Zagadnienia do egzaminu z matematyki
1. Algebra liniowa
1. Podaj definicję iloczynu skalarnego wektorów
Iloczyn skalarny wektorów x i y jest liczbą określoną następująco:
Jak widać
2. Kiedy wektory są ortogonalne?
Zakładając że x i y to wektory, jeśli to mówimy że wektory są ortogonalne (prostopadłe).
Układ m wektorów jest ortogonalny gdy wektory te są parami ortogonalne.
Jeśli dodatkowo dla każdego wektora , to układ nazywamy ortogonalnym.
3. Podać definicję normy euklidesowej wektora x
Normą euklidesową wektora x nazywamy nieujemną liczbę:
Niech dana będzie przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych wymiaru w której określony jest standardowy iloczyn skalarny (nazwany euklidesowym). Przestrzeń afiniczną nazywa się wówczas przestrzenią euklidesową wymiaru
4. Podać definicję kombinacji liniowej wektorów x1, ..., xm
Weźmy m wektorów należących do przestrzeni i liczb
Nazywamy kombinacją liniową wektorów ze współczynnikami
5. Kiedy wektory x1, ..., xm Î Rn nazywamy liniowo niezależnymi? Podaj przykład dwóch wektorów liniowo zależnych
Wektory nazywamy liniowo niezależnymi, jeżeli ich kombinacja liniowa jest wektorem zerowym tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki są równe zero.
Jeżeli wektory nie są liniowo niezależne, to mówimy, że są liniowo zależne.
Przykłady wektorów liniowo zależnych:
6. Podaj definicję macierzy.
Macierzą liczbową o n wierszach i m kolumnach nazywamy prostokątną tablicę zawierającą m-n liczb.
Tablicę taką zapisujemy w postaci
Jeśli elementy macierzy są liczbami rzeczywistymi to macierz nazywamy rzeczywistą.
Marcierz może zawierać inne elementy, np. funkcje – wtedy taką macierz nazywamy funkcyjną.
7. Podaj przykład macierzy trójkątnej dolnej.
8. Jaki jest warunek konieczny mnożenia macierzy?
Warunek konieczny:
Zasada mnożenia “wiersze przez kolumny”.
Mnożenie macierzy jest łączne ale nie przemienne. Jeśli AB istnieje to BA niekoniecznie, a jeśli nawet istnieją oba iloczyny to zazwyczaj nie są równe.
Zawsze można mnożyć przez siebie macierze kwadratowe tego samego stopnia.
9. Które z poniższych wzorów są prawdziwe (A, B, C – macierze)
a. A+(B+C)=(A+B)+C
b. A+B=B+A
c. A(BC)=(AB)C
d. AB=BA
e. A(B+C)=AB+AC
f. (A+B)C=AC+BC
10. (A+B)T= AT + BT (AB)T= BT * AT
11. Wymień działania elementarne na macierzach.
Wyróżnia się szereg działań na kolumnach i wierszach macierzy nazywanych powszechnie operacjami na macierzach.
· Mnożenie wiersza przez niezerową stałą
· Odejmowanie od wiersza innego wiersza pomnożonego przez stałą
· Zamiana wierszy
· Zamiana kolumn
· Usuwanie zera z i-tej pozycji przekątnej macierzy
· Metoda eliminacji Gaussa
· Metoda eliminacji Gaussa-Jordana
12. Jak obliczyć wyznacznik macierzy stopnia n za pomocą rozwiniecia Laplace’a?
Minorem Mik elementy aik wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n-1 która powstaje z macierzy A po opuszczeniu i-tego wiersza i k-tej kolumny.
Dopełnieniem algebraicznym Aik elementu aik wyznacznika nazywamy iloczyn.
Twierdzenie Laplace’a
Wyznacznik macierzy A stopnia n jest równy sumie iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnieniu algebraicznego.
Aby obliczyć wyznacznik macierzy za pomocą rozwinięcia Laplace’a należy obliczyć dopełnienie algebraiczne wszystkich elementów oraz pomnożyć je przez odpowiadający element macierzy (ik). W tym celu najlepiej przeprowadzić eleiminację Gaussa na jednej z kolumn.
13. Co się stanie z wyznacznikiem macierzy A, jeżeli przestawimy w niej (zamienimy miejscami) dwa wiersze, a co – gdy przestawimy dwie kolumny?
Podczas przestawienia wiersza lub kolumny wyznacznik macierzy zmienia znak.
14. Co się stanie z wyznacznikiem macierzy A, jeżeli jeden z jej wierszy pomnożymy przez 7, a co – gdy jedną z jej kolumn podzielimy przez 2
Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów jednego wiesza lub kolumny przez C to.
Pomnożenie jednego z wierszy macierzy przez 7 (czyli stałą) spowoduje zmianę wyznacznika o 1/7. Zatem aby wyznacznik był prawidłowy należy przemnożyć go wcześniej przez tą stałą.
Analogiczną sytuację mamy przy podzieleniu wiersza / kolumny przez 2. W ów czas należy także podzielić wyznacznik przez tę liczbę.
15. Podać definicję dopełnienia algebraicznego elemnentu aij macierzy kwadratowej A.
16. Podać definicję minora Mij.
17. Podać definicję macierzy dołączonej do danej macierzy A.
Macierzą dołączoną AD macierzy kwadratowej a=[aik] nazywamy macierz transponowaną macierzy utworzonej z dopełnień algebraicznych elementów macierzy A tzn.
gdzie Aik jest dopełnieniem algebraicznym elementu aik
18. Ile wynosi wyznacznik macierzy o dwóch liniowo zależnych wierszach?
Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach jak i liniowo zależnych zawsze równy jest 0.
19. Jakie są własności macierzy nieosobliwej?
Definicja: Macierz kwadratową A dla której det A = 0 nazywamy macierzą nieosobliwą.
Twierdzenie: Macierz odwracalna jest macierzą nieosobliwą.
20. Podać własności macierzy odwrotnej.
Macierz B nazywana jest macierzą odwrotną do macierzy A jeśli
AB = BA = I
Gdzie I jest macierzą jednostkową. Macierz odwrotną oznaczamy A-1 Macierz A nazywa się macierzą odwracalną, jeśli istnieje macierz odwrotną do macierzy A.
Własności macierzy odwrotnej:
1. Jeżeli istnieje macierz odwrotna do macierzy A, to jest ona tylko jedna
2. Macierz odwrotna A-1 do macierzy kwadratowej A istnieje wtedy, gdy A jest nieosobliwa
3. (A-1)-1 = A
4. (AT)-1 = (A-1)T
5. Jeśli A i B są macierzami nieosobliwymi tego samego stopnia, to: (AB)-1 = B-1A-1
21. Czy wyznacznik ulega zmianie, gdy do elementów jednego wiersza dodać odpowiednie elementy innego wiersza pomnożone przez dowolną stałą?
22. ...
gabi19931