Analiza mat. listy zad. 1.1A.pdf

MAP1142–ANALIZAMATEMATYCZNA 1.1A

Listyzadań

Lista1

1.1. Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną:

a) „Amsterdam jest stolicą Holandii”; b) „liczba 123888 jest podzielna przez 8”; c) „ a 2 + b 2 = c 2 ”;

d) „trójkąt o bokach 3 , 4 , 5 jest ostrokątny”; e) „2 5 32”;

f) „= b 2 − 4 ac ”.

1.2. Napisać zaprzeczenia zdań:

a) „jem śniadanie i słucham radia”; b) „kwadratnie jest pięciokątem”;

c) „stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocław”; d) „jeśli jutro będzie ciepło, to pójdę na basen”;

e) „liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 3”.

1.3. Ocenić prawdziwość zdań złożonych:

a) „nieprawda,że funkcja f ( x )= x 2 jest rosnąca na R”;

b) „( − 1) 44 = − 1 lub 2008 jest liczbą parzystą”;

c) „funkcja g ( x )=sin x jest okresowa,a funkcja f ( x )=3 x nieparzysta”;

d) „jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra”;

e) „liczba 13579jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma 1+3+5+7+9 jest podzielna przez 9”.

1.4. Czy podane funkcje zdaniowe są prawami logicznymi:

a) ¬ ( p ∨ q ) = ⇒ [( ¬ p ) ∧ ( ¬ q )]; b) p = ⇒ [( q ∧¬ q ) = ⇒ r ]; c) ( p = ⇒ q ) ⇐⇒ [( ¬ p ) ∨ q ]; d) [ p ∧ ( ¬ q )] ∨ [( ¬ p ) ∧ q ]?

1.5. Zbiory określone za pomocą formy zdaniowej zapisać w prostszej postaci:

x ∈

R : x 2 =4

;

n ∈

N : liczba n 2 − n jest parzysta

;

c) { x ∈

x ∈

R :( x< 3) ∨ ( x 5) } ;

d) { n ∈

N : n jest podzielne przez 5 } ;

R :( x> 0) = ⇒

x 2 > 0

; f) { ( x,y,z ): x,y,z ∈

∧ x<y <z ∧ xyz =16 } .

1.6. Podać przykłady warunków, które spełniają tylko elementy zbiorów:

a) [ − 1 , 7];

b) { trójkąt równoboczny, kwadrat } ;

c) { 2 , 4 , 6 ,... } ;

2 , 1

3 , 1

5 , 1

7 , 1

11 ,...

; e) { 1 }∪ [2 , 3];

f) {− 1 , 1 , − 3 , 3 , − 5 , 5 , − 15 , 15 } .

1.7. Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantykatoramisą prawdziwe:

sin x = 1

2 ; b)

x 2 +4 x +3 > 0; c)

x 2 − y 2 =0;

x ∈

y ∈

xy =0; e)

( y x ) ∨ ( y >x ); f)

! x ∈

−

2 ,

∧ tg x = y.

y ∈

x ∈

y ∈

x ∈

1.8. Dla podanych par zbiorów A, B ⊂

R wyznaczyć A ∪ B , A ∩ B , A \ B , B \ A , A c , B c , A △ B :

a) A =(0 , 5), B =[0 , 7]; b) A =( −∞ , 3), B =[ − 1 , ∞ );

c) A = { 1 , 2 } , B = { 1 , 2 , 3 , 4 } ;

d) A = N, B = { 2 n : n ∈

} .

Wskazać te pary A, B , dla których A ⊂ B.

1.9. Wyznaczyć wszystkie podzbiory zbioru { ◦ , △ , 2 } .

1.10. Która z relacji A ⊂ B , czy B ⊂ A zachodzi, gdy:

a) A ∪ B = A ;

b) A ∪ B ⊂ A ;

c) A \ B = A ;

d) B ⊂ A ∩ B ?

Lista2

2.1. Określić i narysować dziedziny funkcji:

a) f ( x )=

x 2 − 2 x − 3 ;

b) f ( x )= x − 2

x 2 +4 ;

c) f ( x )=

16 − x 2 ;

d) f ( x )=

− ( x +3) 4 ;

e) f ( x )= x − 1

√

x − 1 ;

f) f ( x )=

x − 4

x 2 − 8 x +16 .

2.2. Określić funkcje złożone f ◦ f , f ◦ g , g ◦ f , g ◦ g oraz podać ich dziedziny, jeżeli:

a) f ( x )= 1

x , g ( x )= x 2 ;

b) f ( x )=

√

x , g ( x )= x 4 ;

c) f ( x )=

x +1 , g ( x )=

x +2 ;

d) f ( x )= | x | , g ( x )=

√

x +1.

2.3. Uzasadnić, że złożenie funkcji:

a) rosnącychjest funkcją rosnącą;

b) rosnącej i malejącej jest funkcją malejącą;

c) malejących jest funkcją rosnącą.

2.4. Znaleźć funkcje f i g takie, że h = f ◦ g , jeżeli:

a) h ( x )= x 2 ;

b) h ( x )= x 4 +2 x 2 − 2;

c) h ( x )= x 2 +2 x +1

x 2 +2 x − 1 ;

d) h ( x )=

| x | +1

| x |− 1 ;

e) h ( x )=

x +1

x ;

f) h ( x )=2 x 2 .

Czy funkcje f i g są wyznaczone jednoznacznie?

2.5. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowena wskazanych zbiorach:

a) f ( x )=2 x − 3 ,

b) f ( x )= 1

x ,

\{ 0 } ;

c) f ( x )= x 4 , [0 , ∞ );

d) f ( x )= x +1

x − 2 , (2 , ∞ ); e) f ( x )=

√

x − 3 , [0 , ∞ ); f) f ( x )= x − √

4 , ∞

2.6. Korzystajac z wykresu funkcji y =

√

x naszkicować wykresy funkcji:

√

a) y =

x − 2;

b) y =2

x ;

c) y =

2 − x ;

d) y =2 − √

x ;

e) y =1+

√

x ;

f) y =1 − √

x +1.

2.7. Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji:

a) f ( x )= x +1

x − 1 ;

b) f ( x )=3 − 3

√

x +2;

c) f ( x )= x 6 sgn x ;

d) f ( x )=

− x 2 dla x< 0 ,

2+ x dla x 0;

e) f ( x )=2 x − 1 ;

f) f ( x )=4 x ;

g) f ( x )=log( x +2);

h) f ( x )=log 2 2 x ;

i) f ( x )=log 3 2 ( x +1) .

Lista3

3.1. Korzystając z wykresu funkcji y =sin x naszkicować wykresy funkcji:

a) y =sin2 x ;

b) y =sin x

3 ;

c) y =sin

x +

;

d) y =1+sin x ; e) y = 1

2 sin x − 1; f) y =sin2

x −

3.2. Naszkicować wykresy funkcji:

a) y =sin x −

2 sin x

; b) y =1+ctg

x +

; c) y =tg x + | tg x | ; d) y = | tg x | ctg x .

3.3. Korzystajączewzorówredukcyjnychzapisaćpodanewyrażeniawpostacifunkcjitrygonometrycznychkąta

∈

0 ,

a) sin

−

; b) cos

2 +

; c) tg( − ); d) ctg

2 +

3.4. Uzasadnić tożsamości trygonometryczne:

1+tg

1+ctg

=tg ;

b) sin 4 +cos 4 =1 − 1

2 sin 2 2 ;

c) tg +ctg =

sin2

;

d) tg

2 = 1 − cos

sin ; e) sin 4 − cos 4 =sin 2 − cos 2 ; f)

cos

− cos =sin tg .

Dla jakich kątów są one prawdziwe?

3.5. Obliczyć wartości wyrażeń:

a) tg

arccos 1

;

b) ctg

arcsin 1

;

c) sin

arcsin 3

5 +arcsin 8

;

d*) sin(arctg1+arctg2).

3.6. Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych:

a) f ( x )=sin x , x ∈

2 , 3

;

b) f ( x )=cos x , x ∈ [ , 2 ];

c) f ( x )=tg x , x ∈

− 3

2 , −

;

d) f ( x )=ctg x , x ∈ ( , 2 ) .

Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych.

Lista4

4.1. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:

a) a n = 2+cos n

3 − 2sin n ; b) a n = n

√

2 n +1;

c) a n = 4 n − 1

2 n +3 ;

d) a n =

√

n +8 − √

n +3;

e) a n =

4 1 +1 +

4 2 +2 + ... +

4 n + n

;

f) a n =2 n − 3 n .

4.2. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:

a) a n = 2 n +1

n +2 ;

b) a n =

n 2 +1 ;

c) a n = n !

10 n ;

d) a n =

n 2 − 6 n +10 ;

e) a n =

4 n

2 n +3 n ;

f) a n =

n 2 +1 − n .

4.3. Korzystając z denicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości:

3 − n

n +4 = − 1; b) lim

2 n +1

n 2

√

n +1

a) lim

n →∞

=0;

c) lim

n →∞

√

n +1 =2;

n →∞

d) lim

n →∞

2 n +5 =0;

e) lim

n →∞ log 2 ( n +3)= ∞ ;

f) lim

n →∞

10 − 3

√

= −∞ .

4.4. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:

a) lim

n →∞

3 n − 1

n +4 ;

b) lim

n →∞

n +1

2 n 2 +1 ;

c) lim

n →∞

n 3 +2 n 2 +1

n − 3 n 3

;

n 20 +2

d) lim

n →∞

( n 3 +1) 20 ;

e) lim

n →∞

1+3+ ... +(2 n − 1)

2+4+ ... +2 n

;

f) lim

n →∞

5 n − 4 n

5 n − 3 n ;

g) lim

n →∞

n !+1

(2 n +1)( n +1)! ;

n 2 +1

h) lim

n →∞

n 2 +4 n +1 −

n 2 +2 n

;

i) lim

n →∞

n +6

√

n +1 − √

4.5. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice:

a) lim

n →∞

2 n +( − 1) n

3 n +2

;

b) lim

n →∞

⌊ n ⌋

;

c) lim

n →∞ n

√

3+sin n ;

n →∞ n

n + 2

n 2 + 3

n 3 ; e) lim

n →∞ n

√

n 2 n +1; f) lim

n →∞

n 2 +1 +

n 2 +2 + ... +

n 2 + n

;

√

3 n +2 n

5 n +4 n ;

g) lim

n →∞

√

;

h) lim

n →∞ n

i) lim

n →∞ n +2

3 n +4 n +1 .

4.6. Korzystając z denicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:

1+ 1

3 n − 2

5 n +2

5 n +1

15 n

3 n

3 n +1

a) lim

n →∞

;

b) lim

n →∞

;

c) lim

n →∞

;

n +4

n +3

5 − 2 n

n 2

n 2 +1

n 2

3 n +2

5 n +2

5 n +3

3 n +1

d) lim

n →∞

;

e) lim

n →∞

;

f) lim

n →∞

Lista5

5.1. Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znaleźć granice:

n →∞ n

√

n n +5;

b) lim

n →∞ (4 n +( − 3) n );

c) lim

→ ∞ (sin n − 2) n 2 ;

3 + 1

5 − 1

n 5 − 10 n 6 +1

√

1 + √

2 + ... + √

d) lim

n →∞

; e) lim

n →∞

; f) lim

n →∞

5.2. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:

a) lim

n →∞

n 2 +1

;

b) lim

n →∞

n 4 − 3 n 3 − 2 n 2 − 1

; c) lim

n →∞ (1+2 n − 3 n );

n +1

2 n

1 − ( n +1)!

n !+2

√

3 − cos

d) lim

n →∞

; e) lim

n →∞

;

f) lim

n →∞

;

g) lim

n →∞

arctg n

arcctg n ; h) lim

n +1

; i) lim

n →∞

arctg2 n

2 n

n →∞

ln( n +1) − ln n

5.3. Korzystając z denicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości:

a) lim

x → 3

( x − 2) 5 =1;

b) lim

x → 0

sin 2 x

=0;

c) lim

x →−

⌊ x ⌋ = − 4;

d) lim

x → 2 +

sgn(cos x )= − 1;

e) lim

x →− 3 −

x 2 − 9=0;

f) lim

x →−∞ (3 x +1) =1;

g) lim

x →∞

1 − 2 x 3

x 3 +1 = − 2;

h) lim

x → 2 +

x − 2 = ∞ ;

i) lim

x → 1

3 − x

| x 2 +2 x − 3 | = −∞ .

5.4. Wskazując odpowiednie dwa ciągi uzasadnić, że podane granice nie istnieją:

a) lim

x → 3

x 2

x − 3 ;

b) lim

x → 2

x 2

;

c) lim

x →∞ sin

√

x ;

d) lim

x → 0 −

cos 1

x 2 ;

e) lim

x → 0

sgn x

sgn( x +1) ;

f) lim

x → 5

( x −⌊ x ⌋ ) .

5.5. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice:

√

x 2 − 1

x 2 − x +1 ; b) lim

x 2 − 4

x 2 − x − 2 ; c) lim

x +

a) lim

x → 0

√

x ;

x → 2

x → 0

d) lim

x → 1

x 3 − 1

x 4 − 1 ;

e) lim

x → 1

x 6 − 1

1 − x 2 ;

f) lim

x →∞

x 2 − 5 x +4

x ( x − 5) .

d) lim

a) lim

Lista6

6.1. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice (cd.):

√

x − 2 − 2

x − 6

√

x − 4

√

1+ x − √

1 − x

g) lim

x → 6

;

h) lim

x → 64

√

x − 8 ;

i) lim

x → 0

;

2 x

√

1+ x 2

2 x +1

3 x +2 ;

j) lim

x →−∞

x 2 +1+ x

;

k) lim

x →∞

√

1 − x 3 ;

l) lim

x →∞

m) lim

x → 2 −

tg 2 x +1

tg 2 x +5 ;

n) lim

x → 0

sin 2 x

1 − cos x

;

o) lim

x → 2

tg x − 1

cos x

6.2. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice:

x → 0 x sgn x ;

b) lim

x → 0

x 3 ;

c) lim

x → 2

x 2 − 4

| x − 2 | ;

d) lim

x →− 1

sgn

1 − x 2

; e) lim

x → 0

⌊ x ⌋

x ; f) lim

x → 0 x arctg 1

x .

6.3. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości:

e) lim

x → 0 +

√

x cos 1

x 2 =0;

x → 0 x 3 arctg 1

=0;

d) lim

x → 2

⌊ x ⌋ sin( x )=0;

c) lim

x →−∞

2 − x +sin x

2 − x +cos x =1; f) lim

2+sin x

x 2

=0; g) lim

x →−∞ e x +sin 2 x =0;

x →∞

x + 1

h) lim

x →∞

⌊ 2 e x ⌋ +1 = 3

2 ; i) lim

x → 0 x 3

=0;

j) lim

x →∞

sin

− sin x

=0 .

6.4. Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnić równości:

a) lim

x →∞

x 2 +1

⌊ x ⌋ = ∞ ; b) lim

2+sin 1

= ∞ ; c) lim

x → 0 −

3 − cos 1

ctg x = −∞ .

x → 0

x 2

6.5. Korzystając z granic podstawowychwyrażeń nieoznaczonychobliczyć granice:

a) lim

x → 0

sin 2 3 x

x 2

;

b) lim

x → 0

sin x

;

c) lim

x →∞

tg 1

tg 2

;

d) lim

x → 0

arcsin2 x

arctg x ;

e) lim

x →∞ x 2 arctg 1

x ;

f) lim

x → 0

cos3 x − cos7 x

x 2

;

√

cos5 x

cos3 x ;

e 3 x − 1

sin2 x ;

ln(1+ 3

x )

g) lim

x → 2

h) lim

x → 0

i) lim

x → 0

;

j) lim

x →−∞

ln(1+2 x )

3 x

;

k) lim

x → 0 +

2 x − 1

√

x − 1 ;

l) lim

x → 0

(1+2 x )

x ;

√

x +2

2 x − 1

1+ x − 6

1 − x

m) lim

x →∞

;

m) lim

x → 0

[1+tg(2 x )] ctg x ;

o) lim

x → 0

6.6. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:

a) f ( x )= x 3 + x 2

x 2 − 4 ; b) f ( x )=

( x +1) 2 ; c) f ( x )= 1 − x 2

x 3

x +1 ;

√

d) f ( x )= x − 3

1+ x 2

e x − 1 ;

√

x 2 − 9 ;

e) f ( x )=

;

f) f ( x )=

g) f ( x )= sin x

x − ;

h) f ( x )= sin 2 x

x 3 ;

i) f ( x )= x − arctg x .

a) lim

⌊ 3 e x ⌋ +2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: