Krzywe belki statycznie wyznaczalne.pdf

MECHANIKA BUDOWLI 2 sem. II 2010/2011 – kierunek Architektura i Urbanistyka –

studia stacjonarne i niestacjonarne

Temat 1: Krzywe belki statycznie wyznaczalne

Typowe zadanie

Dane : schemat belki i obciążenie. Szukane : podział konstrukcji na wsporniki i kładki

elementarne (obwiedzione zamkniętymi liniami) z przyporządkowanymi im obciążeniami *

poziome wykresy momentów dla wsporników i kładek elementarnych, z wartościami

charakterystycznymi * całkowity wykres momentów na konstrukcji (z wartościami

charakterystycznymi) * konstrukcja lekka, o zmiennej grubości * Rysunki: na pionowej siatce

o rozstawie l .

Krzywe belki: Rozważamy belki zakrzywione w płaszczyźnie rysunku. Krzywizna może

zmieniać się nagle (załamania) lub gładko. Obciążenie leży w płaszczyźnie rysunku.

Rozważamy najprostsze, częste w praktyce obciążenia w postaci jednej siły skupionej lub

obciążenia równomiernego. Obciążenia są grawitacyjne, skierowane do dołu. W belce prostej

obciążonej poprzecznie występuje tylko zginanie i ścinanie, a więc momenty zginające i siły

poprzeczne. Belka krzywa zmienia swój kierunek względem kierunku obciążenia i reakcji

podpór, co powoduje jej zginanie, ścinanie i ściskanie lub rozciąganie. W cienkiej belce

zginanie jest dominujące ma decydujący wpływ na formę konstrukcji i wielkość jej

przekroju i tylko nim będziemy się zajmować. Rozważamy nieskomplikowane,

nieprzesztywnione (statycznie wyznaczalne) krzywe belki: wsporniki i kładki oraz układy

złożone ze wsporników i kładek. Wsporniki są zamocowane na jednym końcu, obciążone siłą

skupioną na drugim końcu lub obciążeniem równomiernym zaczynającym się na końcu

swobodnym. Kładki łączą dwie podpory przegubowe, położone na tej samej lub na różnych

wysokościach, z których jedna jest przesuwna w poziomie (dla zapewnienia

nieprzesztywnienia). Kładki są obciążone siłą skupioną w dowolnym miejscu lub obciążeniem

równomiernym na całym odcinku między podporami. W rozważanych konstrukcjach, jako

statycznie wyznaczalnych, łatwo znajduje się reakcje (z równań równowagi). Od obciążeń

pionowych reakcje są tylko pionowe (plus moment w utwierdzeniu konstrukcji

wspornikowych). Reakcje zależą od rozmieszczenia obciążenia i podpór oraz sposobu

połączenia podpór (wspornik czy kładka), a nie od kształtu konstrukcji. Momenty zginające

wyznaczamy łatwo z definicji: moment = siła (wypadkowa) razy ramię . Wszystkie siły

(obciążenia i reakcje) są pionowe. Ramiona sił, z definicji prostopadłe do sił, są poziome. Jest

to sytuacja identyczna – pionowe siły i poziome ramiona do przypadku poziomych belek

prostych obciążonych pionowo. Wykresy momentów narysowane wzdłuż linii poziomej są

zatem kawałkami takie jak w poziomych, prostych belkach – wspornikach i kładkach .

Zadanie polega zatem na (a) podziale konstrukcji na elementarne wsporniki i kładki; (b)

ustaleniu obciążenia zginającego części elementarne – obciążeniem tym może być zadane

obciążenie skupione lub ciągłe, wypadkowa obciążenia ciągłego, lub reakcja podpory; (c)

sporządzeniu poziomych wykresów momentów dla elementarnych wsporników i kładek; (d)

przeniesieniu tych częściowych, poziomych wykresów na krzywą konstrukcję w celu

otrzymania całkowitego wykresu momentów. Wartości momentów zginających na konstrukcji

odkłada się prostopadle do linii konstrukcji. Wartości momentów odczytuje się z

odpowiedniego cząstkowego wykresu poziomego i przenosi na konstrukcję wzdłuż prostych

pionowych. Wykres momentów na konstrukcji rysujemy po stronie rozciąganej, linią

przerywaną lub cienką, dla odróżnienia od linii konstrukcji. Na pojedynczej gałęzi konstrukcji

(prostej, krzywej lub kanciastej) wykres jest ciągły, w rozwidleniach może być nieciągły. W

miejscach zerowych wykres przechodzi na drugą stronę konstrukcji. W narożu konstrukcji tę

samą wartość momentu należy nanieść wielokrotnie, w postaci wachlarza: najpierw

prostopadle do obu wychodzących z naroża kierunków, a potem łukiem łączącym otrzymane

dwa punkty. Bez łuku łączącego (a taki sposób rysowania występuje w literaturze) wykres

momentów wydaje się wcięty w narożu, z zerową wartością momentu w narożu, co prowadzi

do wciętej w narożu, błędnej konstrukcji. Charakterystyczne wartości momentu, które należy

obliczyć i podać na wykresach to: miejsca zerowe, wartości ekstremalne, wartości na

podporach i w narożach.

Przypadki szczeglne krzywych belek:

(1) Wspornik nie zawinięty linie pionowe przecinają go jednokrotnie. Wspornik jest w

całości elementarny. Jego poziomy wykres momentów jest identyczny jak w prostym

wsporniku poziomym, obciążonym tak jak wspornik krzywy.

(2) Wspornik zawinięty niektóre linie pionowe przecinają go dwukrotnie, tj. konstrukcja ma

dwie fałdy, jedna nad drugą. Obciążenie, dla uproszczenia, znajduje się tylko na jednej fałdzie

tej położonej na swobodnym końcu. Jeżeli obciążeniem jest siła skupiona na końcu, cały

wspornik jest elementarny, wykres poziomy jest jeden dla całej belki. Jest nim linia prosta z

zerem pod siłą skupioną. Jeżeli obciążenie jest ciągłe, na fałdzie końcowej, to konstrukcję

dzielimy na dwa wsporniki elementarne, a wykres poziomy składa się z dwóch części.

Pierwsza część znajduje się pod obciążeniem ciągłym. Wykres poziomy jest tam taki, jak na

prostym wsporniku obciążonym ciągle. Druga część obejmuje resztę belki. Wykres poziomy

pochodzi tam od wypadkowej obciążenia ciągłego, a więc jest to linia prosta z zerem pod

wypadkową. W miejscu połączenia oba wykresy mają tę samą wartość i to samo nachylenie

względem linii poziomej. Na prostych, pionowych częściach wspornika zawiniętego wykres

jest stały, gdyż zginająca go wypadkowa obciążenia (pionowa) ma stałe ramię względem

takich części.

(3) Wspornik rozwidlony (drzewo) ma dwie wspornikowe (nie zawinięte dla prostoty),

obciążone gałęzie, wyrastające z nie obciążonego zewnętrznie pnia, zawiniętego lub nie,

sztywno zamocowanego w fundamencie. Te trzy części są wspornikami. Poziome wykresy

momentów każdej gałęzi pochodzą od obciążeń tych gałęzi. Wykresy te są od siebie

niezależne. Pień dźwiga obie gałęzie, więc jego poziomy wykres momentów sporządzamy od

wypadkowej obciążenia obu gałęzi. W przypadku obciążenia symetrycznego wypadkowa leży

w jego połowie. W przypadku braku symetrii szukamy wypadkowej dwóch sił równoległych.

Wypadkowa dwóch równoległych, skierowanych do dołu sił jest równa ich sumie, leży w

pobliżu siły większej, a stosunek długości odcinka pomiędzy wypadkową i siłą mniejszą do

długości odcinka pomiędzy wypadkową i siłą większą równa się stosunkowi siły większej do

mniejszej (zasada równowagi dźwigni). W miejscu spotkania się gałęzi z pniem momenty na

gałęziach są niezależne od siebie nie muszą być równe. Zeru musi być równa, by zapewnić

równowagę węzła, suma trzech momentów: na dwóch gałęziach i na pniu. Warunek ten

można wykorzystać jako sprawdzian poprawności trzech niezależnie obliczonych momentów

w rozwidleniu. Konstrukcja w węźle łączącym gałęzie i pień ma formę prostokąta o

wysokości równej większemu z dwóch momentów na gałęziach i szerokości równej

momentowi w pniu. Ponieważ moment w pniu jest równy różnicy momentów gałęzi,

szerokość prostokąta jest mniejsza od wysokości.

(4) Wspornik wystający z kładki część wspornikowa może być jedna (lewa lub prawa) lub

dwie, zawinięte lub nie, obciążone są tylko części wspornikowe, kładka nie. Wykresy

momentów na wspornikach omówiono powyżej, w punktach (1) i (2). Poziomy wykres

między podporami kładki jest prostą łącząca wykresy wsporników. Kładka może być

zawinięta lub nie.

(6) Kładka obciążona siłą skupioną wymaga obliczenia najpierw reakcji podpór, korzystając

z zasady równowagi dźwigni. Jeśli obciążenie leży między podporami, to obie reakcje są

skierowane do góry, a ich suma równa się obciążeniu. Jeżeli obciążenie leży poza podporami,

reakcja bliższa obciążeniu jest skierowana do góry, druga reakcja jest skierowana do dołu. Po

odrzuceniu podpór i zastąpieniu ich reakcjami, kładka ma dwie wspornikowe części,

zawinięte lub nie, obciążone reakcjami, zamocowane pod siła skupioną, na których wykresy

momentów robimy jak w przypadkach (1) i (2). W miejscu spotkania obu wsporników (pod

siła skupioną) wykres momentów nie ma skoku.

(7) Kładka obciążona ciągle między podporami nie zawinięta nad podporą – ma wykres

momentów prostej kładki poziomej (symetryczny, kwadratowy, z zerami na podporach,

rozciągający dół belki). Moment maksymalny jest równy (1/8)( obciążenie )( kwadrat

długości ). Obliczanie reakcji jest zbędne.

(8) Kładka obciążona ciągle między podporami zawinięta nad podporą – składa się z dwóch

części. Pierwsza to kładka taka jak w punkcie (7). Druga to wspornik znajdujący się między

podporą, nad którą belka się zawija, a początkiem obciążenia ciągłego. Oba końce tego

wspornika leżą na jednej linii pionowej. Obciążeniem wspornika jest pionowa reakcja

podpory (równa połowie wypadkowej obciążenia ciągłego). Na obu końcach wspornika

moment jest więc zerowy. Jeśli kładka zawija się nad obiema podporami, mamy dwa takie

wsporniki.

Konstrukcja lekka ma grubość proporcjonalną do wartości momentu. W miejscach

zerowego momentu grubość konstrukcji jest mała, ale różna od zera. Zapewnia to

geometryczną niezmienność konstrukcji. Ponadto miejsca zerowych momentów pracują

zwykle na siły poprzeczne i/lub podłużne. Należy pamiętać by konstrukcja nie była rysowana

jako wcięta, czy przewężona w sztywnych narożach, gdzie wykres momentów ma postać

wachlarza identycznych wartości.

Opracowaþ:

dr hab.inż. Zenon Rychter, prof. nzw. PB

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: