cwiczenia_Analiza II.pdf

PODSTAWYANALIZY

ZADANIA

semestrII2008/09

1Równaniaró»niczkowezwyczajne

1.1Równaniaró»niczkowepierwszegorz¦du

1.Rozwi¡za¢równaniaozmiennychrozdzielonych

a ) xydx +( x +1) dy =0 b )( x 2 − 1) y 0 +2 xy 2 =0 c ) y 0 =10 x + y

2.Równaniasprowadzalnedorówna«ozmiennychrozdzielonych

a ) y 0 =cos( y − x ) b ) y 0 =

4 x +2 y − 1 c ) xy 0 = x + y

x e )( x 2 − y 2 ) dx +2 xydy =0

3.Równanialiniowepierwszegorz¦du

a ) xy 0 − 2 y =2 x 4 b ) xy 0 +( x +1) y =3 x 2 e − x c ) y = x ( y 0 − x cos x )

4.RównaniaBernoulliego

a ) y 0 = 4 y

x + x p yb ) xy 0 + y = xy 2 ln x

1.2Równania ró»niczkowe liniowe o stałych

współczynnikach

1.Znale¹¢całk¦ogóln¡równania:

a ) y ”+ y 0 − 2 y =0 b ) y ”+2 y 0 +5 y =0 c ) y ”+6 y 0 +9 y =0

(sprawdzi¢liniow¡niezale»no±¢rozwi¡za«zapomoc¡aWro«skianu)

2.Rozwi¡za¢równania:

a ) y 000 − 4 y 00 +5 y 0 − 2 y =0 b ) y (4) +4 y ”+4 y =0 c ) y (5) +2 y 000 + y 0 =0

d ) y 000 − 3 y 00 + y 0 − 3 y =0 e ) y (5) − 3 y (4) +3 y 000 − y 00 =0

d ) xy 0 − y = x tg y

3.Poda¢równanieró»niczkoweliniowe,któregorozwi¡zaniamiszczególnymis¡

funkcje:

a ) y 1 =3 ,y 2 =3 e x ,y 3 = e − x b ) y 1 = − 1 ,y 2 =5 x,y 3 =2 x 2 ,y 4 = e − 2 x

4.Czymo»napoda¢przykładrównaniaró»niczkowegoliniowegoostałych

współczynnikach,któregorozwi¡zaniemogólnymjestfunkcja f ( x )= C 1 x +

C 2 x 2

5.Znale¹¢całkiszczególnerówna«:

a ) y ” − 4 y 0 +3 y =0 y (0)=6 ,y 0 (0)=10

b ) y 000 − 7 y 0 +6 y =0 y (0)=2; ,y 0 (0)=8 ,y ”(0)=0

1.3Równaniaró»niczkowelinioweniejednorodne.Metoda

przewidywa«imetodauzmiennianiastałych

1.Znale¹¢całk¦ogóln¡równania:

a ) y ” − 3 y 0 +2 y =2 x 2 − 30 b )2 y ”+ y 0 − y =2 e x c ) y ” − 7 y 0 +6 y =sin x

d ) y ”+ y =sin x +cos xe ) y ” − y 0 = x + e x (1+ e x ) f ) y 000 + y ”+ y 0 + y = xe x

2.Rozwi¡za¢równania:

a ) y ”+ y =tg xb ) y ” − 2 y 0 + y = e x ln xc ) y ”+ y 0 = 1

e x +1

cos 3 x e ) y 000 + y 0 =tg x

3.Znale¹¢rozwi¡zaniaszczególnerówna«:

d ) y ”+ y = 1

a ) y ” − y 0 = − 2 x +2 y (0)=1 ,y 0 (0)=1 b ) y ”+4 y =sin2 xy (0)=0 ,y 0 (0)=0

c ) y ” − 2 y 0 = e x ( x 2 + x − 3) y (0)=2 ,y 0 (0)=2

2Całkaoznaczona

1.Znale¹¢poleﬁguryograniczonejkrzywymi:

1+ x 2 ,y = x 2

2 b ) y = x 4 ,y =2 − x 2 c ) y =2 x − x 2 ,y = − x

d ) y =sin x,y =cos x,x =0 ,x =

a ) y = 1

2.Obliczdługo±ciłukówkrzywych:

3 , ln3

8 , 3ln2

a ) y =ln x odpunktu

dopunktu

b ) y =ln(1 − x 2 ) ,x 2

0 , 1

c ) x = e t cos t,y = e t sin t,z = e t ,t 2h 0 , 1 i

3.a)Obliczy¢momentbezwładno±cimasyjednorodnegookr¦gu x 2 + y 2 = a 2

wzgl¦demjego±rednicy.

b)Obliczy¢mas¦łukukrzywej:

x = e t cos t,y = e t sin t,z = e t , 0 ¬ t ¬ 1

je±lig¦sto±¢wka»dympunkciekrzywejjestodwrotnieproporcjonalnado

odległo±citegopunktuodpocz¡tkuukładuwspółrz¦dnych.

c)Obliczy¢

L xyzdl ,gdzie

( x 2 + y 2 + z 2 = R 2

x 2 + y 2 = R 2

L =

0 ¬ x, 0 ¬ y, 0 ¬ z

4.Znale¹¢obj¦to±¢bryłypowstałejprzezobrótkrzywychwokółosiOx

a ) y =2 x − 1 ,x 2h 1 , 3 i

b ) y = x 2 ,y = p x

5.Obliczy¢powierzchni¦bryłyobrotowejpowstałejzobrotukrzywej

a ) y =2 x − 1 ,x 2h 1 , 3 i wokółosiOxiosiOy

b ) y =sin x, 0 ¬ x ¬ wokółosiOx

6.Wyznaczy¢ekstremaorazpunktyprzegi¦ciawykresufunkcji

Z x

1 − 2ln t

t 3

f ( x )=

3Całkaniewła±ciwa

Zbada¢zbie»no±¢całekniewła±ciwych:

Z + 1

arctg x

1+ x 2 dxb )

Z 0

−1 ( x +1) e x dxc )

Z 1

arcsin x

a )

1 − x 2 dx

4Szeregiliczbowe

1.Zbada¢zbie»no±¢szeregówiznale¹¢ichsum¦.

a )

1 X

2 n +3 n

6 n b )

1 X

n − 1

n !

n =1

2.Czyzbie»nes¡szeregi?

1 X

n 2 +1

10 n − 7 b )

1 X

2 n − 3

2 n +5

n 2

1 X

2 n 3 − 5

3 n +7 n 3

n c )

a )

d )

n =1

3.Zbada¢zbie»no±¢szeregówkorzystaj¡czkryteriumporównawczego.

1 X

2 n

5+3 n b )

1 X

1+ n 2

1+ n 3

! 2

1 X

sin n

a )

n 2 +2 n c )

d )

n p n

n =1

e )

1 X

sin n

n f )

1 X

ln n g )

1 X

4 n h )

1 X

1 p n tg 1

n =1

n =2

n =1

4.Zbada¢zbie»no±¢szeregówkorzystaj¡czuogólnionegokryterium

porównawczego

1 X

n n p n b )

1 X

n (1+ 1 n ) n

a )

n =1

c )

1 X

n ln

1+ 1

n =1

5.Zbada¢zbie»no±¢szeregów(kryteriumd’Alemberta)

1 X

n +2

n ! b )

1 X

(2 n )!

n !( n +1)! c )

1 X

n n

5 n n !

a )

n =0

n =1

6.Zbada¢zbie»no±¢szeregów(kryteriumCauchy’go)

1 X

2 n 2 +1

en 2 +3

! n

1 X

3 n − 1

2 n − 1

a )

b )

n =1

1 X

arctg 1

1 X

( n +1) n 2

3 n n n 2

c )

d )

n =1

7.Zbada¢zbie»no±¢szeregówkorzystaj¡czkryteriumcałkowego:

a )

1 X

n ln 2 n b )

1 X

n 2

e n 3 c )

1 X

ln n

n 2

n =2

n =1

8.Czymo»naroztrzygn¡¢zbie»no±¢szeregówprzyu»yciupowy»szychkryteriów?

1 X

n 2 b )

1 X

1 p n c )

1 X

arccos 1

a )

n =1

9.Znale¹¢graniceci¡gów:

n n

5 n n ! b )lim

3 n − 1

2 n − 1

5 n

n 5

a )lim

n !1

c )lim

n !1

n !( n +3)!

(2 n )! e )lim

2 n +3

d )lim

n !1

10.Zbada¢zbie»no±¢bezwzgl¦dn¡iwarunkow¡szeregów:

a )

1 X

( − 1) n +1

n 2 +1 b )

1 X

( − 1) n 1

3 p n +3 c )

1 X

( − 1) n arctg 1

n p n d )

1 X

( − 1) n tg 1 p n

n =1

5Szeregifunkcyjne

5.1Ci¡giiszeregifunkcyjne

1.Znale¹¢graniceci¡gówfunkcyjnych:

a ) f n ( x )= x n ,x 2 < 0 , 1 > b ) f n ( x )= n sin

,x 2h 0 , i

c ) f n ( x )=

1dla x 2 D 1 n , 1 E

2.Znale¹¢obszarzbie»no±ciorazsum¦szeregu:

a )

1 X

x n b )

1 X

e − nx

n =0

3.Znale¹¢obszaryzbie»no±cinast¦puj¡cychszeregów:

1 X

x n b )

1 X

n +1

2 x +1

1 X

a )

sin 2 n xc )

d )

(arctg x ) n

n =1

n =0

n =1

0dla x 2 D 0 , 1 n

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: