2008-2009p.pdf

Algebra liniowa 1

Egzamin poprawkowy, semestr zimowy 2008/2009

Na pierwszej stronie pracy prosz ę napisa ć nazw ę kursu, z którego odbywa si ę egzamin, termin egzami-

nu (podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi ę i nazwisko, numer indeksu, wydział, kieru-

nek, rok studiów, imi ę i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadz ą cej ć wiczenia), dat ę oraz sporz ą -

dzi ć poni Ŝ sz ą tabelk ę . Ponadto prosz ę ponumerowa ć , podpisa ć i spi ąć zszywaczem wszystkie

pozostałe kartki pracy.

1 2 3 4 5 6 Suma

Tre ś ci zada ń prosz ę nie przepisywa ć . Rozwi ą zanie zadania o numerze n nale Ŝ y napisa ć na n -tej

kartce pracy . Na rozwi ą zanie zada ń przeznaczono 120 minut, za rozwi ą zanie ka Ŝ dego zadania mo Ŝ na

otrzyma ć od 0 do 5 punktów. W rozwi ą zaniach nale Ŝ y dokładnie opisywa ć przebieg rozumowania, tzn.

formułowa ć wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza ć stosowane wzory, uzasadnia ć wyci ą ga-

ne wnioski. Ponadto prosz ę sporz ą dza ć staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Obliczy ć moduł i argument główny liczby zespolonej

z =

( 1 − i ) 27

( 3 + i ) 15

2. Znale źć pierwiastki wielomianu W ( z ) = iz 2 − 2 z + 3 .

3. Wyznaczy ć liczby

a, b

oraz macierz z warunku

2 −1

3 1

1 −1

× B =

3 −3

2 3

a b

3 4 3

1 0 2

1 2 3

−1

4. Stosuj ą c wzór na macierz odwrotn ą obliczy ć

5. Stosuj ą c wzory Cramera wyznaczy ć warto ść wiedz ą c, Ŝ e liczba

u = 2

spełnia

Odpowiedzi do zestawu F8

układ równa ń

x + y + 3 z + 4 u = b

x + y + 9 z + 10 u = b

2 x + 3 y + 6 z + 6 u = b

z =

, arg z =

;

− i ± 1

2 ( 2 + 6 )

;

+ 6 z + 8 u = b

1 0

−1 3

, a = 2, b = −3

;

6. Znale źć rzut prostok ą tny punktu

P = ( 4, 5, −3 )

na płaszczyzn ę

− 5

x = 2 + 2 t + s

y = 1 + 3 s

z = 3 + t + s

− 5

;

p :

, s , t Î R

− 5

b = 4

;

!!! Egzamin trwa 90 minut.

Prosz ę wybra ć pi ęć zada ń spo ś ród sze ś ciu .

punkt

( 1, 4, 3 )

B =

Algebra liniowa 1

Egzamin poprawkowy, semestr zimowy 2008/2009

Na pierwszej stronie pracy prosz ę napisa ć nazw ę kursu, z którego odbywa si ę egzamin, termin egzami-

nu (podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi ę i nazwisko, numer indeksu, wydział, kieru-

nek, rok studiów, imi ę i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadz ą cej ć wiczenia), dat ę oraz sporz ą -

dzi ć poni Ŝ sz ą tabelk ę . Ponadto prosz ę ponumerowa ć , podpisa ć i spi ąć zszywaczem wszystkie

pozostałe kartki pracy.

1 2 3 4 5 6 Suma

Tre ś ci zada ń prosz ę nie przepisywa ć . Rozwi ą zanie zadania o numerze n nale Ŝ y napisa ć na n -tej

kartce pracy . Na rozwi ą zanie zada ń przeznaczono 120 minut, za rozwi ą zanie ka Ŝ dego zadania mo Ŝ na

otrzyma ć od 0 do 5 punktów. W rozwi ą zaniach nale Ŝ y dokładnie opisywa ć przebieg rozumowania, tzn.

formułowa ć wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza ć stosowane wzory, uzasadnia ć wyci ą ga-

ne wnioski. Ponadto prosz ę sporz ą dza ć staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Obliczy ć z definicji

21 − 20 i

2. Pierwiastkami wielomianu stopnia o współczynnikach rzeczywistych s ą

z 1 = 4 z 2 = − 5 z 3 = −2 − i z 4 = 1 + 3 i V ( 0 ) = 40

Przedstawi ć ten wielomian jako iloczyn wielomianów rzeczywistych.

, ponadto

3. Rozwi ą za ć równanie macierzowe

1 1

× X + X ×

1 1

0 1

1 4

2 5

B 5

czwórki, a poza tym same jedynki. Wykonuj ą c operacje elementarne na wyznaczni-

ku sprowadzi ć go do postaci trójk ą tnej.

5. Metod ą macierzy odwrotnej rozwi ą za ć układ równa ń

Odpowiedzi do zestawu Y8

2 x + 3 y + z = 6

4 x + 3 z = 7

x + 2 y + z = 4

{ 5 − 2 i , −5 + 2 i }

;

−

( x − 4 ) ( x + 5 ) ( x 2 + 4 x + 5 ) ( x 2 − 2 x + 10 )

;

A = ( 2, 0, 0 ), B = ( 0, 3, 0 ), C = ( 1, 2, 4 ), D = ( 0, 0, 0 )

wierzchołkami czworo ś cianu. Wskaza ć jego ś cian ę o najmniejszym polu.

s ą

X =

0 1

;

1 2

648

;

!!! Egzamin trwa 90 minut.

Prosz ę wybra ć pi ęć zada ń spo ś ród sze ś ciu .

x = y = z = 1

6. najmniejsze pole ma ś ciana

;

ABD

liczby

0 1

4. Obliczy ć wyznacznik macierzy stopnia , która na głównej przek ą tnej ma same

6. Punkty

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: