2005_GRUDZIEŃ_OKE_PR_ODP.pdf

(151 KB) Pobierz
Microsoft Word - dobrySchemat oceniania A2 PR grudzieñ 2005.doc
Schemat oceniania arkusza II
Uwaga: Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona
w schemacie należy przyznać maksymalną liczbę punktów.
Nr
zadania
Nr
czynności
Etapy rozwiązania zadania
Liczba
punktów
11.1.
Zapisanie, że warunki zadania zostaną spełnione wtedy, gdy wyróżnik
danego trójmianu będzie ujemny.
1
11.2.
Obliczenie wyróżnika trójmianu:
∆
=
2 2
k
−
4
⋅
2
k
−
5
.
1
11.3.
Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np.:
t 2
= i 0
k
t
>
.
1
11
11.4.
Rozwiązanie nierówności
t
2
− t
4
−
5
<
0
: ( )
t −
∈ .
1 ;
5
1
11.5.
Zapisanie nierówności 0 2 5
< < .
k
1
11.6.
Zapisanie zbioru liczb k spełniających warunki zadania:
{
:
2
1
12.1.
Zapisanie wielomianu w postaci
W
(
x
)
=
a
( )( ) 2
x
+
2
x
−
1
, gdzie
a
≠
0
.
1
12.2.
Obliczenie współczynnika a , w tym:
• 1 punkt, za obliczenie pochodnej ( ) ( ) ( 2
W
'
(
x
)
=
a
⋅
x
−
1 2
+
2
a
⋅
x
−
1
⋅
x
+
,
2
• 1 punkt, za rozwiązanie równania
W
' =
(
−
2
18
z niewiadomą a :
12
a
=
2
.
12.3.
Wyznaczenie równania szukanej stycznej:
y
= −
48 104
x
, w tym:
• 1 punkt, za obliczenie ( ) 40
W
3 =
,
2
• 1 punkt, za obliczenie ( ) 48
W
'
3 =
i zapisanie równania stycznej.
13.1.
Sporządzenie wykresu funkcji ()
g
x
=
x
−
4
.
x
−
2
2
13
13.2.
Sporządzenie wykresu funkcji
f = .
(
x
)
g
(
x
)
1
13.3.
Odczytanie z wykresu funkcji f szukanych wartości k : ()
k ∈ ,
1 ;
2
2
w tym :
• 1 punkt za obliczenie wartości (0) 2
f =
Wykorzystanie własności ( ) ( ) ( ) ( )
P
A
∪
B
=
P
A
+
P
B
−
P
A
∩
B
14
14.1.
i zapisanie, że ( ) ( )
P
A
∩
B
=
139
−
P
A
∪
B
.
1
132
14.2.
Zauważenie i zapisanie, że
P
( ≤
A
∪ B
)
1
.
1
14.3.
Wywnioskowanie z powyższych warunków, że ( ) 0
P
A
∩ B
>
.
1
Strona 1 z 4
kCk .
∈≤
}
8232499.020.png 8232499.021.png 8232499.022.png 8232499.023.png 8232499.001.png
14.4.
Zapisanie odpowiedzi: zdarzenia A i B nie są rozłączne (
A
∩ B
≠
∅
).
1
1. Użycie wzoru (
PA B PA PB , gdy ∩ =∅
∪= +
)
( )
( )
AB 1pkt
Inna
metoda
2. Stwierdzenie, że () () 1
PA PB 1pkt
+ >
4
3. Stwierdzenie sprzeczności (np. z warunku (
PA B )
∪≤
) 1
i wniosek ∩≠∅
AB 2 pkt
Zapisanie warunku zbieżności danego ciągu do liczby 0:
1
<
1
15.1.
p
−
1
1
i
≠ p .
Rozwiązanie nierówności
1
<
1
: ( ) ( )
p
∈
−
∞
;
∪
2
∞
, w tym:
p
−
1
15.2.
2
15
• 1 punkt za metodę rozwiązania
• 1 punkt za napisanie rozwiązania nierówności
15.3.
Zapisanie warunku zbieżności ciągu do liczby 2:
1
=
1
1
p
−
1
15.4
Rozwiązanie równania
1
=
1
i podanie wartości parametru p: p= 2
1
p
−
1
16.1.
Podstawienie wartości
p
=
−
do danego równania
1
i zapisanie alternatywy:
cos
x
=
0
lub
cos
x
=
1
.
Wypisanie rozwiązań powyższych równań elementarnych należących
do przedziału 5
0 :
x
∈
0
π
,
3
π
.
2
2
16.2.
Uwaga:
Jeżeli zdający rozwiąże równania
1
cos
x
=
0
oraz
cos
x
=
1
w zbiorze
liczb rzeczywistych, to otrzymuje 1 punkt.
16
16.3.
Zapisanie alternatywy:
cos
x
=
1
lub
cos
x
= p
−
1
.
1
16.4.
x jest jednym z szukanych rozwiązań (niezależnie od
wartości parametru p ).
=
0
1
16.5
Zapisanie układu równań nierówności
≤− p
−
−
1
<
1
1
Rozwiązanie powyższego układu nierówności: ( 0
p
∈
−
2
16.6.
i stwierdzenie, że każda wartość ( 2; 0
p ∈− spełnia warunek określony
2
w zadaniu.
Strona 2 z 4
1
Zapisanie, że
1
8232499.002.png 8232499.003.png 8232499.004.png 8232499.005.png 8232499.006.png 8232499.007.png 8232499.008.png
17.1.
Sporządzenie rysunku uwzględniającego oznaczenia podane w treści
zadania.
1
17.2.
Zapisanie równości pola danego trójkąta i sumy pól trójkątów
powstałych z podziału tego trójkąta odcinkiem CD , którego długość
1
1
1
1
CD = :
d
a
⋅
d
⋅
sin
45
D
+
b
⋅
d
⋅
sin
45
D
=
a
⋅
b
.
2
2
2
Podstawienie do powyższego równania
sin
45 =
D
2
oraz wyłączenie
17.3.
1
2
niewiadomej d przed nawias.
17
17.4.
Zapisanie rozwiązania powyższego równania w postaci opisanej
w tezie twierdzenia.
1
• 1 punkt, za sporządzenie rysunku uwzględniającego oznaczenia podane
w treści zadania,
• 1 punkt, za zauważenie i zapisanie, że szukany odcinek CD , o długości, np.:
d
Inna
metoda
d = ,
• 1 punkt, za wykorzystanie podobieństwa odpowiednich trójkątów (lub
wykorzystanie tw. Talesa) i zapisanie równania z niewiadomą c , np.:
c
2
b
−
c
=
b
,
c
a
• 1 punkt, za rozwiązanie równania
c
= :
ab
d
= ⋅
+
ab
2
.
a
+
b
ab
18
18.1.
Sporządzenie pomocniczego rysunku lub wprowadzenie precyzyjnie
opisanych oznaczeń, np.: DAB α
) , ABC β
=
) , BCD γ
=
) ,
=
1
) .
=
18.2.
Zastosowanie własności miar kątów czworokąta wpisanego w okrąg
i zapisanie, że np.:
γ −
=
180
D
α
( β
δ −
=
180
D
.
1
α ) - w tym 1 punkt
za skorzystanie z twierdzenia sinusów (lub twierdzenia cosinusów
i twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym w kole).
α (lub
45
D
135
D
18.3.
2
Inna
metoda
Zamiast czynności 18.2 i 18.3:
Przekątna tworzy wraz z dwoma promieniami trójkąt prostokątny,
ponieważ () ( ) ( )
10
2
=
5 2
2
+ .
5 2
2
3
Wyznaczenie miar kątów z twierdzenia o kącie wpisanym i
środkowym.
18.4.
Wykorzystanie wzorów redukcyjnych i zapisanie, że
sin
2
β
3
.
2
4
18.5.
Wyznaczenie miary kąta β:
β (lub
60
D
β ).
120
D
1
Strona 3 z 4
CD = , jest przekątną kwadratu o boku długości np.: c , wpisanego w dany
trójkąt ( )
CDA δ
Wyznaczenie miary kąta α:
8232499.009.png 8232499.010.png 8232499.011.png 8232499.012.png 8232499.013.png 8232499.014.png 8232499.015.png 8232499.016.png 8232499.017.png 8232499.018.png
, .
Uwaga: nie jest oceniana kolejność podawanych miar kątów
czworokąta z rozważanej rodziny.
D
60
D
,
120
D
,
135
18.6.
1
19.1.
Sprawdzenie, że nierówność zachodzi dla
n
=
5
.
1
19.2.
Sformułowanie założenia i tezy indukcyjnej, np.:
należy wykazać, że dla każdej liczby naturalnej
k
≥
5
zachodzi
1
implikacja: jeżeli
2
k
> k
k
2
−
1
, to ( ) ( ) 1
2
k
+
1
>
k
+
1
2
+
k
+
1
−
.
19
k ,
• 2 punkty, za rozwiązanie powyższej nierówności w zbiorze liczb
rzeczywistych oraz za zapisanie, że każda liczba naturalna
2
− k
−
3
>
0
19.3.
k
≥
5
4
k .
Uwaga: Jeżeli uczeń zauważy i zapisze, że dla
2
− k
−
3
>
0
kolejnych liczb naturalnych ( 1
k
≥
5
iloczyn dwóch
k
⋅ k
−
jest liczbą większą niż 3, to
otrzymuje obydwa punkty.
Strona 4 z 4
Zapisanie odpowiedzi: miary kątów czworokąta ABCD to:
D
45
Udowodnienie tezy indukcyjnej, w tym:
• 1 punkt, za wykorzystanie założenia indukcyjnego,
• 1 punkt, za doprowadzenie do nierówności
spełnia nierówność
8232499.019.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin