Co ciekawsze wzory i algorytmy.doc

Co ciekawsze wzory i algorytmy

NIE ZAWSZE PODANE SĄ WYPROWADZENIA WZORÓW, TYLKO KONCOWE ALGORYTMY !!!

Liczby zespolone

Ø      jest to jednostka urojona oraz

Ø      Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej

·         dodawanie , ,

·         mnożenie

Ø      Dygresja: dla liczb zespolonych liczba postaci nazywa się liczbą sprzężoną do liczby Z

Ø      Postać trygonometryczna liczby zespolonej
gdzie: .
Natomiast jest argumentem liczby zespolonej, jeżeli to jest argumentem głównym liczby zespolonej.

Ø      Mnożenie liczb danych w postaci trygonometrycznej

Podobnie przy dzieleniu:
 

Ø      Przypadek 1 pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej
n=2 x,y – szukane a,b – dane
[teraz podniesiemy obie strony równania do kwadratu]

porównujemy Re oraz Im obu liczb
Otrzymujemy układ 2 równań: rozwiązując ten układ znajdujemy szukane x,y.

Ø      Przypadek 2
Rozwiąż równanie kwadratowe
 

Ø      Przypadek 3 pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej
W tym przypadku przewidujemy, że pierwiastek z liczby zespolonej będzie liczbą zespoloną daną w postaci trygonometrycznej tzn.:

Np.
Obliczyć

Zamienimy 1 na postać trygonometryczną


             

Ø      Przypadek 4
Obliczyć wartość wyrażenia (ile to k… jest ?)
                           

Ø      Uwaga !!!

 

Ø      Dygresja: wzory redukcyjne
Dla ćwiartki II                           
Dla ćwiartki III             
Dla ćwiartki IV             

Do tego należy uwzględnić znak jaki dana funkcja przyjmuje w konkretnej ćwiartce !!!
Można także określać przy pomocy tangensa !!!

Macierze i wyznaczniki

Macierz to coś takiego:

                            np.

Wyznacznik macierzy jest LICZBĄ !!!

Dla macierzy 2x2               wyznacznik tej macierzy oblicza się

Dla macierzy 3x3 (wymiaru) stosuje się schemat Sarussa

Dla macierzy kwadratowej dowolnego wymiaru wyznacznik można obliczyć za pomocą tzw. rozwinięcia Laplace’a !!!

Jeżeli w wyznaczniku skreślimy pewien wiersz i pewną kolumnę to tak otrzymany wyznacznik jest podwyznacznikiem lub minorem.

              posiada minorów 9 m.in.

Do obliczania wyznacznika dowolnego stopnia służy tzw. rozwinięcie Laplace’a (w tym również do wyznacznika stopnia 2 i 3). Rozwinięcie Laplace’a polega na rozwijaniu wyznacznika wg pewnego ustalonego wiersza lub pewnej ustalonej kolumny np.:

              dla tego wyznacznika rozwinięcie Laplace’a wg 1 wiersza ma postać

              czyli:

Rozważmy układ równań liniowych

              układ ten ma n równań i n niewiadomych

Wyznacznik postaci:

              jest wyznacznikiem głównym tego układu

Jeżeli wyznacznik główny układu równań * jest różny od 0 to układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie w postaci:

              Są to wzory Cramera

Gdzie:

Ciekawa własność:

Przykładzik

Kolejność przekształceń:

·         Wyciągnąć 2 z 3 wiersza

·         Przemnożyć 2 kolumnę przez -2 i dodać do kolumny 1

·         Przemnożyć 4 wiersz razy 3 i dodać do 1 wiersza

·         Rozwinąć Laplace’m wg 1 kolumny

·         Wyciągnąć 2 z 2 kolumny

·         Przemnożyć 3 wiersz razy 5 i dodać do 1 wiersza

·         Przemnożyć razy -1 3 wiersz i dodać do 2 wiersza

·         Rozwinąć Laplace’m wg 1 kolumny

·         Wyciągnąć 2 z 1 kolumny

·         Obliczyć wyznacznik

Algorytm znajdowania macierzy odwrotnej

Macierzą odwrotną do danej macierzy kwadratowej A nazywamy macierz oznaczoną A-1, taką że jeśli pomnożymy ją z lewej lub prawej strony przez macierz A to otrzymamy macierz jednostkową A·A-1=A-1·A=E

Dla każdej macierzy kwadratowej nieosobliwej (det≠0) istnieje macierz odwrotna, która można znaleźć wg formuły:

Dla każdego elementu macierzy kwadratowej można znaleźć dopełnienie algebraiczne tego elementu:

Przykład: znaleźć macierz odwrotną dla macierzy A

·         Sprawdzamy czy wyznacznik jest różny od 0

·         Teraz znajdujemy dopełnienia algebraiczne wszystkich elementów macierzy, czyli będzie ich 9

·         Następnie układamy macierz dopełnień algebraicznych

i zamieniamy ją w macierz transponowaną

·         Zgodnie z definicją macierzy odwrotnej musimy teraz ów macierz dołączną (dołączoną; czyli transponowaną macierz dopełnień algebraicznych) przemnożyć przez odwrotność wyznacznika macierzy A.

·         Na końcu możemy sprawdzić, czy ta macierz jest dobrze znaleziona
Mnożymy macierz A przez otrzymaną macierz odwrotną, powinniśmy w wyniku tego mnożenia otrzymać macierz jednostkową E.

Rzędem macierzy nazywamy stopień (rozmiar) największego różnego od zera minora wyjętego z tej macierzy.

Np. dla macierzy:

Dla powyższej macierzy B jej rząd nie wynosi 3 gdyż ów minor jest równy 0; natomiast istnieje minor 2na2 różny od 0.

Druga definicja rzędu macierzy

Rząd macierzy jest to największa liczba liniowo niezależnych kolumn tej macierzy

Na rząd macierzy nie wpływają następujące operacje:

·         Zamiana miejscami 2 wierszy lub 2 kolumn

·         Pomnożenie wiersza lub kolumny przez stałą liczbę

·         Pomnożenie wiersza lub kolumny przez stałą liczbę i dodanie do innego wiersza lub kolumny

·         Kolumna zer nie wpływa na rząd macierzy, można ją wykreślić

Jeszcze raz to samo, tylko szybciej:

Dygresja: na samym końcu wyciągnęliśmy kolejno z kolumn 1,2 i 3 następujące dzielniki: 21,-44,33.

Przykład dla wzorow cramera

a=-2

m>n              więcej równań niż niewiadomych

m<n              mniej równań niż niewiadomych

m=n liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, może być układem Cramera jeśli W≠0

W tym układzie mamy

              jest to macierz współczynników układu

              macierz rozszerzona układu

              kolumna wyrazów wolnych

W oparciu o te oznaczenia można sformułować twierdzenie, które rozstrzyga o rozwiązalności układu równań *

Twierdzenie KRONECKERA – CAPELLI’EGO

Układ równań * ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy (n – liczba niewiadomych; m – liczba równań):

rzA = rzAB przy czym:

rzA = rzAB = r = n to układ ma jedno rozwiązanie

rzA = rzAB = r < n to układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów

rzA ≠ rzAB to układ jest sprzeczny

I rozwiąż układ równań

rzA=rzAB=r=2              n=2

aby rozwiązań trzeba odrzucić jedno równanie, takie aby W≠0

II rozwiąż układ równań

rzA=rzAB=2=r n=3

układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru, umawiamy się że jedna zmienna np. z = t jest parametrem.

Odrzucamy trzecie równanie

              ...