8
BADANIE WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNYCH TERMOMETRÓW.
W stanach nieustalonych lub przy szybko zmieniającej się temperaturze sygnał wyjściowy termometru Y zmienia się w czasie: Y = f(J, t). W tych warunkach właściwości statyczne termometru nie wystarczają do określenia wartości sygnału wyjściowego w chwilach stanu nieustalonego. Zależność sygnału wyjściowego termometru od mierzonej temperatury J w dowolnej chwili t może być określona na podstawie właściwości statycznych i właściwości dynamicznych termometru.
Należy wtedy traktować termometr jak przetwornik inercyjny, którego stan ustalony opisany jest statyczną funkcją przetwarzania, a stan nieustalony (przejściowy) dodatkowo funkcją czasową modulującą statyczną funkcję przetwarzania. Inercja termometru wynika ze zjawisk fizycznych zachodzących w części termoczułej termometru podczas ustalania się wymiany ciepła pomiędzy termometrem a badanym ośrodkiem.
Dla termometrów w, których wymiana cieplna odbywa się w całej objętości ich części termoczułych (termometry o działaniu objętościowym) wystarczająco dobrym do określenia ich sygnału wyjściowego w czasie jest przyjęcie modelu przetwornika inercyjnego I-go rzędu. W praktyce dotyczy to termometrów bez osłon i izolacji termicznej wykonanych z materiałów o dużej przewodności cieplnej. Termometry z osłonami i izolacją termiczną , a także o znacznych wymiarach geometrycznych w, których przepływ ciepła odbywa się nierównomiernie w całej ich objętości należy traktować jak przetworniki inercyjne II-go rzędu. Przyjęte modele przetworników inercyjnych dla opisywanych termometrów są słuszne przy założeniu, że prąd przepływający przez termometr jest tak dobrany, aby przyrost temperatury termometru spowodowany samopodgrzewaniem był pomijalnie mały w porównaniu z temperaturą mierzoną.
Termometry o małej masie, bez osłony lub z cienką osłoną o dużej przewodności cieplnej bezpośrednio przylegającą do ich części termoczułej można rozpatrywać jako elementy inercyjne I-go rzędu.
Ogólnie do określenia czasowej odpowiedzi przetwornika II-go rzędu potrzebna jest znajomość jego statycznych właściwości w celu określenia wartości sygnału wyjściowego w stanie ustalonym oraz dwóch stałych czasowych i pulsacji drgań własnych przetwornika.
Do określenia wartości sygnału wyjściowego Y (J , t) w stanach nieustalonych przetworników inercyjnych wystarcza znajomość wartości ustalonej sygnału wyjściowego Yu(J) oraz dwóch stałych czasowych, z których jedna określa czas opóźnienia reakcji termometru na zmieniającą się temperaturę J (t) ośrodka w, którym znajduje się termometr. W przetwornikach inercyjnych I-go rzędu nie występuje opóźnienie. Termometry o działaniu objętościowym ( bez warstwy izolacyjnej), także o działaniu powierzchniowym (element termoczuły w kształcie rury cienkościennej bez osłony) są praktycznie przetwornikami inercyjnymi I-go rzędu.
Na rys.1 pokazano szkic konstrukcji termometru w osłonie metalowej i izolacją termiczną (rys.1a) oraz elektryczny analog parametrów jego cieplnych parametrów (rys.1b).
Rys.1. Szkic konstrukcji termometru elektrycznego w osłonie i jego analog elektryczny.
Na rys.1b temperatury J, J1 i J2 są odpowiednikami napięć U, U1, U2 w układzie elektrycznym, a strumienie cieplne Q, Q1, Q2 odpowiadają prądom I, I1, I2 zaś rezystancje termiczne R1, R2 i pojemności cieplne C1, C2 odpowiadają rezystancjom i pojemnościom elektrycznym układu elektrycznego. Zgodnie z oznaczeniami jak na rys.1 jest:
, , ,
przy czym: m1 - masa osłony ,
m2 - masa części termoczułej,
c1 ,c2 - ciepło właściwe odpowiednio osłony i części termoczułej termometru,
a1 , a2 - współczynniki przejmowania ciepła odpowiednio osłony i części termoczułej termometru,
K1 , K2 - stałe,
Q - ciepło wnikające w termometr,
Q1 - ciepło przejmowane (nagrzewające) przez osłonę,
Q2 - ciepło przejmowane przez część termoczułą,
J - temperatura badanego ośrodka,
J1 - temperatura osłony termometru,
JT - temperatura części termoczułej termometru.
Dla termometru jak na rys.1 można napisać z bilansu cieplnego w czasie dt:
(1).
Z równania (1) po przekształceniach i różniczkowaniu względem czasu otrzymuje się dla mierzonej temperatury J:
(2).
Zależność (2) jest ogólnym równaniem różniczkowym opisującym odpowiedź termometru na zmianę temperatury badanego ośrodka.
Przyjmując w (2) , że J ( t ) = J×1( t ) - skok jednostkowy temperatury o amplitudzie J można z równania (2) wyznaczyć postać czasową odpowiedzi termometru JT ( t ) :
(3)
gdzie:
.
Przytoczona postać rozwiązania jest skomplikowana , ponadto wymagane jest stosunkowo dokładne określenie parametrów cieplnych konstrukcji termometru stąd ma małą przydatność praktyczną. Przedstawiając model matematyczny termometru jako dwa szeregowo połączone nie działające na siebie wstecz człony inercyjne I-go rzędu (jak na rys.1b) można model termometru opisać w dziedzinie operatorowej jako transmitancję operatorową GT ( s ) :
(4)
gdzie: KT - stała przetwarzania termometru (wzmocnienie operatorowe)
, .
Na rys.2 pokazano wskazanie termometru w czasie jako odpowiedź na skok jednostkowy temperatury a) oraz schemat zastępczy termometru odpowiadający zależności (4).
Rys.2. Przebieg czasowy odpowiedzi termometru jak na rys.1 na skok temperatury -a) oraz schemat zastępczy termometru -b); wzmacniacz o wzmocnieniu KT symbolizuje statyczny współczynnik przetwarzania (stałą) termometru.
Postać czasowa odpowiedzi termometru jako przetwornika inercyjnego II-go rzędu opisanego zależnością (4) jest następująca :
(5)
gdzie: a ,b - pierwiastki równania charakterystycznego zależności (4):
(6),
, , ( A, B, a, b >0, p.>1, p - stopień tłumienia ),
W przypadku przetwornika I-go rzędu równanie różniczkowe jest I-go rzędu (jeden człon inercyjny; t0 =0 ), z którego wynika stała czasowa t.
Na rys.3 pokazano przebiegi czasowe odpowiedzi termometru na skok temperatury w zależności od jego konstrukcji. Uwzględniono tam w sposób poglądowy usytuowanie i kształt elementu termoczułego w stosunku do osłony oraz uwzględniono jej grubość.
Rys.3. Odpowiedzi czasowe termometrów o różnych konstrukcjach. Na rys. oznaczono:
1 - osłona , 2 - element termoczuły, A, B, C - przekroje poprzeczne termometrów o działaniu odpowiednio ; powierzchniowym, objętościowym, środkowym (z osłoną o dużej pojemności cieplnej).
Termometry typu A i B (rys.3) są przetwornikami inercyjnymi I-go rzędu , a typu C przetwornikami inercyjnymi II-go rzędu.
Zgodnie z zależnością (3) oraz rys.1b i rys.2b stałe czasowe termometru są równe:
Dla rzeczywistych termometrów typu A lub B zawsze jest t1 << t2 . Przyjmuje się t1 »t0 » 0, stąd termometry tych typów uważa się za przetworniki inercyjne I-go rzędu.
Z przytoczonych rozważań wynika, że dla określenia właściwości dynamicznych termometrów (także innych przetworników) wystarcza znajomość ich parametrów statycznych oraz stałych czasowych.
Jednak wyznaczanie stałych czasowych na podstawie pomiaru sygnałów wyjściowych dla określonych chwil czasu t z równania (2) po podstawieniu do niego ich wartości jest niepraktyczne. W praktyce stałe czasowe wyznacza się metodami graficznymi na podstawie sporządzonego z pomiarów wykresu bądź przy pomocy technik komputerowych wykorzystujących odpowiednie programy obliczeniowe przy czym wyniki pomiaru rzeczywistych przetworników są automatycznie rejestrowane i przeliczane, a następnie przedstawiane w postaci graficznej lub liczbowej (na ekranie monitora lub na rejestratorze X-Y).
Stałe czasowe wyznacza się poprzez dobór parametrów przebiegu wzorcowego dającego taki sam obraz graficzny jak wykres odpowiedzi czasowej badanego przetwornika.
Ponieważ przebiegi czasowe przetworników inercyjnych mają charakter wykładniczy praktyczne jest wyznaczanie stałych czasowych z charakterystyk po ich logarytmowaniu. Zasada ta jest wykorzystywana w technikach komputerowych. Wymuszenie sygnału wejściowego (temperatury) może być tu skokiem jednostkowym narastającym lub opadającym.
Aby wyznaczyć tym sposobem stałą czasową przetwornika inercyjnego I-go rzędu z pomiaru jego odpowiedzi na skok jednostkowy korzystając z wykresu w zależności (5), która dla przetwornika I-go rzędu przyjmuje postać:
(skok narastający) (7)
(skok opadający)
W zależności (7) oznacza się: ,
a następnie oblicza się: (8).
Zależność (8) jest funkcją liniową (rys 4) , w której współczynnik kierunkowy jest równy odwrotności stałej czasowej t przetwornika inercyjnego I-go rzędu (termometry o konstrukcjach typu A i B jak na rys.3).
Rys.4. Przebieg zależności (8).
Z wykresu (rys.4) wynika: (9).
Odpowiedź czasową przetwornika inercyjnego II-go rzędu Y(t) [np. zależność 5, lub często przedstawiana w postaci operatorowej zależność: ] po logarytmowaniu nie przedstawia już zależności liniowej lecz przebieg jak na rys.5. W podanej zależności operatorowej X( s ) opisuje odpowiedź ( transmitancję operatorową ) członu inercyjnego I-go rzędu, a człon określa opóźnienie czasowe odpowiedzi przetwornika.
Rys.5. Przebieg zależności ln[Y(t)] = f(t) dla przetwornika inercyjnego II-go rzędu.
Na podstawie wykresu jak na rys.5 wyznacza się:
(10),
(11).
Wartość t1 odpowiada nachyleniu stycznej do krzywej (rys.5) dla dostatecznie długich czasów t, a więc określa stałą czasową t termometru.
Znając wartości t1 i t2 można w ogólnym przypadku z równań (6) wyznaczyć pulsację własną w0 i stopień tłumienia p. Dla termometrów zawsze jest p>0, w praktyce dla opisu ich właściwości dynamicznych wystarcza wyznaczenie ich stałych czasowych. Dla termometrów z osłoną (typu C na rys.3) jest to czas opóźnieniat0 i stała czasowat.
Na rys.6. pokazano przebieg odpowiedzi przetwornika I-go rzędu (a) i II-go rzędu (b) na skok jednostkowy (skok temperatury) oraz sposób wyznaczania stałej czasowej t i czasu opóźnienia t0 metodą graficzną.
Rys.6. Przebieg odpowiedzi przetworników inercyjnych I-go i II-go rzędu na skok jednostkowy wielkości przetwarzanej (temperatury).
Na rys.7 przedstawiono układ pomiarowy do badania właściwości dynamicznych termometrów rezystancyjnych.
Rys.7. Układ pomiarowy do badania właściwości dynamicznych termometrów rezystancyjnych.
Pytania kontrolne.
PROGRAM ĆWICZENIA.
(rys.7) oraz temperaturę wody w naczyniu kalorymetrycznym.
ikea_92