9momentybezwladnoscifigurplaskich.pdf
(
302 KB
)
Pobierz
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI
FIGUR PŁASKICH
Przekroje poprzeczne prętów, wałów i belek – figury płaskie,
charakteryzujące się następującymi parametrami:
– polem powierzchni przekroju
[mm
2
, cm
2
, m
2
],
– położeniem środka ciężkości przekroju,
– momentami statycznymi
[cm
3
, m
3
],
[cm
4
, m
4
].
– momentami bezwładności
Definicja momentu statycznego w w
układzie osi X i Y:
ydAS
x
xdA
,
S
A A
W zależności od położenia przekro-
ju względem osi układu współrzęd-
nych
mogą przyjmować wartości
dodatnie i ujemne
.
Wykorzystując znane ze statyki pojęcie środka sił, dla środka
ciężkości można napisać:
Definicja momentu statycznego
yS
c
,A
S
x
.A
x
c
y
Korzystając z tych zależności, współrzędne środka ciężkości
figury płaskiej można
obliczyć ze wzoru:
S
x
x
S
y
,
y
.
c
c
A
A
Środek ciężkości przekrojów złożonych –podział przekroju na
figury proste.
n
n
A
x
A
y
i
i
i
i
i
1
i
1
x
,
y
,
c
c
n
n
A
A
i
i
i
1
i
1
A
i
– pola powierzchni figur prostych, x
i
, y
i
– współrzędne środ-
ków ciężkości poszczególnych figur prostych.
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc
104
P
RZYKŁAD
Określić położenie środka ciężkości fi-
gury przedstawionej na rysunku.
Przekrój podzielono na trzy prostokąty
o następujących polach powierzchni:
A
1
= 1
1 = 1 cm
2
,
A
2
= 2
5 = 10 cm
2
,
A
3
= 2
2 = 4 cm
2
.
Współrzędne środka ciężkości całej figu-
ry wynoszą
A
x
A
x
A
x
1
5,1
10
3
4
5
1
1
2
2
3
3
x
,3
43
cm
,
c
A
A
A
1
10
4
1
2
3
A
y
A
y
A
y
1
5,1
10
5,3
4
5
1
1
2
2
3
3
y
,3
77
cm
.
c
A
A
A
1
10
4
1
2
3
Momenty bezwładności
Definicja
momentów bezwładności:
– osiow
e momenty bezwładnośc
i
2
2
yJ
dA
,
J
x
dA
,
x
y
A
A
–
biegunowy moment bezwładności
,
2
2
2
J
dA
x
y
dA
J
J
0
x
y
A A
– moment dewiacyjny (zboczenia, odśrodkowy)
xydJ
xy
.
A
Momenty osiowe oraz moment biegunowy są
zawsze dodatnie, natomiast
moment dewiacyjny może być dodatni lub ujemny
.
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc
105
Momenty bezwładności figur złożonych są sumą momentów
bezwładności prostych figur składowych. Figura złożona może
składać się z figur „pełnych” oraz „pustych”. Przy sumowaniu
momentów bezwładności figury „puste” uważa się za figury z
ujemnymi polami powierzchni.
P
RZYKŁAD
Figury złożone przedstawione na rysunku podzielić na figury proste.
Podział
figury złożonej
na figury proste
(jeden z możliwych
do zastosowania
podziałów figury).
Twierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera umożli-
wia obliczanie momentów
bezwładności figur płaskich
względem osi równolegle
przesuniętych w stosunku do
osi centralnych
(osi przecho-
dzących przez środek ciężko-
ści przekroju).
Dla figury płaskiej o powierzchni A, obliczyć momenty bez-
władności względem osi X–Y, równolegle przesuniętych w sto-
sunku do osi centralnych (środkowych) X
0
–Y
0
o odcinki a i b.
Na podstawie definicji momentu bezwładności moment osio-
wy względem osi X dla y
1
= y + a wyraża wzór:
2
2
2
2
J
y
dA
y
a
dA
y
dA
a2
ydA
a
dA
J
Aa
.
x
1
x
0
A A A A
A
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc
106
W powyższym równaniu całka
A
ydAopisuje moment statycz-
ny, który względem osi centralnych jest równy zeru. W podobny
sposób określa się moment względem osi Y oraz moment de-
wiacyjny
2
2
J
x
b
dA
J
Ab
,
y
x
0
A
J
x
a
x
b
dA
J
Aab
.
xy
x
y
0
0
A
Wyprowadzone wyżej zależności noszą nazwę
twierdzenia
Steinera
.
Osiowy moment bezwładności figury płaskiej względem osi
równoległej odległej od środka ciężkości o określoną wartość
jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzą-
cej przez środek ciężkości figury, powiększonemu o iloczyn
powierzchni figury i kwadratu odległości między osiami.
Moment dewiacyjny figury płaskiej względem osi równolegle
przesuniętych jest równy momentowi dewiacyjnemu wzglę-
dem osi centralnych, powiększonemu o iloczyn powierzchni i
obu składowych równoległego przesunięcia.
Twierdzenie Steinera
ma następująca p
ostać matematyczną:
2
J
J
Aa
,
x
x
0
2
J
J
Ab
,
y
y
0
J
J
Aab
.
xy
x
y
0
0
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc
107
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI DLA PRZEKROJU PROSTOKĄTNEGO
Momenty bezwładności względem osi centralnych X
C
–Y
C
Y
Y
Osie
centralne
C
dA = b
dy
X
X
C
C
b
h
3
3
2
bh
hb
2
2
I
y
dA
y
b
dy
,
I
,
I
0
Xc
Yc
Xc
Yc
12
12
A
h
2
Momenty bezwładności względem osi X–Y
Y
Y
dA
X
X
x
b
h
bh
3
hb
3
h
b
h
b
2
b
2
h
2
2
2
I
y
dA
y
b
dy
,
I
,
I
xydA
y
b
dy
y
dy
.
X
Y
XY
3
3
2
2
4
A
0
A
0
0
TWIERDZENIE STEINERA
2
2
h
bh
3
bh
3
bh
3
b
hb
3
hb
3
hb
3
I
I
A
,
I
I
A
,
X
Xc
Y
Yc
2
12
4
3
2
12
4
3
2
2
h
b
bh
b
h
I
I
A
0
(
bh
)
.
XcYc
XY
2
2
4
3
09 Momenty bezwładności figur płaskich.doc
108
Plik z chomika:
Chomik-Odkrywca
Inne pliki z tego folderu:
10stanynaprezeniaiodksztalceniahipotezywytrzymalosciowe.pdf
(436 KB)
11skrecaniewalowokraglych.pdf
(448 KB)
12zginanieplaskiebelekprostych.pdf
(666 KB)
14zagadnieniawybrane.pdf
(1159 KB)
13wytrzymalosczlozona.pdf
(620 KB)
Inne foldery tego chomika:
mechana2
MECHANIKA
Mechanika egzamin
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin