Zestaw XIII Planimetria
Zad. 1 kąt środkowy oparty na 4/9 okręgu ma miarę ??
4/9*360stopni=16/1czyli kat srodkowy ma 16 stopni
Zad. 2 W trojkacie prostokatnym p przyprostokatnych 3 i 4 wysokosc poprowadzona z wierzcholka kata prostego ma dlugosc:Trójkąt o przyprostokątnych 3 i 4, to typowy trójkąt "pitagorejski", w który przeciwprostokątna jest równa 5:gdyż:3² +4²=9+16=25√25=5Aby obliczyć wysokość poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego proponuję obliczyć pole trójkąta:P = ½ * przyprostokątna *przyprostokątnaP= ½ *4*3=6pole jest zawsze takie samo, czyli:P=½* h * przeciwprostokątna6=½ *h*56=2,5*h /:2,5h=2,4
3. Pole zacieniowanego na rysunku trójkąta wynosi
Kąt ostry 30 stopni
4. miara kąta wewnętrznego dziesięciokąta foremnego jest równa:
Suma kątów wewnętrznych wielokąta płaskiego o n bokach to:(n-2)*π= (10-2)*π = 8ππ=180°8*180=1440°w sumie ma 1440°, więc:1440/10 = 144°
5. Cięciwa AD ma długość 6 dm i jest oddalona od środka koła o 2 dm. Pole koła przedstawionego na rysunku jest równe
6. Odległość środka boku kwadratu o boku dł 6 do najbliższego punktu kwadratu wynosi?z pitagorasa:x²=6²+3²x²=36+9x²=45x=√45x=3√5= szukana odległość
Zad. 7. Stosunek pól kół wpisanego w kwadrat i opisanego na kwadracie o boku długości 3 wynosi..?
P1 - pole koła opisanego na kwadracieP2- pole koła wpisanego w kwadratP1=πR1²R1- połowa przekątnejR1=3√2/2P1=π*(3√2/2)²=π*9/2P2=πR2²R2 - połowa bokuR2=3/2P2=π*(3/2)²=π*9/4P2/P1=1/2
8.Przekątne rombu mają długości 12 cm i 12√3cm. Kąty tego rombu mają miary..½d₁=6cm½d₂=6√3cmtgα=6√3:6=√3α=60⁰ctgβ=6√3:6=√3β=30⁰kąty rombu mają:2×60⁰ i 2×30⁰kąty ostre mają po 60⁰, a rozwarte po 120⁰
9. Dwa pola w kształcie prostokąta które są podobne obsiano żytem. Pierwsze pole ma 75 m długości i 25 m szerokości.Dłuższy bok drugiego pola ma długość 18 m. Pozostały bok drugiego pola ma długość?
dłu g1 /dług 2=szer 1 /szer275/18=25/xx=18 *25 /75x=6m
10. .Punkty A=(2,-3),B=(5,1) są dwoma wierzchołkami kwadratu ABCD. Długość przekątnej tego kwadratu jest równa?
musimy obliczyć długość boku kwadratu{AB}2=(x2-x1)2+(y2-y1)2{AB)2=(5-2)2 +(1+3)2(AB}2=25{AB}=5przekątna=a pierw z 2d=5pierw z 2
11. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o kącie ostrym 30 stopni i krótszej przyprostokątnej 10 ma długość
Sin alfa = a/c
Sin 30 = ½
1/2 = 10/c c= 10 razy 2 = 20
Zad. 12 Wysokość trapeze równoramiennego o kącie ostrym 60 stopni i Ramieniu długości 2√3 ma długość
Obliczam wysokość h trapezuh : c = sin αh = c* sin 60°h = 2√3*(1/2)√3h = √3*√3h = 3
13. .Pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu długości 2 pierwiastek z 3 ma długość? r=2√3cm2√3=⅔a√3:2a=6pole=a²√3:4=6²√3:4=36√3:4=9√3cm²
14. Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB długości 12 CD dlugosci 8 i ramieniu dlugosci 6.
Prezrdlużenia ramion AD, CB przecinaja sie w punkcie S. Dł. odcinka AS jest rowna?SD/DC =SA/AB
SD/8 =SD+AD/12
SD/8 = SD+6/12
12 SD=8 SD +48
4 SD = 48 :4
SD = 12
AS = SD + AD
AS = 12+6
AS = 18
15. Promień koła opisanego na trójkącie o bokach długości 3 cm, 4 cm i 5 cm wynosi? (ma wyjść 2,5 cm).środek koła opisanego na trójkącie prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej
przeciwprostokątna c=5
czyli ½ z 5= 2,5
16. Dany jest kwadrat o przekątnej długości 8. z wierzchołka kwadratu zakreślamy kolo o promieniu równym długości boku kwadratu. pole powierzchni części wspólnej kwadratu i kola jest równe?
- bok kwadratud = 8 cm - przekatna kwadratur = a - bok kwadratuPx = ? - pole powierzchni wspólnej kwadratu i koła1. Obliczam bok kwadratu ad = 8 cmd = a√2 -wzór na przekatną kwadratua√2 = 8 cma = 8 : √2a = (8 : √2)*(√2 :√2) usuwam niwwymierność mianownikaa = 8√2 : 2a = 4√2 cm2. Obliczam pole częsci wspólnej Pxr = a = 4√2 cmCzęść wspólna to 1/4 pola kołaPx = 1/4*π*r²Px = 1/4*π*(4√2)²Px = 1/4*π* 16*2Px = 8*π cm²Px ≈ 25,12 cm²
17.Prosta m jest styczna do okręgu w punkcie K. Kąt środkowy ma miarę α=142. Wówczas kąt β ma miarę?
180−α
90 −
= β
2
90 – 180-142/2 = 9- - 19 = 71
18. długościami boków trójkąta mogą być
w trójkącie suma długości dwóch dowolnych boków zawsze musi być większa od trzeciego boku
√27=3√3√48=4√3√75=5√33√3+4√3>5√3
Zad. 19 W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę o 30 stopni mniejszą od miary kąta między ramionami.Kąt między ramionami ma miarę?
kąt między ramionami=xkąty przy podstawie= 2 *(x-30)2x-60 +x=180 /+603x=240 /:3x=80
Zad. 20 Przekątna czworokąta ma długość 12 cm i dzieli go na dwa trójkąty z których jeden ma obwód 24 cm a drugi 21 cm. Obwód czworokąta wynosi? (ma wyjść 21 cm).
obw1= 24 cm (a+b+c) (jest to obwód jednego trójkąta, przekątna tego czworokąta jest jednocześnie jednym z ramion obydwu trójkątów, licząc obwód całego czworokąta musimy odjąć od obwodów trójkątów 12cm czyli długość przekątnej (rozrysuj to sobię, lepiej Ci bęzie to zrozumieć ;))) a więc:obw1=24obw2=21obw(czworokąta)= 24+21-(12*2)= 45-24=21cmodp. Obwód czworokąta wynosi 21 cm.
Zad. 21 Pole rombu którego dłuższa przekątna wynosi 8 równe jest 21.Druga przekątna ma długość? (ma wyjść 21/4)
dane:d=8P=21szukane :e=?P=1/2 *d *e /*22P=d *e /:de=2P/de=42/8e=21/4
Zad. 22 Promień okręgu ma długość 2. Długość odcinka alfa zaznaczonego na rysunku wynosi
23. Jeżeli długość każdego boku trójkąta zwiększymy trzykrotnie to jego pole zwiększy Si e
Jeżeli przedłużysz bok trzy razy od danej jednostki, to pole zwiększy się 9-cio krotnie.
Np. Podstawa (a) trójkąta ma długość 4 . Natomiast wysokość (h) ma 3. Jakie jest pole tego trójkąta?Wzór na pole trójkąta:1/2a*hPod ten wzór podstawiasz liczby.1/2*4*3= 2*3= 6 Co się stanie jeżeli podstawę i wysokość przedłużymy trzykrotnie?1/2*(4*3)*(3*3)= 1/2* 12* 9= 6*9= 54Aby sprawdzić, o ile pole jest większe to wykonujemy dzielenie:54:6= 9
24. Ile punktów wspólnych ma okrąg o średnicy 5 z prostą, jeżeli środek tego okręgu jest oddalony od prostej o 4 cm
Promień jest mniejszy od odległości środka od prostej.2,5<4Zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych
Zad. 25 oceń, które z poniższych zdań jest prawdziwe
Trójkąt różnoboczny ma zero osi symetrii.Trójkąt równoramienny ma jedną oś symetrii.Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii.
Odp. Czyli każdy trójkąt ma co najwyżej 3 osie symetrii
Zestaw XIV
Z.1 Pole zacieniowanej figury gdzie 1 kratka ma pole 1
Figurę dzielimy na 4 części:-
- ¾ kola
-3/4 koła
-prostokąt
- trójkąt
Obliczamy ¾ Pola koła
P = pi r do kwadratu = 2 ko kwadratu razy pi = 4 pi
¾ z 4 pi = 3 pi
Drugi raz 3/3 pola koła = 3 pi
Pole prostokąta
P = a razy b b = 4 c= 3 P = 4 razy 3 = 12
Pole trójkąta P = ½ a razy h
A= 4 h = 3 P = ½ razy 4 razy 3 = 6
Pole figury= 3/4 pola koła + 3./4pola koła = pole prostokąta + pola kwadratu + 3 pi + 3 pi + 8 + 6 = 14 + 6 pi
Zad. 2 Kąt alfa na rysunki ma miarę
360- (100 +100+120) = 360 – 320 = 40 stopni
Zad. 3 w trojkącie rownoramiennym kąt przy podstawie ma miare cztery razy mniejsza od miary kąta między ramionami .miara kata między ramionami wynosi
x miara kąta przy podstawie4x + x + x = 1806x=180x=30miara kąta między ramionami 4x= 4*30=120odp 120
zad.4 Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku 6
P = a²√3 / 4
P= 6²√3 / 4
P= 34√3 / 4 = 9 √3
Zad. 5 ) Dane sa kąty przyległe z których jeden jest o 38 stopni większy od drugiego. Kąty te mają miary:
Suma kątów przyległych wynosi 180⁰mamy więc:α+(α+38⁰)=180⁰2α=142⁰α=71⁰
Zad. 6 Pole kwadratu,którego przekątna jest o 2cm dłuższa od boku, jest równa?
d=a√2d=a+2a√2=a+2a√2-a=2a(√2 - 1)=2 /:(√2 - 1)a=2/(√2 - 1)P=a²P=[2/(√2 - 1)]²P=4/(2-2√2+1)P=4/(3-2√2) * (3+2√2)/(3+2√2)P=4(3+2√2)/(9-4*2)P=4(3+2√2)/(9-8)
P=(12+8√2) cm²
Zad. 7 Długość boków trójkąta równobocznego powiększono o 20%. Pole tego trójkąta powiększyło się o:
TRÓJKĄT
a2√3
Pole =
4
II TRÓJKĄT
(1,2a)2...
ynni2