05. Różniczka zupełna.pdf
(
124 KB
)
Pobierz
Różniczka zupełna
RÓŻNICZKA ZUPEŁNA
Niech
X
,
Y
,
,
przestrzenie unormowane nad
K
,
U
Top
X
,
f
:
U
Y
,
x
0
U
.
Różniczką zupełną
(
pochodną zupełną
)
odwzorowania
f
w punkcie
x
0
nazywamy
odwzorowanie liniowe i ciągłe
0
L
L(
X, Y
)
spełniające warunek
f
x
0
h
f
x
0
L
x
0
h
o
h
dla
x
0
h
U
lub równoważnie
lim
f
x
0
h
f
x
0
L
x
0
h
0
Y
h
h
0
lub
f
x
h
f
x
L
h
r
h
,
gdzie
lim
r
0
h
0
0
0
x
0
x
0
h
h
0
część reszta
liniowa
Zatem funkcja
f
w punkcie
x
0
ma rózniczkę zupełną, jeśli przyrost funkcji można rozłożyć na
część liniową i nieliniową resztę, która jest funkcją typu
o
(
h
).
Różniczkę odwzorowania
f
w punkcie
x
0
oznaczamy też symbolem
.
d
x
0
f
lub
f
'
x
0
Definicja
Jeśli
f
jest różniczkowalna dla każdego
U
x
, to odwozorowanie
f
'
:
U
f
x
d
x
L(
X,Y
)
nazywamy
odwzorowaniem pochodnym
funkcji
f
.
1
x
Przykład
Zbadać różniczkowalność funkcji
f
:
R
2
R
3
,
f
x
,
y
xy
,
x
y
,
x
2
y
2
w punkcie
(
x
0
,
y
0
)=(2, 1)
.
Wybieramy wektor
h=
[
h
1
,
h
2
] i obliczamy przyrost funkcji
f
w punkcie (
x
0
, y
0
)
f
f
x
0
h
1
,
y
0
h
2
f
x
0
,
y
0
f
2
h
1
,
1
h
2
f
2
1
2
h
1
h
,
3
h
h
,
2
h
2
1
h
2
2
3
5
1
2
1
2
1
2
2
h
h
h
h
,
h
h
,
4
h
2
h
h
2
h
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
liniowe
liniowe
liniowe
2
h
h
,
h
h
,
4
h
2
h
h
h
,
0
h
2
h
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
część część
liniowa nieliniowa
Musimy pokazać, że część nieliniowa jest typu
o
(
h
)
.
h
h
,
0
h
2
h
2
h
h
,
0
h
2
h
2
h
h
,
lim
1
2
1
2
lim
1
2
1
2
lim
1
2
,
0
h
2
h
2
0
0
0
h
h
0
1
2
h
0
h
0
2
2
2
1
2
h
h
h
h
1
1
2
2
h
0
2
normy euklidesowej
każdej składowej osobno
liczymy granicę dla
gdzie granicę pierwszej składowej
lim
h
1
h
2
obliczyliśmy korzystając ze
2
2
h
,
2
h
0
,
0
1
h
h
1
2
współrzędnych biegunowych:
lim
r
cos
r
sin
lim
0
cos
sin
e
r
0
r
r
0
dow
.
ograniczon
dow
.
0
Zatem udowodniliśmy, że część liniowa należy do klasy
.
o
h
f
D
x
0
y
,
0
Część liniowa stanowi różniczkę, czyli
d
(
2
,
1
f
h
1
,
h
2
h
1
2
h
2
,
h
1
h
2
,
4
h
1
2
h
2
lub korzystajacąc z macierzowego zapisu odwzorowania liniowego
1
2
.
d
(
2
,
f
h
1
,
h
2
1
1
h
1
,
h
2
4
2
2
1
skorzystalismy z
r
Twierdzenie
(
o jednoznaczności różniczki w punkcie
)
Jeśli istnieje różniczka ,
d
x
to jest jedyna.
0
f
Uwaga
Jedyność różniczki odwzorowania określonego w przestrzeni o wymiarze dim
X >
1
uzyskujemy dzięki temu, że dziedzina tego odwzorowania jest zbiorem otwartym.
Przykład
Niech
D
x
,
y
:
0
x
1
0
y
x
2
,
f
:
D
R
,
.
f
x
,
y
x
3
Dziedzina funkcji nie jest zbiorem otwartym,
D
Top
R
2
.
Wyznaczamy różniczkę w punkcie (
x
0
,
y
0
)
=
(0, 0), który jest punktem skupienia dziedziny
D
.
I. Rozłóżmy przyrost w punkcie
(0,0)
na część liniową i nieliniową
f
0
h
,
0
h
f
0
0
h
3
0
h
3
1
2
1
1
Zatem
L
0
h
,
h
jest różniczką funkcji w punkcie (0, 0), jeżeli
r
h
1
h
,
h
)
3
jest
0
,
0
1
2
2
1
typu
h
(
).
Sprawdzamy czy
r
:
h
o
h
h
3
lim
1
0
2
2
(
2
1
h
,
h
)
(
0
,
0
)
h
h
1
2
ponieważ
r
3
cos
3
lim
lim
0
2
cos
3
e
r
0
r
r
0
ograniczon
dow
.
dow
.
0
3
(
o
r
II. Wyznaczamy część liniową w inny sposób
.
f
h
,
h
f
0
0
h
h
3
h
1
2
2
nieliniowe
1
2
liniowe
Zatem
L
,
0
0
h
1
,
2
h
2
jeżeli
h
r
h
1
,
h
2
h
3
1
h
2
jest
typu
o
.
h
Sprawdzimy, czy reszta jest typu
o
(
h
).
h
3
h
Na
podstawie
twierdzen
ia
o
trzech
funkcjach
lim
1
2
0
bo
2
2
(
2
1
h
h
(
0
0
)
h
h
1
2
h
3
1
h
h
3
1
h
2
h
3
1
h
2
h
3
1
h
2
h
2
0
2
h
2
1
1
h
h
,
2
2
2
2
2
2
h
h
1
1
h
h
h
h
h
h
1
1
1
2
1
2
1
2
0
gdzie ostatnia nierówność jest spełniona ponieważ dla
D
h
2
1
,
h
zachodzi
h
2
h
2
.
1
Z I i II wynika, że funkcja nie ma jednoznacznie określonej różniczki.
Wniosek
Funkcja o dziedzinie nie będącej zbiorem otwartym nie ma jednoznacznie określonej
różniczki.
Twierdzenie
(
o liniowości różniczki względem odwzorowań
)
Niech
X,Y
– przestrzenie unormowane nad ciałem
K
,
U
Top
X
,
f
,
g
:
U
Y
,
x
0
U
,
f
,
g
D
x
0
oraz
niech
α,β
K
.
Wtedy
d
x
0
g
(
f
)
(istnieje rózniczka kombincji liniowej funkcji
f
i
g
)
oraz
d
x
0
(
f
g
)
d
x
0
f
d
x
0
g
.
4
,
,
)
,
Twierdzenie
(
o różniczce iloczynu i ilorazu funkcji
)
Jeśli dodatkowo założymy, że
Y=
K
, to
d
0
)
(
fg
d
f
(istnieją rózniczki iloczynu i ilorazu)
x
x
0
g
oraz
d
x
0
(
fg
)
g
g
x
0
d
x
0
f
f
x
0
d
x
0
i
d
f
g
x
0
d
x
0
f
f
x
0
d
x
0
g
,
gdy
g
.
x
0
x
0
g
g
x
2
0
0
Twierdzenie
(
o różniczce złożenia funkcji
)
Niech
X,Y,Z
– przestrzenie unormowane nad
K
,
U
Top
X
,
V
Top
Y
,
f
:
U
V
,
g
:
V
Z
,
x
0
U
,
y
0
f
(
x
0
)
V
.
Jeśli
d
x
f
d
y
g
,
0
0
to
d
x
0
g
f
i
d
x
0
g
f
d
y
g
d
x
f
0
0
Twierdzenie
(
o istnieniu pochodnej kierunkowej
)
Niech
X
,
Y
przestrzen
ie
unormowane
nad
K
,
U
Top
X
,
f
:
U
Y
,
x
0
U
.
Jeśli
d
x
0
f
,
to
h
X
,
h
1
:
).
h
f
(
x
0
)
D
h
f
x
0
x
f
(
h
0
pochodna kierunkowa
wartość różniczki
w kierunku
w punkcie
x
0
wektora
h
na wektorze
h
5
D
d
Plik z chomika:
Esme1991
Inne pliki z tego folderu:
Rachunek różniczkowy funkcji 2 i 3 zmiennych.pdf
(277 KB)
15. Ekstrema globalne.pdf
(95 KB)
14. Ekstrema warunkowe.pdf
(206 KB)
13. Ekstrema lokalne.pdf
(122 KB)
12. Twierdzenie Taylora dla funkcji wielu zmiennych.pdf
(78 KB)
Inne foldery tego chomika:
szeregi
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin