lecture 2.pdf
(
111 KB
)
Pobierz
D:/Z poprzedniego Komputera/BO2011/W_s.letni/w1mfolie.dvi
Wykład 1
Badania operacyjne
zastosowanie naukowych metod do rozwiązywania pro
blemów zarządzania w celu wspomagania menedżerów w podejmowanie lepszych
decyzji.
I. Obserwaja ) II. Sformułowanie problemu ) III. Konstrukcja modelu )
IV. Rozwiązanie modelu ) V. Analiza i implementacja rozwiązania
Przykład:
I. Firma produkuje dwa wyroby W
1
i W
2
z dwóch surowców S
1
i S
2
. Firma
chce zaplanować produkcj¸e tak aby osi¸agn¸ać jak najwi¸ekszy zysk.
II. Zgromadzono nast¸epuj¸ace dane:
–
1 sztuka W
1
zużywa 2 kg S
1
i 1 kg S
2
.
–
1 sztuka W
2
zużywa 1 kg S
1
i 1 kg S
2
.
–
Zapas S
1
wynosi 100 kg a zapas S
2
wynosi 80 kg.
–
Zysk z 1 sztuki W
1
wynosi 3 zł a zysk z 1 sztuki W
2
wynosi 2 zł.
–
Popyt na W
1
wynosi 40 szt. a popyt na W
2
jest nieograniczony.
III. Definiujemyzmiennedecyzyjne x
1
ilośćprodukowanychszt. W
1
, x
2
ilość
produkowanych szt. W
2
. Model matematyczny ma nast¸apuj¸a postać:
MAX z = 3x
1
+ 2x
2
[Maksymalizacja zysku]
2x
1
+ x
2
100 [Zużycie surowca S
1
]
x
1
+ x
2
80 [Zużycie surowca S
2
]
x
1
40
[Popyt na W
1
]
x
1
0
x
2
0
Chcemy wi¸ec znaleźć plan produkcji maksymalizuj¸acy zysk przy posiada
nych zasobach (ograniczeniach).
1
drinż. AdamKasperski,drM.KulejBadaniaOperacyjne
2
IV. Stosujemy pewien algorytm (poznany w dalszej cz¸eści wykładu) aby roz
wi¸azać model. Otrzymujemy: x
1
= 20, x
2
= 60 czyli należy produkować 20
szt. wyrobu W
1
i 60 szt. wyrobu W
2
.
Model matematyczny:
MAX(MIN)z = f(x
1
, . . . , x
N
) [Funkcja celu]
g
1
(x
1
, . . . , x
N
)
(
, =)b
1
[Ograniczenie 1]
. . .
g
M
(x
1
, . . . , x
N
)
(
, =)b
M
[Ograniczenie m]
Zmienne x
1
, . . . , x
N
nazywamy
zmiennymi decyzyjnymi
. Rozwi¸azanie spełniaj¸ace
wszystkieograniczenianazywamy
rozwi¸azaniemdopuszczalnym
.Rozwi¸azaniedo
puszczalne dla którego wartość funkcji celu jest najwi¸eksza (najmniejsza) nazy
wamy
rozwi¸azaniem optymalnym
.
Funkcj¸epostaci h(x
1
, . . . , x
N
) = a
1
x
1
+a
2
x
2
+· · ·+a
N
x
N
nazywamy
funkcj¸aliniow¸a
.
Model w którym wszystkie funkcje f, g
1
, . . . , g
M
s¸a liniowe nazywamy
modelem
liniowym
lub
zadaniem programowania liniowego
.Modelliniowymawi¸ecpostać:
MAX(MIN)z = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ · · · + c
N
x
N
[Funkcja celu]
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ · · · + a
1N
x
N
(
, =)b
1
[Ograniczenie 1]
. . .
a
M1
x
1
+ a
M2
x
2
+ · · · + a
MN
x
N
(
, =)b
M
[Ograniczenie m]
x
1
0, . . . , x
R
0, r
n
[Ograniczenia na znak]
Specjanymi,wyróżnionymiograniczeniamiliniowymis¸aograniczenianaznakpo
staci x
I
0.
Przykłady modeli liniowych
1.
Problem ustalania diety
. Pan X chce zestawić deser z czterech dań: tortu,
kremuczekoladowego,coliiciastek.Każdedaniezawierapewn¸ailośćkalorii,
czekolady, cukru i tłuszczu (w odpowiednich jednostkach). Ilości te podane
s¸a w poniższej tabeli.
KALORIE CZEKOLADA CUKIER TŁUSZCZ
Cena
Tort(1porcja) 400 3 2 2 5zł
Krem(1porcja) 200 2 2 4 2zł
Cola(1butelka) 150 0 4 1 3zł
Ciastko(1szt.) 500 0 4 5 8zł
Pan X musi zjeść posiłek zawieraj¸acy co najmniej: 500 kalorii, 6 jednostek
czekolady, 10 dkg cukru i 8 dkg tłuszczu. Chce przy tym zminimalizować
koszt posiłku.
Zmienne decyzyjne
:
drinż. AdamKasperski,drM.KulejBadaniaOperacyjne
3
• x
1
ilość porcji tortu.
• x
2
ilość porcji kremu.
• x
3
ilość butelek coli.
• x
4
ilość sztuk ciastek.
Model:
MIN z = 5x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 8x
4
[Minimalizacja kosztu]
400x
1
+ 200x
2
+ 150x
3
+ 500x
4
500 [Kalorie]
3x
1
+ 2x
2
6 [Czekolada]
2x
1
+ 2x
2
+ 4x
3
+ 4x
4
10 [Cukier]
2x
1
+ 4x
2
+ x
3
+ 5x
4
8
[Tłuszcz]
x
I
0, i = 1, . . . , 4
[Ograniczenia na znak]
Po rozwi¸azaniu modelu otrzymujemy optymaln¸a diet¸e: 3 porcje kremu i
1 butelk¸e coli (x
1
= 0, x
2
= 3, x
3
= 1, x
4
= 0).
2.
Model procesu produkcyjnego
Korporacja Rylon wytwarza cztery rodzaje
perfum: Brute, Chanelle, Super Brute i Super Chanelle. Proces produkcji
wygl¸ada nast¸epuj¸aco:
Brute
SuperBrute
sprzedaż
7$/jedn.
14$/jedn.
Materiał
sprzedaż
3$/szt.
sprzedaż
Chanelle
SuperChanelle
sprzedaż
6$/jedn.
10$/jedn.
• z 1 szt. materiału wytwarzane s¸a w ci¸agu 1 godziny 3 jedn. Brute i 4
jedn. Chanelle.
• 1 jedn. Brute jest przetwarzana w ci¸agu 3 godzin w 1 jedn. Super
Brute.
• 1 jedn. Chanelle jest przetwarzana w ci¸agu 2 godzin w 1 jedn. Super
Chanelle.
• Możnazakupićdo4000szt.materiałuiwykorzystaćdo6000h.pracy.
Należy opracowć plan produkcji maksymalizuj¸acy zysk.
Zmienne decyzyjne:
• x
1
liczba sprzedanych jedn. Brute.
• x
2
liczba sprzedanych jedn. Super Brute.
drinż. AdamKasperski,drM.KulejBadaniaOperacyjne
4
• x
3
liczba sprzedanych jedn. Chanelle.
• x
4
liczba sprzedanych jedn. Super Chanelle.
• x
5
liczba zakupionych szt. materiału.
Model:
MAX z = 7x
1
+ 14x
2
+ 6x
3
+ 10x
4
− 3x
5
[Maksymalizacja zysku]
x
1
+ x
2
− 3x
5
= 0
[Produkcja Brute i Super Brute]
x
3
+ x
4
− 4x
5
= 0
[Produkcja Chanelle i Super Chanelle]
x
5
4000
[Limit materiału]
3x
2
+ 2x
4
+ x
5
6000
[Limit pracy]
x
I
0, i = 1, . . . , 5
[Ograniczenia na znak]
Porozwi¸azaniumodeluotrzymujemyoptymalnyplanprodukcji:11333.333
jedn. Brute, 666.667 jedn. Super Brute i 16 000 jedn. Chanelle (x
1
=
11333.33, x
2
= 666.667, x
3
= 16000, x
4
= 0, x
5
= 4000). Zysk wynosi
172 666.667 $.
3.
Model zapasów
. Firma X produkuje pewien wyrób w ci¸agu 4 kwartałów.
Firma chce zminimalizować koszty i zaspokoić popyt. Odpowiednie dane
przedstawione s¸a w poniższej tabeli:
KW I KW II KW III KW IV
Popyt(szt.) 30 60 75 25
Zdolnośćprodukcyjna(szt.) 60 60 60 60
Kosztwytworzenia($/szt.) 55 50 50 55
Kosztmagazynowania($/szt.) 2 2 3
Napoczątkupierwszegoinakońcuczwartegokwartałufirmaniemazapa
sów wyrobu.
Zmienne decyzyjne:
• x
I
produkcja w itym kwartale, i = 1, . . . 4.
• m
I
zapasy w itym kwartale, , i = 1, . . . 4.
30
60
70
25
x
1
m
1
x
2
m
2
x
3
m
3
x
4
drinż. AdamKasperski,drM.KulejBadaniaOperacyjne
5
Model:
MIN z = 55x
1
+ 50x
2
+ 50x
3
+ 55x
4
+ 2m
1
+ 2m
2
+ 3m
3
[Min. kosztu]
x
1
− m
1
= 30
[Bilans w I kw.]
m
1
+ x
2
− m
2
= 60
[Bilans w II kw.]
m
2
+ x
3
− m
3
= 75
[Bilans w III kw.]
m
3
+ x
4
= 25
[Bilans w IV kw.]
x
I
60, i = 1, . . . 4
[Zd. produkcyjne]
x
I
0, m
I
0, i = 1, . . . , 4
[Ograniczenia na znak]
Po rozwi¸azaniu modelu otrzymujemy: x
1
= 45, x
2
= 60, x
3
= 60, x
4
= 25,
m
1
= 15, m
2
= 15, m
3
= 0.
4.
Model inwestycji finansowych.
KorporacjaFincoIvestmentchcezainwesto
wać kwot¸e 100 000 $ w pi¸eć inwestycji A,B,C,D,E. Okres inwestycji trwa
trzy lata. Odpowiednie przepływy finansowe podane s¸a w poniższej tabeli:
0 1 2 3
A 1$ +0.5$ +1$
B 1$ +0.5$ 1$
C 1$ +1.2$
D 1$ +1.9$
E 1$ +1.5$
NaprzykładinwestycjaAjestdostępnawchwili0,wchwili1(tj.poroku)
otrzymujemy 0.5$ a w chwili 2 (tj.po dwóch latach ) otrzymujemy 1$ za
każdyzainwestowany1$wA.Korporacjatrzymaniezainwestowanepienią
dze w banku na 8% w skali roku. Ponadto nie chce inwestować w żadną
inwestycję więcej niż 75 000 $. Jak zainwestować posiadaną gotówkę aby
zmaksymalizować ilość gotówki na koniec trzeciego roku.
Zmienne decyzyjne:
• x
A
, x
B
, x
C
, x
D
, x
E
kwoty ulokowane w odpowiednie inwestycje.
• y
0
, y
1
, y
2
kwoty pozostaj¸ace w banku w chwilach 0, 1 i 2.
Model:
MAX z = x
B
+ 1.9x
D
+ 1.5x
E
+ 1.08y
2
[Max. gotówki w chwili 3]
x
A
+ x
C
+ x
D
+ y
0
= 100000 [Bilans w chwili 0 ]
0.5x
A
+ 1.2x
C
+ 1.08y
0
− x
B
− y
1
= 0 [Bilans w chwili 1]
x
A
+ 0.5x
B
+ 1.08y
1
− x
E
− y
2
= 0 [Bilans w chwili 2]
x
A
, x
B
, x
C
, x
D
, x
E
75000
[Limit inwestycji]
x
A
, . . . , x
E
, y
0
, y
1
, y
2
0
[Ograniczenia na znak]
Plik z chomika:
Asfoora
Inne pliki z tego folderu:
lista 7.pdf
(28 KB)
lista 6.pdf
(38 KB)
lista 5.pdf
(32 KB)
lecture 6.pdf
(249 KB)
lecture 5.pdf
(195 KB)
Inne foldery tego chomika:
Komunikacja marketingowa
Koncepcje zarządzania
Kontroling
Logistyka
Makroekonomia
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin