Przekształcenia całkowe
10. Wiadomości ogólne: Przekształceniem całkowym będziemy nazywać taką operację, która funkcjom rzeczywistym przyporządkowuje funkcje zespolone za pomocą wzoru:
f(s)=
lub piszemy
f(s)= T
przy czym k(s,t) jest jądrem przekształcenia całkowego T, a s=+ jw {,R).
Zbiór funkcji rzeczywistych f(t), gdzie t (- ; ) ,dla których całka
istnieje, oznaczać będziemy przez A i nazywać zbiorem oryginałów lub zbiorem funkcji
T – transformowalnych. Przez B oznaczać będziemy zbiór wszystkich funkcji zespolonych określonych wzorem: F(s)= T i nazywać go będziemy zbiorem T-transformat.
Przykłady:
1. Jeżeli przyjmujemy za jądro
k(s,t) =
to takie przekształcenie całkowe nazywamy przekształceniem Laplace’a -piszemy wówczas :
[f(t)] = , s = + jw.
2. Jeżeli jądro przekształcenia wyraża się wzorem
k(s,t)=
to jest to przekształcenie Laplace’a – Carsona
C[f(t)] = s sZ, s = + jw.
3. Jeżeli jądro k(s,t) = , gdzie Z , s = jw ( = 0 ), to:
F[f(t)] =
nazywamy przekształceniem Fouriera.
4. Jeżeli jądro przekształcenia k(s,t) = , s Z ,
to otrzymujemy przekształcenie Mellina postaci
M[f(t)] = .
Jeżeli A - zbiór funkcji T – transformowanych jest zbiorem liniowym, dla , i zachodzi tzn. że T jest operatorem liniowym w zbiorze A funkcji transformowanych.
Jeżeli istnieje przekształcenie odwrotne ,
to
F(s) = T[f(t)]=
i wtedy
[T[f(t)]] = f(t).
Przekształcenia całkowe stosuje się do rozwiązywania niektórych zagadnień równań:
1. różniczkowych zwyczajnych,
2. różniczkowych cząstkowych,
3. całkowych typu splotowego.
Metoda bezpośrednia
Problem równania problemu - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - rozwiązanie –
T równanie problemu
równanie przekształcone rozwiązanie równań przekształconych
20. Przekształcenia Laplace’a
Podstawą rolę w tym przekształceniu odgrywa funkcja
(x) =
(x) – funkcja skoku jednostajnego funkcji Heaviside’a
f(t) = t
Twierdzenie1: Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w pewnym przedziale to funkcja jest w tym przedziale również całkowalna i ponadto wartości całek są równe
.
Definicja: (przekształcenia Laplace’a). Przekształceniem Laplace’a funkcji rzeczywistej f(t) zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje F(s) zmiennej zespolonej s określonej następująco:
,
jeżeli ta całka istnieje to funkcja F(s) nazywa się transformacją Laplace’a funkcji f(t) i zapisujemy:
[f(t)]=F(s)
Twierdzenie2: Każda funkcja f(t) oryginalna ma transformację tzn. dla każdej funkcji wziętej z klasy oryginałów istnieje całka niewłaściwa .
Dowód:
Zauważmy, że
Ponieważ
i
to całka powyższa jest bezwzględnie zbieżna dla .
Dowiedliśmy, że całka niewłaściwa jest zbieżna bezwzględnie tzn. całka taka istnieje i jest określona dla takiego że .
UWAGA! Przekształcenie Laplace’a jako przekształcenie całkowe jest liniowe.
Twierdzenie 3: (o podobieństwie) Jeżeli [f(t)] = F(s) to dla a>0 zachodzi
Twierdzenie 4: (o tłumienności) Jeżeli to dla dowolnego stałego a mamy:
Twierdzenie o przesunięciu rzeczywistym:
, .
Twierdzenie o przesunięciu zespolonym:
Jeżeli i są funkcjami oryginalnymi, to
będziemy nazywać splotem funkcji i .
Z definicji wynika, że splot posiada następujące własności:
1. - przemienność
2. - jednorodność
3. - łączność
4. - przemienność szyku dodawania
5. , t > 0 - (Twierdzenie Titschmarsha)
Twierdzenie Borela: Transformata splotu dwóch funkcji oryginalnych jest równa iloczynowi ich transformat:
Można dowieść, że jeżeli F(s) jest transformatą Laplace’a funkcji oryginalnej f(t) tzn.
, to (*) gdzie a jest dodatnią liczbą rzeczywistą tak dobraną, że funkcja F(s) jest holomorficzna na prawo od x = a, przy czym całkę należy rozumieć następująco:
Wzór (*) pozwala obliczyć oryginał z równości:
co można zapisać skrótowo w następujący sposób:
(**).
Funkcja f(t) jest więc rozwiązaniem równania całkowego (**) i określona jest wzorem (*).
Łatwo zauważyć, że przekształcenie odwrotne jest przekształceniem liniowym na wzór (*) tzn.
Twierdzenie: Jeżeli liczby są biegunami funkcji F(s), która jest transformatą funkcji oryginalnej f(t), to f(t) wyraża się wzorem:
pod warunkiem, że funkcja F(s) nie ma poza tymi biegunami innych punktów osobliwych.
UWAGA 1: Jeżeli funkcja F(s) ma nieskończenie wiele biegunów izolowanych , czyli takich, że w otoczeniu każdego bieguna nie ma innych biegunów oraz funkcja f(t) nie ma punktów istotnie osobliwych to mamy:
przy czym można wykazać, że określony szereg jest zbieżny.
UWAGA 2: Jeżeli funkcja F(s) jest funkcja wymierną o współczynnikach rzeczywistych i liczba zespolona sk jest biegunem funkcji F(s), to liczba sprzężona jest biegunem tej funkcji oraz zachodzi wzór:
Twierdzenie o rozkładzie: Jeżeli F(s) jest funkcją wymierną właściwą postaci i jeżeli wielomian Q(s) ma tylko pojedyncze pierwiastki , to transformata odwrotna (funkcja oryginalna) wyraża się wzorem:
Wniosek: Jeżeli wśród biegunów pojedynczych funkcji wymiernej F(s) będzie s0 = 0 to funkcje F(s) można przedstawić w postaci:
, Q(s)0, k=1,2,3.....,n.
Ponieważ , więc
Wniosek: Jeżeli F(s) jest funkcją wymiernie właściwą w rzeczywistych współczynnikach
to na mocy uwagi 2:
gdzie jest rozciągnięte na wszystkie bieguny rzeczywiste, a jest rozciągnięta na bieguny urojone sprzężone.
UWAGA 3: Jeżeli oznaczymy biegunem funkcji wymiernej , a ich krotność przez to:
UWAGA 4: Jeżeli istnieje transformata odwrotna Laplace’a to twierdzenie Borela ma postać:
można zapisać:
...
hwz1954