Temat:

Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną.

Wprowadzenie:

Współczynnik sztywności G ( druga stała sprężystości, stała sprężystości poprzecznej) definiujemy na podstawie prawa Hooke'a.

ΔX

τ

α

Współczynnik sztywności G jest to stosunek składowej stycznej naprężenia τ do skręcenia prostego elementu objętości ciała, wywołanego przez to naprężenie (poniższy rysunek). Dla niezbyt dużych odkształceń jest on dla danego materiału wielkością stałą, zależną od temperatury.

Zasada pomiaru

Dla wyznaczenia G drutu z badanego materiału długości l, średnicy 2r, obciążony wibratorem w, skręcamy o niewielki kąt φokoło osi podłużnej. Moment sił sprężystych M ciągnący drut ku położeniu równowagi wynosi:

Równanie ruchu wibratora ma zatem postać:

gdzie J oznacza moment bezwładności wibratora względem głównej osi obrotu.

Jest to równanie drgań prostych o okresie:

Mierząc okres T, Długość drutu l, średnicę 2r, możemy przy znanym momencie bezwładności wibratora J wyliczyć G.

Ponieważ wyliczenie momentu bezwładności brył nie posiadających prostej postaci geometrycznej  jest żmudne (a czasem niemożliwe),stosujemy metodę różnicową Gaussa. Wyznaczamy okres drgań T1 wibratora; następnie przez nałożenie na kołeczki wibratora czterech walcowych ciężarków powiększamy J o czterokrotny moment bezwładności J1, ciężarka względem głównej osi obrotu.

Według twierdzenia Steinera:

gdzie:

m , R - odpowiednio masa i promień walca

a - odległość osi walca od głównej osi obrotu.

Wyznaczamy okres T2 wibratora dodatkowo obciążonego. Z równań:

mamy:

T1 i T2 wyznaczamy mierząc kilkakrotnie  za pomocą stopera czas przypadający na np.: 50 pełnych drgań i biorąc średnią; mierząc l - przymiarem metrowym dzielonym na milimetry, a i R - sufmiarką, r - mikromierzem w kilku miejscach, w kierunkach do siebie prostopadłych, szczególnie starannie, gdyż r jest we wzorze w czwartej potędze i błąd względny popełniony przy pomiarze r jest więc czterokrotnie większy w błędzie względnym G.

O'

R

a

O

              Drugim ,obok odkształcenia czysto objętościowego, przypadkiem prostego odkształcenia jest czyste odkształcenie postaci bez zmiany objętości. Przykład stanowi tzw. ścinanie.

              Kostkę sześcienną poddajemy działaniu stycznego t , wywieranego na ściankę górną. Odkształcenie polega na przesunięciu górnej ścianki w kierunku naprężenia. Zgodnie z prawem Hooke’a mamy w tym przypadku:

g =bt

gdzie:

g - ciśnienie

b - współczynnik ścinania

                                                                      -moduł ścinania(skręcenia, sztywności)

              Ten sam moduł G charakteryzuje odkształcenie przy skręcaniu pręta. Dolny koniec pręta walcowego o długości l i promieniu przekroju r jest zamocowany w tarczy o promieniu A, na którą możemy wywrzeć moment skręcający. W skutek tego dolny koniec pręta ulega skręceniu o kąt j , a wszystkie jego przekroje poprzeczne skręceniu proporcjonalnemu do j i do stosunku odległości x przekroju od górnej powierzchni pręta do jego długości l . Z prawa Hooke’a wynika , że kąt j proporcjonalny jest do momentu pary sił –F i F. Dowolny przekrój poprzeczny zachowuje przy tym swą postać i ulega skręceniu względem przekrojów sąsiednich.

         r

           l

                                                                                                   Dj            -DF

                                                        DF                            D

Moment skręcający pręt o kąt Dj wynosi:

`                                                       

Znając długość l i promień R oraz wartość momentu pary sił i mierząc kąt skręcenia można wyznaczyć moduł G.

Pomiar G można wykonać metodą dynamiczną.

W tym celu na końcu pręta umieszcza się symetryczne ciało o znanym momencie bezwładności I. Po skręceniu i puszczeniu druta, ciało będzie wykonywać drgania torsyjne zgodne z równaniem:

Pręt wykonuje drgania torsyjne o okresie:

Mierząc T można wyliczyć D, a stąd i G.

Zadania:

A.      Wyznaczyć G dla stli i miedzi.             

Pomiar długości drutu:

                         Drut stalowy                                                                                    Drut miedziany

B.    Obliczyć błąd procentowy pomiaru G.

Uwaga !   Pomiar G jest dużo prostszy, jeżeli rozporządzamy bryłą jednorodną o prostej postaci geometrycznej, np.: walcem lub prostopadłościanem, zaopatrzonym w uchwyt dla drutu. Bryła ta powinna mieć tak duży moment bezwładności, aby drgania były powolne i dogodne tym samym do zmierzenia ich okresu.

3