ALGEBRA LINIOWA - macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.
24. Macierze - definicja, rodzaje własności, działania na macierzach, iloczyn tensorowy (w sensie Kroneckera), iloczyn macirzy (Cauchy’ego), wykonalność mnożenia.
Macierz prostokątna - Jeżeli m,n są ustalonymi liczbami naturalnymi i M={1,...,m}, N={1,...,N} to X=MxN. Oraz weźmy niepusty zbiór Y i określimy funkcję f:X®Y (fÎFun(X,Y)). Macierzą prostokątną nazywamy funcję f z m - wierszami i n - kolumnami przyjmującą wartości w zbiorze Y.
f=[fj,k]j=1,m , k=1,n =
Macierz transponowana fT=[fkj]k=1,n , j=1,m - jest to macierz otrzymana z macierzy f przez zamianę wierszy na kolumny i kolumn na wiersze.
Wymiar macierzy - Jeśli macierz A ma m- wierszy i n- kolumn to macierz jest rozmiaru m x n.
Wymiar macierzy transponowanej AT wynosi n x m. Jeśli ilość kolumn jest równa ilości wierszy n to wymiar macierzy jest n x n i taką macierz nazywamy macierzą kwadratową.
Suma macierzy -
A=[ aij]i=1,m, j=1,n i B=[ bij]i=1,m, j=1,n A+B=C=[ cij]i=1,m, j=1,n gdzie cij=aij+bij i=1,m , j=1,n
np.:
i to
Iloczyn macierzy przez liczbę - c*A=[c* aij]i=1,m, j=1,n
np: to
Iloczyn tensorowy ( w sensie Kroneckera)
A=[ aij]i=1,m, j=1,n i B=[ bkl]i=1,p, j=1,r
AÄB=[aij*B] i=1,m, j=1,n
np:
oraz
to :Iloczyn macierzy w sensie Cauchy’ego -
A=[ aij]i=1,m, j=1,n i B=[ bjk]j=1,n , k=1,p A*B=C=[cik]i=1,n , k=1,p
oraz to
Wykonalność mnożenia - Mnożenie macierzy w sensie Cauchy’ego jest wykonalne wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn w pierwszym czynniku mnożenia jest równa liczbie wierszy w drugim czynniku mnożenia.
25. Wektor jako macierz jednowierszowa lub jednokolumnowa. Iloczyn skalarny wektorów.
Wektor jako macierz - Każdy wektor można przedstawić w postaci macierzy jednowierszowej lub jednokolumnowej.
Np. wektory:
Iloczyn skalarny wektorów - jest to mnożenie wektora a przez wektor transponowany bT.
Iloczyn macierzy A*B jest to element cik ,gdzie cik jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza przez k-atą kolumnę.
26.Wyznacznik macierzy kwadratowej i jego własności.
Wyznacznik macierzy kwadratowej -
Suma jest brana po wszustkich n! - permutacjach p=(p1, p2, ...,pn) ciągu (1,2 ...,n)
inv(p) - liczba inwersji w permutacji p, gdzie inwersja oznacza nieporządek tzn sytuację, w której liczba większa poprzedza liczbę mniejszą.
Wyznacznik stopnia II i III
to
Ta metoda nazywa się metodą Sarrusa
Własności wyznaczników:
· macierz kwadratową nazywamy diagonalną jeśli na jej głównej przekątnej są liczby, które być może są różne od 0 (dowolne), a poza jej główną przekątną same zera. Wyznacznik macierzy diagonalnej jest iloczynem wyrazów głównej przekątnej.
· wyznacznik macierzy, w której jeden wiersz lub kolumna składa się z samych zer jest równy 0.
· wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi jej macierzy transponowanej.
· gdy macierz B powstaje z macierzy A przez zamianę miejscami 2 wierszy lub 2 kolumn to det(B)=-det(A).
· jeśli w macierzy 2 wiersze lub 2 kolumny są identyczne lub proporcjonalne to jej wyznacznik jest równy 0.
· jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów jednego wiersza lub jednej kolumny przez liczbę c to det(B)=c*det(A)
· wyznacznik nie zmienia wartości, gdy do wiersza (lub kolumny) dodamy odpowiedni elementy innego wiersza (lub kolumny) pomnożone przez dowolną stałą.
27.Minor macierzy.
Weźmy macierz A [n x m] oraz weźmy p£min{m,n} to jeżeli w macierzy A skreślimy m-p wierszy i n-p kolumn to powstanie macierz kwadratowa, która jest minorem stopnia p macierzy A.
28. Rozwinięcie Laplace’a.
Twierdzenie Laplace’a - Wyznacznik jest równy sumie iloczynów każdego dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia agebraicznego.
29.Osobliwość i nieosobliwość macierzy. Rząd macierzy.
Macierz nieosobliwa - macierz, której wyznacznik jest różny od 0.
Macierz osobliwa - macierz, której wyznacznik jest równy 0.
Rząd macierzy - Mówimy, że macierz AÎYm,n ma rząd R R=rg(A) (rang) jeśli istnieje minor M stopnia R macierzy A taki, że wyznacznik tego minora jest różny od 0 (det(M)¹0), a każdy minor stopnia większego od R (jeśli istnieje) ma wyznacznik równy 0.
30. Macierz odwrotna i jej własności.
31. Układy równań liniowych. Wzory Cramera.
Równanie liniowe z m-niewiadomymi - równanie . Jeżeli b=0 to równanie liniowe nazywamy równaniem jednorodym (tzn. takie które ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie: ).
Układem n-równań liniowych z n-niewiadomymi nazywamy układ:
(1)
Macierzą układu (1) n-równań liniowych z n-nieiwadomymi nazywamy macierz:
c jest to macierz kwadratowa.
Układ (1) nazywamy układem Cramera, jeśli wyznacznik det (A)¹0
Układ (1) można zapisać w postaci : A*X=Y, gdzie:
Wzory Cramera
Metoda Cramera - Niech Ai będzie macierzą n x n powstającą z macierzy A przez zastąpienie w niej i-tej kolumny wektorem kolumnowym Y.
Twierdzenie - Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie: i=1,2,...,n
32. Macierz dołączona układu równań. Układ zgodny. Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego. Liczba rozwiązań układu równań liniowych.
Macierz dołączona układu równań liniowych - Macierz Ay -powstała z macierzy A /macierzy układu/ przez dopisanie n+1 kolumny wyrazów wolnych.
Np.
Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego.
Na to, aby układ równań liniowych miał rozwiązanie potrzeba i wystarcza, aby rząd macierzy A był równy rzędowi macierzy dołączonej:
33. Rozwiązanie układu równań liniowych matodą eliminacji Gaussa-Jordana.
i) wypisujemy macierz dołączoną układu oddzielając macierz wyrazów wolnych pionową kreską.
ii) wykonując opisane poniżej operacje doprowadzamy macierz układu do postaći macierzy jednostkowej. Wówczas jedynki na odpowiednich miejscach oznaczają niewiadome, a liczby za kreską są ich wartościami /rozwiązaniami/.
*/ Jeżeli w trakcie wykonywanych operacji pojawi się wiersz złożony z samych zer „0” to układ jest nieoznaczony.
*/ Jeżeli w trakcie wykonywanych operacji pojawi się wiersz złożony z samych zer z lewej strony kreski, a nie będący zerem po prazwej stronie kreski to układ jest sprzeczny.
Dozwolone operacje:
· działać można tylko na wierszach
· wiersze można zamieniać miejscami
· wiersz można pomnożyć lub podzielić przez dowolną liczbę różną od „0”.
· do danego wiersza można dodać inny wiersz pomnozony przez stałą.
ediro