całki2.doc

1.     Przykłady całek oznaczonych

2.     Typy całek niewłaściwych

3.     Wniosek o całkowaniu przez podstawianie dla całek oznaczonych

4.      Wniosek o całkowaniu przez części

Całki oznaczone - przykłady:

Przykład 7.1
Obliczyć całkę , jeżeli


Przykład 7.2
Niech obliczyć całkę
 

Całki niewłaściwe

Pierwszy typ całek niewłaściwych:

1.      funkcja f jest nieciągła w punkcie a (ciągła w ]a,b])

Jeżeli ta granica istnieje to powiemy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, jeżeli nie istnieje to całka jest rozbieżna.

2.      funkcja nieciągła w punkcie b (ciągła w [a,b[)
 

3.      funkcja nieciągła w punkcie x0Î]a,b[ (ciągła w [a,b]\{x0})
 

Przykład 7.3
Obliczyć:
Zauważmy, że x0=1 jest punktem nieciągłości funkcji podcałkowej, wobec tego zapisujemy:

Wprowadzamy obliczenia pomocnicze:


Przykład 7.4
Obliczyć:
Punkt x0=0 jest punktem nieciągłości funkcji podcałkowej, zatem:

Korzystając z definicji Heine'go granicy funkcji, pokażemy, że powyższa granica nie istnieje:

Niech:

z (*) i (**) Ţ że granica nie istnieje - wniosek: całka jest rozbieżna

Uwaga:
x0Î]a,b[ - punkt nieciągłości
  
wartość główna całki niewłaściwej

Drugi typ całek niewłaściwych:

1.      fÎC[a,+Ą[ (przedział całkowania jest nieograniczony)
 

2.      fÎC]-Ą,b]
 

Przykład 7.5

Obliczyć całkę:


Przykład 7.6

Dana jest funkcja:


I sposób:
Zauważamy, że f jest ciągła w R, zatem istnieje funkcja pierwotna F.


Tak dobieramy stałe C, aby funkcja była ciągła i wtedy

II sposób:
           gdzie: x0 - ustalony punkt
jest różniczkowalna w punktach ciągłości funkcji podcałkowej i f'(x)=f(x)

Niech x0=0
 

1.      x<0
 

2.      xÎ[0,1]
 

3.      xÎ]1,3]
 

4.      x>3
 

zatem:


WNIOSEK 7.1 (całkowanie przez podstawianie dla całek oznaczonych)
Z: fÎC[a,b],     j:[a,b]->[a,b],      j - bijekcja
   
T:

Uzasadnienie:
Jeżeli f pierwotna do F na [a,b], to (Foj)(t) - pierwotna do f(j(t)) j'(t)



Wniosek 7.2 (całkowanie przez części)
Z: f,gÎC1[a,b]
T:

Przykład 7.7

Obliczyć: