wykład_semestr2.pdf

(423 KB) Pobierz
137326125 UNPDF
8.UK LADYR ´ OWNA ´ NLINIOWYCH.DIAGONALIZACJAMACIERZY.
Wporzednimparagrafiezdefiniowali´smypoje , cieuk ladur´owna´nliniowychipodali´smy
sposobyrozwia , zaniago,wprzypadku,gdyuk ladjestuk lademCramera.Jednak˙zewprak-
tycecze , stospotykamyuk ladyr´owna´nliniowychor´o˙znejliczbier´owna´niniewiadomych,
dlategote˙zrozdzia ltenpo´swie , cimyproblemowiistnieniarozwia , zaniatakichuk lad´ow.Po-
nadtopodamynowa , metode , odwracaniamacierzy.
8.1.Uk ladyr´owna´nliniowych.TwierdzeniaKroneckera-Capelliego.
Niechdanybe , dzieuk ladr´owna´n
8
> <
> : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 n x n = b 1
(8.1.1)
Macierz
6 4 a 11 a 12 a 1 n
3
A =
a 21 a 22 a 2 n
a m 1 a m 2 a mn
7 5
(8.1.2)
nazywamy macierza , g l´owna , uk ladu ,natomiastmacierze
6 4 b 1
3
6 4 x 1
3
B =
b 2
b m
7 5
; X =
x 2
x n
7 5
nazywamyodpowiednio kolumna , (macierza , )wyraz´owwolnych i kolumna , (macierza , )nie-
wiadomych .Ponadtomacierz
6 4 a 11 a 12 a 1 n b 1
3
U =
a 21 a 22 a 2 n b 2
a m 1 a m 2 a mn b m
7 5
(8.1.3)
powsta la , zmacierzy A przezdo laa , czeniekolumnywyraz´owwolnychnazywamy macierza ,
uzupe lniona , .
Twierdzenie8.1.1.( Kroneckera-Capelliego )Uk ladr´owna´nliniowych(8.1.1)marozwia , -
zaniewtedyitylkowtedy,gdyrz A =rz U ,przyczymgdyrz A =rz U = n ,touk lad
madok ladniejednorozwia , zanie,gdyrz A =rz U<n ,touk ladmaniesko´nczeniewiele
rozwia , za´nzale˙znychod nr parametr´ow.
1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = b 2
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + + a mn x n = b m
2
2
2
2
Zauwa˙zmy,˙zeje˙zeliuk lad(8.1.1)jestuk lademjednorodnym,tomacierzuzupe lniona
U powstajeprzezdopisaniedomacierzyg l´ownej A kolumnyz lo˙zonejzsamychzer.Zatem
rze , dytychmacierzysa , takiesame,cooznacza,˙zeka˙zdyuk ladjednorodnymazawsze
rozwia , zanie.NamocytwierdzeniaKroneckera-Capelliegomaonrozwia , zanieniezerowe
tylkowtedy,gdyrza , dmacierzyg l´ownejjestmniejszyodliczbyniewiadomych.
Dorozwia , zywaniauk lad´owr´owna´nliniowychmo˙zemyzastosowa´cmetode , eliminacji
Gaussa.Ka˙zedmuuk ladowir´owna´nodpowiadapewnamacierzuzupe lnionainaodwr´ot
maja , cdana , macierzmo˙zemyja , potraktowa´cjakomacierzuzupe lniona , pewnegouk ladu
r´owna´nliniowych.Stosuja , cmetode , eliminacjiGaussadorozwia , zaniauk ladur´owna´n
sprowadzamyjegomacierzuzupe lniona , domacierzynaste , puja , cejpostaci
2
1 0 ::: 0 jp 1 ;r +1 p 1 ;r +2 ::: p 1 n jz 1
0 1 ::: 0 jp 2 ;r +1 p 2 ;r +2 ::: p 2 n jz 2
. . . . . . . . . . . . j . . . . . . . . . . . . j . . .
0 0 ::: 1 jp r;r +1 p r;r +2 ::: p rn jz r
0 0 ::: 0 j 0 0 ::: 0 jz r +1
3
6 6 6 6 6 6 4
7 7 7 7 7 7 5
;
gdzierz A = r .W´owczas,
1)je˙zeli z r +1 6 =0,uk ladjestsprzeczny,
2)je˙zeliostaniwierszniepojawisie , i n = r ,touk ladjestoznaczonyimarozwia , zanie
postaci
x 1 = z 1 ; x 2 = z 2 ;:::;x n = z n :
3)je˙zeliostaniwierszniepojawisie , i n>r ,touk ladjestnieoznaczony,ajegorozwia , zania
zale˙za , odparametr´ow( x r +1 ;x r +2 ;:::;x n )wnaste , puja , cyspos´ob
2
6 6 4 x 1
3
6 6 4 z 1
3
6 6 4 p 1 ;r +1 p 1 ;r +2 :::p 1 n
3
6 6 4 x r +1
3
x 2
. . .
x r
7 7 5
=
z 2 . . .
z r
7 7 5
p 2 ;r +1 p 2 ;r +2 :::p 2 n
. . . . . . . . . . . .
p r;r +1 p r;r +2 :::p rn
7 7 5
x r +2
. . .
x n
7 7 5
Zadanie8.1.1.Rozwia , ˙zpodaneuk ladyr´owna´n
8
> <
> : x 1 +6 x 2 x 3 =0
x 1 4 x 2 +5 x 3 =6
3 x 1 +17 x 2 =0
2 x 1 +13 x 2 +5 x 3 =8
: x 1 +2 x 2 +3 x 3 x 4 =0
a)
b)
3 x 1 +6 x 2 +3 x 3 + x 4 =5
2 x 1 +4 x 2 +7 x 3 4 x 4 = 6
Zadanie8.1.2.Przedyskutowa´crozwia , zalno´s´cpodanychuk lad´owr´owna´nwzale˙zno´sci
odwarto´sciparametru p .
8
> <
: x 1 + px 2 x 3 =1
> : 2 x 1 +3 x 2 x 3 =0
px 2 +( p +1) x 3 = 1
x 1 +5 x 2 =1
2 x 1 + x 2 +3 x 3 = 1
a)
x 1 10 x 2 6 x 3 =3
2 x 1 x 2 + px 3 =0
b)
2
2
2
2
8 <
8 <
8.2.Warto´sciw lasnewektoryw lasneiwielomiancharakterystycznymacierzy
kwadratowej.
Niechdanabe , dzierzeczywistalubzespolonamacierzkwadratowa A =[ a ij ] nn , n 2.
Zdefinujemypewnecharakterystykitejmacierzy.
Definicja8.2.1.Niech V =[ v j ] n 1 be , dziemacierza , kolumnowa , o n wierszach.Ka˙zda ,
liczbe , spe lniaja , ca , r´ownanie
nazywamy warto´scia , w lasna , macierzyA ,amacierz V nazywamy wektoremw lasnymma-
cierzyAodpowiadaja , cymwarto´sciw lasnej .
Warunekzdefinicji8.2.1mo˙zemyzapisa´cwnaste , puja , cejpostaci
( AI ) V =0 ; (8.2.1)
gdzie I jestmacierza , jednostkowa , tegosamegostopniacomacierz A .
R´ownaniumacierzowemu(8.2.1)odpowiadanaste , puja , cyuk ladr´owna´n
8
> <
Uk ladtenjestuk lademjednorodnym,zatemmarozwia , zanianiezerowewtedy,gdywyz-
nacznikmacierzyg l´ownejjestr´ownyzero,tj.
det( AI )=0 : (8.2.2)
Macierz AI nazywa´cbe , dziemy macierza , charakterystyczna , ,za´swyznaczniktej
macierzyrozpatrywanybe , dziejakofunkcjazmiennej ,kt´ora , nazwiemy wielomianem
charakterystycznymmacierzyA .R´ownanie(8.2.2)nazywa´cbe , dziemy r´ownaniemcharak-
terystycznym .Rozwia , zaniategor´ownaniasa , oczywi´sciepierwiastkamiwielomianucharak-
terystycznego.Jak latwozauwa˙zy´csa , towarto´sciw lasnemacierzy A .
Wielomianchakterystycznymaciekawa , w lasno´s´c,kt´ora , podamywtwierdzeniuudo-
wodnionymprzez CayleyaiHamiltona .
Twierdzenie8.2.1.Ka˙zdamacierzkwadratowaspe lniaswojer´ownaniecharakterysty-
czne.
Innymis lowyka˙zdamacierzkwadratowajestpierwiastkiemswojegowielomianucha-
rakterystycznego.
G l´ownymzastosowaniemtwierdzeniaCayleya-Hamiltonajestwyznaczaniemacierzy
odwrotnejdodanejmacierzynieosobliwej.Abywyznaczy´cmacierzodwrotna , domacierzy
3
AV = V
> : ( a 11 ) v 1 + a 12 v 2 + ::: + a 1 ;n v n =0
a 21 v 1 +( a 22 ) v 2 + ::: + a 2 ;n v n =0
a n; 1 v 1 + a n; 2 v 2 + ::: +( a n;n ) v n =0
nieosobliwej A nale˙zywstawi´cja , dojejr´ownaniacharakterystycznego,anaste , pniepomno-
˙zy´cgostronamiprzez A
1 .
Przyk lad8.2.1.Rozwia , ˙zmyr´ownanie8.2.2k lada , c
2
1 2 0
0 1 0
1 21
3
A =
4
5
:
Otrzymamyw´owczasnaste , puja , cer´ownaniecharakterystyczne
3 +3 2 3 +1=0 :
Jedynymrozwia , zaniemtegor´ownaniajest =1.Zatemmacierz A matylkojedna , warto´s´c
w lasna , .Abywyznaczy´cwektorw lasnyodpowiadaja , cytejwarto´scinale˙zyrozwia , za´c
r´ownanie
2
0 20
0 00
120
3
2
x
y
z
3
2
0
0
0
3
4
5
4
5
=
4
5
lubr´ownowa˙znieuk ladr´owna´n
2 y =0
x +2 y =0
Latwozauwa˙zy´c,˙zetenjednorodnyuk ladr´owna´nmaniesko´nczeniewielerozwia , z´npostaci
x =0 ;y =0 ;z = p ,gdzie p2 R.Zatemwektoremodpowiadaja , cymwarto´sciw lasnej
2
0
0
p
3
ka˙zdywektorpostaci
4
5
.Wszczeg´olno´scizawektorodpowiadaja , cywarto´sciw lasnej
2
3
0
0
1
=1mo˙znaprzyja , ´cwektor
4
5
.
Wyznaczmyterazmacierzodwrotna , domacierzy A .ZgodnieztwierdzeniemCayleya-
Hamiltonamacierz A spe lniaswojer´ownaniecharakterystyczne 3 +3 2 3 +1=0.
Mamywobectego
A 3 3 A 2 +3 A =1 :
Mno˙za , cpowy˙zszer´ownanieprzez A
1 ikorzystaja , cztego,˙ze A
1 A = I otrzymujemy
A
1 = A 2 3 A +3 I:
Wobectego
2
1 4 0
0 1 0
2 61
3
2
3 6 0
0 3 0
3 6 3
3
2
300
030
003
3
2
1 20
0 1 0
1 0 1
3
A
1 =
4
5
+
4
5
+
4
5
=
4
5
:
4
Zadanie8.2.1.Znale´z´cwarto´sciw lasneiwektoryw lasnenaste , puja , cychmacierzy
2
3
6 4 1234
3
2
3
1 3 0
3 2 1
0 1 1
1 1 2
0 3 1
0 0 4
A =
4
5
;B =
1234
1234
1234
7 5
;C =
4
5
:
Zadanie8.2.2.Korzystaja , cztwierdzeniaCayleya-Hamiltonaznale´z´cmacierzeodwrotne
(oileistnieja , )domacierzyzzadaniapoprzedniego.
8.3.Diagonalizacjamacierzy.
Wparagrafietymzostaniepodanapewnametodapote , gowaniamacierzykwadratowej.
Niech A i B be , da , macierzamikwadratowymitegosamegostopnia n .Powiemy,˙ze
macierze A i B sa , macierzamipodobnymi ,je˙zeliistniejenieosobliwamacierz P stopnia n
taka,˙ze
B = PAP
1 :
Macierzepodobnecharakteryzuja , sie , tym,˙zemaja , tesamewarto´sciw lasne.Zachodzi
naste , puja , cetwierdzenie
Twierdzenie8.3.1.Je˙zelimacierzkwadratowa A stopnia n ma n liniowoniezale˙znych
wektor´oww lasnych,toistnieja , macierze A
0
i T takie,˙zemacierz T jestnieosobliwa,macierz
A 0 jestdiagonalnaoraz
A = T
1 A
0 T: (8.3.1)
R´ownanie(8.3.1)nazywa´cbe , dziemy postacia , diagonalna , macierzyA .Mo˙znaudowodni´c,
˙zemacierz A 0 jestmacierza , diagonalna , ,kt´orejelementamisa , warto´sciw lasnemacierzy A ,
natomiastkolumnymacierzy T
A m =[ T
1 A
0 T ] m
= T
1 A
0 TT
1 A
0 T:::T
1 A
0 T:
Poniewa˙z T 1 T = I i AI = A ,wie , cmamy
A m = T
1 ( A
0
) m T;
jestmacierza ,
diagonalna , ,kt´orejelementynag l´ownejprzeka , tnejsa , r´ownewarto´sciomw lasnymodpo-
wiadaja , cymposzczeg´olnymwektoromw lasnym.
Latwowykaza´c,˙ze m -ta , pote , ga , macierzydiagonalnej A
1 tworza , wektoryw lasnemacierzy A ,amacierz A
0
0
jestmacierzdiagonalna,
kt´orejelememtamisa , m -tepote , gimacierzyelement´ow A
0
.
5
2
1 tworza , wektoryw lasnemacierzy A .
Ponadtozauwa˙zmy,˙zedla m2 N
gdziekolumnymacierzy T

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin