14. Ekstrema warunkowe.pdf
(
206 KB
)
Pobierz
Ekstrema warunkowe
EKSTREMA WARUNKOWE
Niech
U
-
obszar
(zbiór
spójny
i
otwarty),
U
U
Top
R
n
,
f
:
R
,
g
j
:
s
U
R
,
j
1
,...,
.
Rozważmy zbiór
A
rozwiązań układu równań
g
1
x
0
g
2
x
0
g
s
x
0
,
A
s
x
U
:
g
1
x
g
2
0
x
...
g
Definicja
Funkacja
f
ma
ekstremum warunkowe
w punkcie przy warunkach
x
0
A
g
1
0
g
2
0
g
s
0
jeśli funkcja zawężona ma ekstremum lokalne w punkcie .
f
A
0
x
Przykład
Zbadać ekstremum funkcji
Wyznaczmy wykres funkcji
f.
f
x
,
y
y
x
2
y
2
przy warun
ku
x
2
2
1
przekrój wykresu płaszczyzną jest parabolą
f
y
y
2
x
0
z
y
2
przekrój wykresu płaszczyzną jest parabolą
f
x
,
x
2
y
0
z
x
2
przekrój wykresu płaszczyzną jest parabolą
f
x
,
kx
1
k
2
x
2
y
kx
z
2
k
2
x
przekrój wykresu płaszczyzną jest hiperbolą
f
x
,
y
const
x
2
y
2
const
z
const
1
x
0
1
Z
warunku
x
2
y
2
1
otrzymujem
y
y
1
x
2
dla
x
1
.
1
2
Obliczmy wartość
funkc
ji
f
dla punktów należących do wykresów krzywych
y
1
i
y
2
.
1
f
,
y
f
x
,
1
x
2
f
,
x
dla
x
1
1
1
i zbadajmy funkcję w przedziale (-1,1).
f
1
f
x
x
2
1
x
2
2
x
2
1
1
f
1
'
x
4
x
0
x
0
stąd
f
1
'
'
x
4
0
x
min
0
Zatem
funkcja
.
f
1
ma
minimum
lokalne
w
punkcie
x
min
,0
funkcja
f
ma
minimum
warunkowe
w
punkcie
P
1
0
1
x
2
min
0
2
x
2
f
x
,
y
f
x
,
1
x
2
f
x
dla
x
1
,
2
2
i zbadajmy funkcję w przedziale (-1,1).
f
2
f
x
x
2
1
x
2
2
x
2
1
2
i
analogiczn
ie
do
poprzednie
go
x
min
0
stąd
Zatem
funkcja
.
f
1
ma
minimum
lokalne
w
punkcie
x
min
0
,
funkcja
f
ma
minimum
warunkowe
w
punkcie
P
2
0
1
x
2
min
0
1
Jednakże jeśli z równania wyznaczymy
x
, to
x
2
y
y
2
1
x
1
y
2
dla
.
1
1
2
Podobnie jak wcze
śniej o
bliczmy wartości funkcji
f
dla punktów należących do wykresów
krzywych
2
x
1
x
.
~
1
f
x
,
y
f
1
y
2
,
y
f
y
dla
y
1
1
1
~
i zbadajmy funkcję w przedziale (-1,1).
f
~
1
f
y
1
y
2
y
2
1
2
y
2
1
~
f
'
y
4
y
0
y
0
1
~
f
'
'
y
4
0
y
0
1
max
stąd
Zatem
funkcja
~
ma
maksimum
lokalne
w
punkcie
y
0
,
funkcja
f
ma
maksimum
1
max
warunko
we
w
punkcie
P
3
1
y
2
max
,
1
.
2
f
,
y
f
1
y
2
,
y
~
,
y
dla
y
1
2
2
~
i zbadajmy funkcję w przedziale (-1,1).
f
~
2
f
y
1
y
2
y
2
1
2
y
2
2
i
analogiczn
ie
do
poprzednie
go
y
max
0
stąd
Zatem
funkcja
~
f
ma
maksimum
lokalne
w
punkcie
y
0
,
funkcja
f
ma
maksimum
2
.
max
warunkowe
w
punkcie
P
1
y
2
max
,
1
4
3
i
f
x
f
Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a (mnożników Lagrange'a)
Dla funkcji
f
i warunków
zdefiniujmy
funkcję Lagrange'a:
g
1
s
...
g
0
s
x
:
f
x
j
U
g
x
,
gdzie
x
x
,...,
x
,
,...,
R
.
j
1
n
1
s
j
1
Ponieważ prawdziwa jest implikacja
x
A
x
f
x
więc warunkiem koniecznym istnienia ekstremum warunkowego w punkcie
jest:
x
0
1
,
n
x
0
2
,...,
x
0
0
'
x
0
,
0
g
j
s
x
0
,
gdzie
j
1
,...,
,
,...,
R
0
1
s
czyli układ
n+s
równań
x
0
,
i
1
,...,
n
WK
x
0
i
g
j
x
0
0
,
j
1
,...,
s
o
n
s
niewiadomy
ch
x
0
1
s
,...,
x
0
,
,...,
.
n
1
Twierdzenie
(
WW istnienia ekstremum warunkowego
)
Zał:
Niech
U
-
obszar w
R
n
,
f
,
g
1
,...,
g
s
:
U
R
,
f
,
g
,...,
g
C
2
U
,
1
s
s
:
f
j
g
j
,
j
R
j
1
funkcja Lagrange'a
Ponadto
niech
1
'
x
0
0
g
1
x
0
0
niech
g
s
x
0
0
liniowo niezależne
2
g
'
x
,
g
'
x
,
...,
g
'
x
-
1
0
2
0
s
0
oraz
H
j
:
s
h
R
n
:
d
g
h
0
dla
j
1
,...,
x
0
zbiór wektorów, dla których zerują się różniczki
funkcji
x
g
j
w
punkcie
0
Teza: Jeśli
to funkcja
f
ma
minimum warunkowe
w punkcie
1
d
x
2
0
H
h
0
dla
h
0
i
h
,
x
przy warun
kach
g
s
g
...
g
0
0
1
2
Jeśli
to funkcja
f
ma
maksimum warunkowe
w punkcie
2
d
x
2
0
H
h
0
dla
h
0
i
h
,
x
przy warun
kach
g
s
g
...
g
0
0
1
2
4
x
Przykład cd.
Utwórzmy funkcję Lagrange'a
dla
funkcji
f
x
,
y
y
x
2
y
2
i
warunku
g
x
,
y
x
2
2
1
x
,
y
x
2
y
2
x
2
y
2
1
.
Zbadamy WK. Ponieważ
2
x
2
x
x
2
y
2
y
y
zatem wystarczy rozwiązać układ
2
x
2
x
0
2
y
2
y
0
x
2
y
2
1
czyli
x
1
0
y
1
0
x
2
y
2
1
Z
pierwszego
równania
x
1
0
otrzymujem
y
:
albo
x
0
i
1
albo
2
1
(
x
dowolne)
,
i stąd rozwiązania układu równań w każdym z przypadków:
x
0
P
1
0
x
1
P
1
y
1
1
1
y
0
3
1
P
0
P
1
1
2
1
4
Zatem otrzymaliśmy dwa punkty stacjonarne
P
1
1
1
0
2
,
P
0
1
dla
oraz
dwa
punkty
stacjonarn
e
P
3
1
,
P
4
1
dla
Wyznaczmy teraz macierz drugiej różniczki
d
2
P
w
punkcie
.
0
przy
1
1
2
2
2
x
2
2
0
x
y
2
2
2
y
2
i stąd
d
2
1
4
0
P
0
0
5
1
1
2
Plik z chomika:
Esme1991
Inne pliki z tego folderu:
Rachunek różniczkowy funkcji 2 i 3 zmiennych.pdf
(277 KB)
15. Ekstrema globalne.pdf
(95 KB)
14. Ekstrema warunkowe.pdf
(206 KB)
13. Ekstrema lokalne.pdf
(122 KB)
12. Twierdzenie Taylora dla funkcji wielu zmiennych.pdf
(78 KB)
Inne foldery tego chomika:
szeregi
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin