Sozański - Paradoksy preferencji grupowych, Twierdzenia Arrowa i Sena.pdf
(
156 KB
)
Pobierz
241677714 UNPDF
Tadeusz Sozañski
Paradoksy preferencji grupowych: twierdzenia Arrowa i Sena
Notatka dla s³uchaczy kursu
Teoria gier i decyzji z elementami teorii wyboru spo³ecznego
Maj 1993 – Maj 2004
Profile preferencji
Niech
X
={
x
,…,
x
} oznacza zbiór
opcji
(zwanych te¿ ‘alternatywami spo³ecznymi'), zaœ
N
={1,…,
n
}
zbiór
decydentów
(lub, przy drugiej interpretacji, zbiór kryteriów, które jeden decydent stosuje do
oceny opcji). Zbiór
relacji preferencji
na
X
oznaczmy
R
;
R
0
R
wtedy i tylko wtedy, z definicji, gdy
relacja
R
jest
zwrotna
(
xRx
),
przechodnia
(
xRy
i
yRz
poci¹ga za sob¹
xRz
) i
spójna
(
xRy
lub
yRx
).
Niech
P
i
I
oznaczaj¹ odpowiednio podyktowane przez
R
relacje
preferencji œcis³ej
(
xPy
wtedy i tylko
wtedy gdy
xRy
i -
yRx
) i indyferencji (
xIy
wtedy i tylko wtedy gdy
xRy
i
yRx
).
1
m
Przyk³ad
. Niech
X
= {
x
,
y
,
z
}. Zbiór
R
ma wtedy 13 elementów. S¹ to relacje, które mo¿na
zanotowaæ nastêpuj¹co
RRRRRR
R
R
8
R
9
R
10
R
11
R
12
R
13
x x y y z z
x
y
z
x-y
x-z
y-z
x-y-z
y z x z x y
y-z
x-z
x-y
z
y
x
zyzxyx
Dla
R
mamy
xP y
,
yP z
(opcja
x
jest przedk³adana ponad
y
, a
y
ponad
z
), a z przechodnioœci
1
1
1
xP z
. Relacja indyferencji
I
zachodzi tylko miêdzy elementami identycznymi. W
R
mamy
xP y
i
xP z
7
1
1
7
7
7
(
x
jest lepsze od
y
i
z
) oraz
yI z
(opcje
y
i
z
s¹ jednakowo dobre).
zbiorze
N
nazywamy ka¿d¹ uporz¹dkowan¹
n
-tkê (
R
,…,
R
) elementów
R
. Relacjê
R
(nie myliæ z
oznaczeniami zastosowanymi w przyk³adzie) interpretujemy jako relacjê preferencji, któr¹ pos³uguje
siê
i
-ty decydent porównuj¹c opcje ze zbioru
X
(lub relacjê odpowiadaj¹c¹
i
-temu kryterium oceny
opcji stosowanemu przez jednego decydenta). Zbiór profili oznaczmy
R
. Dla
n
=2 zbiór ten liczy wiêc
Za³ó¿my, ¿e zbiór
N
ma conajmniej dwa elementy (
n
$2).
Profilem preferencji indywidualnych
w
1
n
n
n
te które teoretycznie mog¹ pojawiæ siê w grupie
N
. Zbiór
D
mo¿e zawieraæ profile, w których
wystêpuje konflikt preferencji. Dla przyk³adu za³ó¿my, ¿e
N
={1,2,3},
X
={
x
,
y
,
z
}. Rozwa¿my nastêpuj¹cy
profil.
RRR
xyz
yzx
zxy
Mamy zatem trzy osoby, z których ka¿da na pierwszym miejscu stawia inn¹ opcjê. Powstaje pytanie
jak skonstruowaæ wspóln¹ dla trójosobowej grupy relacjê opisuj¹c¹ kompromisowy sposób
123456
7
13A13=169 elementów.
Niech zbiór
D
oznacza niepusty podzbiór
R
z³o¿ony z profili okreœlonych jako
dopuszczalne
, czyli
123
wartoœciowania tych opcji przez grupê jako ca³oœæ, umo¿liwiaj¹cy te¿ grupie wybranie najlepszego
elementu spoœród elementów danego podzbioru
Y
zbioru
X
. Z pozoru najw³aœciwszym rozwi¹zaniem
wydaje siê zastosowanie regu³y zwyk³ej wiêkszoœci do porównywania opcji parami. Zauwa¿my, ¿e
dwie osoby (1 i 3) wol¹
x
od
y
, jak równie¿ dwie osoby (1 i 2) wol¹
y
od
z
, a zatem grupa powinna
przedk³adaæ opcjê
x
nad
y
, a
y
nad
z
. Jeœli okreœlona w ten sposób relacja mia³aby byæ przechodnia,
wówczas trójka powinna przedk³adaæ
x
nad
z
. Tymczasem jest odwrotnie, bo dwie osoby (2 i 3) wol¹
z
od
x
. Fakt ten pierwszy zauwa¿y³ markiz Antoine de Condorcet (odkry³by mo¿e jeszcze inne fakty,
lecz w 1794 roku pad³ ofiar¹ jakobiñskiego terroru).
Funkcja spo³ecznego dobrobytu
Jeœli relacja preferencji przypisana grupie ma mieæ te same w³asnoœci co relacja wyra¿aj¹ca
wartoœciowanie jednostki, a wiêc w szczególnoœci ma byæ przechodnia, wówczas regu³a zwyk³ej
wiêkszoœci nie spe³nia swojego zadania. Kenneth Arrow, autor
Social Choice and Individual Values
(1951), uzna³, ¿e wartoœciowanie grupowe powinno byæ przechodnie, co oznacza, ¿e rozwi¹zaniem
problemu mo¿e byæ jedynie funkcja, która ka¿demu dopuszczalnemu profilowi przypisuje jak¹œ relacjê
preferencji na zbiorze
X
, a wiêc z za³o¿enia relacjê przechodni¹.
Funkcjê postaci
F
:
D
)
<
R
Arrow nazwa³
funkcj¹ spo³ecznego dobrobytu
(
social welfare function
).
1
n
1
n
oceniaj¹ opcje pos³uguj¹c siê odpowiednio relacjami
R
,…,
R
. Przedmiotem badañ Arrowa by³y
warunki, jakie powinny spe³niaæ ka¿da ‘demokratyczna' funkcja spo³ecznego dobrobytu. G³ówne
twierdzenie, które zostanie ni¿ej przedstawione, stwierdza niemo¿noœæ pogodzenia ze sob¹ kilku
postulatów, które z osobna wziête wydaj¹ siê ‘rozs¹dne'. Pierwszym takim postulatem jest ¿¹danie,
by regu³a wyznaczania preferencji grupowej mia³a najszerszy mo¿liwy zakres stosowalnoœci. Postulat
ten oznaczymy numerem 0, gdy¿ jest najbardziej elementarny; wyznacza on jedynie dziedzinê funkcji
F i nie przes¹dza sposobu jej okreœlenia.
n
Postulat
0 (nieograniczonoϾ dziedziny).
D
=
R
.
Postulat ten g³osi, ¿e dopuszczalny jest
ka¿dy
profil preferencji indywidualnych.
Niezale¿noœæ od alternatyw nieistotnych
Do sformu³owania nastêpnych postulatów bêd¹ potrzebne dalsze definicje. Niech
Y
bêdzie niepustym
podzbiorem zbioru opcji
X
(i
Y
d
X
) in niech
R
i
R
' bêd¹ dwoma relacjami preferencji na
X
(
R
,
R
'0
R
).
Definicja
1 (zgodnoœci relacji i profili na podzbiorze opcji)
R
i
R
' s¹ zgodne na
Y
wtedy i tylko wtedy, gdy
x,y
0
Y
:
xRy
]
xR'y
Dwa profile (
R
,…,
R
), (
R'
,…,
R'
) s¹ zgodne na
Y
wtedy i tylko wtedy, gdy
R
i
R'
s¹ zgodne na
Y
dla
i
=1,…,
n
.
1
n
1
Przypuœmy np. ¿e dwa profile opisuj¹ oceny poszczególnych cz³onków grupy w wyra¿one w dwu
kolejnych badaniach. ZgodnoϾ na
Y
oznacza, ¿e ka¿dy cz³onek grupy zachowa³ swoje poprzednie
uporz¹dkowamie elementów zbioru
Y
. Ewentualne ró¿nice mog³y siê pojawiæ jedynie przy
porównywaniu opcji nale¿¹cych do zbioru
Y
z pozosta³ymi opcjami (elementami
X
-
Y
) oraz przy
porównywaniu miêdzy sob¹ opcji spoza
Y
. Wydaje siê naturalne ¿¹daæ, by w takiej sytuacji grupa jako
2
Relacja
R
=
F
(
R
,…,
R
) przyporz¹dkowana dopuszczalnemu profilowi (
R
,…,
R
) interpretowana jest
jako sposób wartoœciowania opcji, który powinna zastosowaæ grupa, jeœli jej cz³onkowie indywidualnie
1
n
n
ca³oœæ zachowa³a siê tak jak poszczególni cz³onkowie, tzn. nie zmienia³a wartoœciowania elementów
Y
.
Postulat
1 (niezale¿noœæ od alternatyw nieistotnych).
Dla dowolnego niepustego podzbioru
Y
zbioru
X
, jeœli dowolne dwa dopuszczalne profile
(
R
,…,
R
), (
R'
,…,
R'
) s¹ zgodne na
Y
to odpowiadaj¹ce im relacje grupowe
R
=
F
(
R
,…,
R
) i
1
1
n
1
n
1
n
n
W szczególnoœci zbiór
Y
mo¿e mieæ postaæ {
x
,
y
}. Postulat niezale¿noœci od alternatyw
nieistotnych (mówi siê te¿ ‘niezwi¹zanych', ang.
independence of irrelevant alternatives
) oznacza
wówczas, ¿e dla dowolnych dwu ró¿nych opcji
x
i
y
to, czy grupa woli
x
od
y,
zale¿y wy³¹cznie od
tego, jak wygl¹daj¹ preferencje poszczególnych cz³onków grupy w odniesieniu do tych dwu
elementów bez wzglêdu na kontekst. Nieistotne jest zatem jak dane dwa elementy mieszcz¹ siê w
ogólnej hierarchii wartoœci danego decydenta, lecz jedynie to, która z nich dwu jest dlañ lepsza.
Demokracja
Kolejny postulat uwa¿any jest równie¿ za ‘rozs¹dny'. Idzie w nim o to, by ‘demokratycznie'
uzgodniona preferencja grupy maksymalnie wyra¿a³a preferencje indywiduów i by³a wra¿liwa na
zmianê ‘uk³adu si³', tzn. jeœli wiêcej osób indywidualnie opowie siê za jak¹œ opcj¹ przeciw innej opcji
to opinia grupy jako ca³oœci powinna ‘przechyliæ siê' w tê sam¹ stronê. Jeœli przy pewnym profilu
preferencji indywidualnych grupa woli
x
od
y
, to preferencja grupowa dla tej pary opcji nie ulegnie
odwróceniu, gdy wzroœnie poparcie dla
x
, tzn. gdy profil ten zmieni tak, ¿e wiêcej osób bêdzie wola³o
x
od
y
. Bardziej formalnie wyra¿a to nastêpuj¹ca definicja. Niech
R
,
R
'0
R
.
Definicja
2 (demokratycznego poparcia)
W
R' jest nie mniejsze poparcie dla x przeciw y ni¿ w R
wtedy i tylko wtedy, gdy zachodz¹ dwie
implikacje
xPy
Y
xP'y
xIy
Y(
xI'y
lub
xP'y
)
Jeœli zatem wed³ug relacji
R
opcja
x
jest lepsza od
y
, to tak¿e wed³ug relacji
R
' opcja
x
jest lepsza
od
y
. Jeœli zaœ wed³ug relacji
R
opcje
x
i
y
s¹ jednakowo dobre, to wed³ug relacji
R
' jest tak samo lub
opcja
x
jest uwa¿ana za lepsz¹ od
y
. Zauwa¿my, ¿e jeœli wed³ug relacji R opcja
y
jest gorsza od
x
(
yPx
), to poprzednik obu implikacji jest fa³szywy, a zatem bez wzglêdu na to jak wartoœciowane s¹
opcje
x
i
y
wed³ug relacji
R
', w
R
' jest nie mniejsze poparcie dla
x
przeciw
y
ni¿ w
R
.
Jeœli relacje
R
i
R
' przypisane s¹ jednej osobie, wówczas stosunek miêdzy nimi opisuje
ewentualn¹ zmianê pogl¹dów jednostki id¹c¹ w okreœlonym kierunku. Jeœli dana osoba wola³a
x
od
y
, to zmiany nie ma, musi nadal przedk³adaæ
x
nad
y
. Jeœli osoba ta by³a pocz¹tkowo indyferentna,
mo¿e pozostaæ taka, jeœli jednak zmieni zdanie, to bêdzie to uznanie
x
za opcjê lepsza od
y
. Jeœli
wola³a
y
od
x
, wszelka zmiana (na indyferencjê lub przeciwn¹ preferencjê) daje przewagê
x
. Kolejny
postulat powiada, ¿e jeœli zmiana w tym samym kierunku zachodzi u ka¿dej osoby (niekoniecznie
zmiana musi byæ jednakowo radykalna u wszystkich), wówczas preferencja grupowa odpowiadaj¹ca
nowemu profilowi powinna to odzwierciedlaæ.
Postulat
2 (demokratyczne okreœlanie preferencji zbiorowych)
Dla ka¿dej uporz¹dkowanej pary opcji (
x,y
): jeœli dla ka¿dego
i
poparcie dla
x
przeciw
y
w
R'
jest
i
3
'=
F
(
R'
,…,
R'
) s¹ tak¿e zgodne na
Y
.
nie mniejsze ni¿ w
R
, to w
R'
=
F
(
R'
,…,
R'
) jest nie mniejsze poparcie dla
x
przeciw
y
ni¿ w
1
1
n
n
Postulat ten formalnie oddaje istotn¹ cechê ³adu demokratycznego. Grupa powinna iœæ za g³osem
swoich cz³onków, czy jednak mo¿e uchwaliæ dowoln¹ hierarchiê wartoœci, jeœi tylko znajdzie siê dla
niej wystarczaj¹ce ‘spo³eczne poparcie'?
SuwerennoϾ grupy
Zasadê ‘suwerennoœci ludu' tak¿e uwa¿a siê za istotny sk³adnik demokracji. Aby nadaæ formalny sens
pojêciu ‘suwerennoœci' w kontekœcie teorii Arrowa, musimy podaæ dalsze definicje. Niech
M
bêdzie
podzbiorem zbioru decydentów
N
(niekoniecznie niepustym). a (
x
,
y
) uporz¹dkowan¹ par¹ ró¿nych
opcji.
Definicja
3 (zbioru rozstrzygaj¹cego)
M
nazywa siê
zbiorem rozstrzygaj¹cym dla x przeciw y ze wzglêdu na funkcjê spo³ecznego
(
R1
,…,
Rn
)
0
D
(
i
0
N
(
i
0
M
Y
xP y
)Y
xPy
), gdzie
P
odpowiada
F(R ,…,R )
1
n
Definicja ta oznacza, ¿e jeœli wszyscy cz³onkowie zbioru
M
wol¹
x
od
y
, to s¹ w stanie narzuciæ
grupie
N
jako ca³oœci swój wybór. Tak¿e wtedy, gdy pozostali decydenci maj¹ wszyscy dok³adnie
i
odwrotne preferencje, tzn. jeœli mamy do czynienia z profilem takim, ¿e
xP y
dla
i
0
M
i
yP x
dla
i
0
N
-
M
.
Dla regu³y
F
wra¿liwej na preferencje indywidualne (czyli spe³niaj¹cej postulat 2), aby sprawdziæ, czy
jakiœ zbiór jest rozstrzygaj¹cy dla
x
przeciw
y
, wystarczy sprawdziæ tylko profile o takiej
spolaryzowanej postaci.
W definicji 3 dopuszczamy tak¿e przypadek, gdy zbiór rozstrzygaj¹cy dla
x
przeciw
y
jest pusty.
Mamy wówczas
xPy
dla ka¿dego dopuszczalnego profilu, a jeœli przyjmiemy postulat 0 dopuszczaj¹cy
wszystkie mo¿liwe profile, to wybór grupowy
xPy
musia³by mieæ miejsce tak¿e wtedy, gdy dla ka¿dego
i
Postulat
3 (nieograniczona suwerennoϾ grupy)
Dla ka¿dych ró¿nych
x
,
y
0
X
istnieje profil (
R
,…,
R
)0
D
taki, ¿e
xPy
, gdzie
P
odpowiada
1
1
n
F(R ,…,R )
n
Postulat ten g³osi, ¿e dla dowolnych dwu ró¿nych opcji istnieje dopuszczalny profil taki, ¿e
odpowiadaj¹ca mu relacja grupowa uznaje pierwsz¹ opcjê za lepsz¹ od drugiej. Równowa¿nie: nie
istniej¹ ró¿ne opcje
x
i
y
takie, ¿e zbiór pusty jest rozstrzygaj¹cy dla
x
przeciw
y
, czyli
x
by³oby
zawsze przedk³adane nad
y
niezale¿nie od zró¿nicowania pogl¹dów w grupie. Suwerennoœæ
scharakteryzowana za pomoc¹ postulatu 3 nie jest niczym ograniczona, grupa mo¿e uznaæ, ¿e
x
jest
lepsze od
y
lub
y
jest lepsze od
y
. ¯adne rozwi¹zanie nie mo¿e byæ grupie narzucone z góry (przez
wolê jednostkow¹ lub jak¹œ normê moraln¹). Aby zosta³o wybrane, wystarczy jedynie wytworzenie
siê odpowiedniego profilu preferencji indywidualnych.
Jeœli funkcja
F
spe³nia postulaty 2 i 3, wówczas ca³a grupa jest zbiorem rozstrzygaj¹cym dla
ka¿dej opcji
x
przeciw ka¿dej innej opcji
y
. Wniosek ten, formu³owany czêsto jako osobny postulat,
zwany postulatem albo warunkiem Pareto, uwa¿a siê tak¿e za fundamentalny dla rozumienia
demokracji.
4
(
R
,…,
R
).
dobrobytu F
wtedy i tylko wtedy, gdy
i
0
N
mamy
yP x
. Jeœli chcemy unikn¹æ takiej sytuacji (
x
zostaje uznane za lepsze od
y
, np. ze
wzglêdów etycznych, chocia¿ wszyscy wol¹
y
od
x
) musimy na³o¿yæ na funkcjê
F
dodatkowe
ograniczenie.
Postulat demokracji Pareto
(poszanowanie jednomyœlnoœci)
Dla ka¿dych dwu ró¿nych
x
,
y
0
X
i ka¿dego (
R
,…,
R
)0
D
, (
xP y
dla
i
=1,…,
n
Y
xPy
)
1
n
Inaczej mówi¹c, jeœli ka¿dy cz³onek grupy woli
x
od
y
, to grupa jako ca³oœæ musi respektowaæ tê
powszechn¹ zgodê.
Udowodnimy teraz, ¿e warunek Pareto rzeczywiœcie wynika z postulatów 2 i 3. Niech
x
i
y
bêd¹
1
n
ma tê w³asnoœæ, ¿e dla ka¿dego profilu (
R'
,…,
R'
)
y
ma przeciw
x
w ka¿dej relacji
R'
niemniejsze
i
n
poparcie ni¿ w relacji
R
. Postulat 2 implikuje zatem, ¿e w
R
'=
F
(
R'
,…,
R'
) jest nie mniejsze poparcie
1
1
n
dla
y
przeciw
x
ni¿ w
R
=
F
(
R
,…,
R
). Mamy wykazaæ, ¿e
xPy
. Dla dowodu nie wprost przypuϾmy
najpierw, ¿e
yPx
. Poniewa¿ w
R'
jest niemniejsze poparcie dla
y
przeciw
x
ni¿ w
R
, wiêc musi byæ
yP'x
. Profil, któremu funkcja
F
przypisuje relacjê
R',
by³ jednak dowolnie dobranym profilem
dopuszczalnym, a wiêc konkludujemy, ¿e
yP'x
dla ka¿dego profilu w
D
, co jest sprzeczne z
postulatem 3. Z kolei przypuœæmy, ¿e
yIx
(przypomnijmy, ¿e s¹ trzy mo¿liwoœci: xPy,
xP y
, czyli
yPx
,
n
*
oraz
xIy
równowa¿ne
yIx
; aby udowodniæ, ¿e zachodzi pierwsza mo¿liwoœæ, musimy wykazaæ, ¿e
pozosta³e dwie prowadz¹ do sprzecznoœci). Wynika st¹d (w zwi¹zku z niemniejszym poparciem dla
y
przeciw
x
w
R'
ni¿ w
R
), ¿e
yI'x
lub
yP'x
. Nie ma wiêc takiego profilu, dla którego
xP'y
wbrew
postulatowi 3.
Zauwa¿my jeszcze, ¿e postulat nieograniczonej suwerennoœci grupy daje siê wyprowadziæ z
postulatu Pareto i postulatu niegraniczonoœci dziedziny. Istotnie, nieograniczonoœæ dziedziny oznacza,
i
¿e profil preferencji taki ¿e
xP y
dla
i
=1,…,
n
jest dopuszczalny, a postulat Pareto implikuje z kolei, ¿e
dla tego profilu musi byæ
xPy
.
Paradoks Arrowa
Wszystkie cztery postulaty (0-3) wydaj¹ siê ‘rozs¹dne' jako formalne wymogi, jakie powinna spe³niaæ
‘demokratyczna' procedura wyprowadzania wartoœciowania spo³ecznego z indywidualnych ocen.
Rzecz w tym, ¿e ³¹cznie implikuj¹ one zaprzeczenie demokracji, czyli dyktaturê, jeœli tylko zbiór opcji
ma co najmniej 3 elementy. Na tym w³asnie polega s³ynny paradoks odkryty przez Arrowa.
Dyktator
to jednoelementowy zbiór rozstrzygaj¹cy dla ka¿dej uporz¹dkowanej pary opcji.
Formalna definicja wygl¹da nastêpuj¹co.
Definicja
4 (dyktatury)
Osoba
i
nazywa siê
dyktatorem ze wzglêdu na F
wtedy i tylko wtedy, gdy {
i
} jest zbiorem
rozstrzygaj¹cym dla ka¿dej opcji
x
przeciw ka¿dej innej opcji
y
.
Funkcja spo³ecznego dobrobytu F nazywa siê
dyktatorsk¹
wtedy i tylko wtedy, gdy w grupie
N
istnieje osoba
i
bêd¹ca dyktatorem ze wzglêdu na
F
.
Tak wiêc, jeœli
i
jest dyktatorem, to dla dowolnych dwu ró¿nych opcji
x
i
y
i dowolnego profilu
(
R
,…,
R
) st¹d, ¿e
xP y
, wynika, ¿e
xPy
, gdzie
P
pochodzi od
R
=
F
(
R
,…,
R
). Dyktatura oznacza, ¿e
niezale¿nie od zapatrywañ wszystkich osób wyj¹wszy
i
-t¹, grupa zawsze (przy porównaniu ka¿dej
pary opcji) zmuszona jest moc¹ regu³y przyj¹æ punkt widzenia jednej i zawsze tej samej osoby. £atwo
wykazaæ, ¿e jeœli grupa ma dyktatora, mo¿e nim byæ tylko jedna osoba. Poniewa¿ osoba ta rozstrzyga
ka¿dy dylemat, dyktatura tak zdefiniowana zas³uguje na miano 'totalitarnej'.
1
n
1
n
Twierdzenie
1 (Arrowa)
Jeœli
m
$3, wówczas dowolna funkcja spo³ecznego dobrobytu
F
spe³niaj¹ca postulaty 0, 1,2 i 3 jest
dyktatorska.
5
dwoma ró¿nymi opcjami, zaœ (
R
,…,
R
) dowolnym profilem takim, ¿e
xP y
dla ka¿dego
i
. Profil ten
1
Plik z chomika:
Piffony
Inne pliki z tego folderu:
Webb J Game Theory Decisions, Interaction And Evolution (Sums, Springer, 2007)(Isbn 1846284236)(237S).pdf
(1940 KB)
Lee D. - Game theory and neural basis of social decision making.pdf
(244 KB)
Yildiz M., Game Theory Lecture Notes Introduction.pdf
(1491 KB)
Tyszka T. - Konflikty i strategie.pdf
(27939 KB)
Szewczyk - O racjonalności wojny Roberta Aumanna.pdf
(200 KB)
Inne foldery tego chomika:
Aplikacje teorii zakorzenienia
artykuły naukowe z zarządzania
Geografia ekonomiczna
ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE W SŁUŻBIE ZDROWIA
Sieci w organizacji
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin