) :

Przyk“ad =3 .

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

1.5

Gƒsto–¢rozk“aduwyk“adniczego

f ( t )= e −t :

0 t k f ( t ) dt:

Jedn¡zmiarrozproszeniarozkladujestwariancja

Przyk“ad =3 .

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

1.5

Zauwa»my,»eintensywno–¢jestfunkcj¡sta“a, ( t )= za–

ET = 1

VarT = 1

2 :

Rozk“adWeibulla(1939).Intensywno–¢uszkodze«wrozk“adzieWeibulla

manastƒpuj¡caposta¢, t

( t )= t − 1 ;

0 .Jesli > 1 ,tointensywno–¢uszkodze«jest

funkcj¡rosn¡c¡.Je–li =1 ,tomamydoczynieniazrozk“ademwyk“ad-

niczym.Dla < 1 intensywno–¢uszkodze«maleje.Otrzymujemyponadto,

R ( t )= exp [

∫ t

0 ( s ) ds ]= exp [ t ] :

Okazujesiƒ,»ewarto–¢oczekiwana

ET =Γ(1+ 1

) −

za–wariancja

VarT = ( Γ(1+ 2

Γ 2 (1+ 1

) ) −

)

Wystepuj¡cawpowy»szychwzorachfunkcjaGamma Γ dajenamuog ó l-

nieniepojƒciasilni,gdy»

Γ( n +1)= n ! :

gdzieparametry ;

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: