12. Renty pewne-cz3.pdf

(269 KB) Pobierz
WYKŁAD 1
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
3.3. RENTY O RATACH TWORZĄCYCH CIĄG
GEOMETRYCZNY
1 , R 2 , . . . , R n - kolejne raty renty
{R j } – ciąg geometryczny
R j = R 1 q j-1
(66)
gdzie:
q – iloraz ciągu, R 1 >0 – pierwsza rata
q > 1 – ciąg R j rosnący,
q=1 – ciąg R j stały
0<q <1 – ciąg R j malejący
Wartość początkowa renty geometrycznej płatnej z dołu
R (0) = R 1 v+R 2 v 2 +R 3 v 3 + ... +R n v n
R (0) = R 1 v+ R 1 qv 2 + R 1 q 2 v 3 + ...+ R 1 q n-1 v n
R (0) =R 1 v(1+(qv)+ (qv) 2 + ...+ (qv) n-1
Dla q=1+i ⇒ qv=1
R
(
0
)
=
nR
v
dla q=1+i
(67)
1
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
35
190912615.007.png
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Dla q≠1+v
(
0
)
1
−
(
qv
)
n
−
n
(
+
i
)
n
−
q
n
R
=
R
v
⋅
=
R
(
+
i
)
1
1
−
(
qv
)
1
(
+
i
)
−
q
(
0
)
−
n
(
+
i
)
n
−
q
n
R
=
R
(
+
i
)
dla q≠1+i
(68)
1
(
+
i
)
−
q
gdzie: R (0) - wartość początkowa renty geometrycznej
Wartość końcowa renty geometrycznej płatnej z dołu
R (n) = R 1 (1+i) n-1 + R 2 (1+i) n-2 + ... + R n
R (n) = R 1 (1+i) n-1 + R 1 q(1+i) n-2 + R 1 q 2 (1+i) n-3 +... + R 1 q n-1
⎡
q
⎛
q
⎞
2
⎛
q
⎞
n
−
1
⎤
(
n
)
n
−
1
R
=
R
(
+
i
)
⎢
⎣
1
+
+
⎝
⎠
+
...
+
⎝
⎠
⎥
⎦
1
1
+
i
1
+
i
1
+
i
⎢
⎥
Dla q=1+i
R (n) = nR 1 (1+i) n-1
(69)
Dla q≠1+i
⎛
q
⎞
n
1
−
⎝
⎠
1
+
i
(
+
i
)
n
−
q
n
(
n
)
n
−
1
R
=
R
(
+
i
)
=
R
1
q
1
1
+
i
−
q
1
−
1
+
i
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
36
190912615.008.png 190912615.009.png 190912615.010.png
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Dla q≠1+i
(
n
)
(
+
i
)
n
−
q
n
R
=
R
(70)
1
1
+
i
−
q
Wartość początkowa renty geometrycznej nieskończonej
Założenie: 0<q<1+i
⇒
q
<
1
1
+
i
⎛
q
⎞
n
lim
⎝
⎠
=
0
n
→
1
+
i
(
0
)
−
n
(
+
i
)
n
−
q
n
R
=
lim
R
(
+
i
)
∞
1
1
+
i
−
q
n
→
⎛
q
⎞
n
1
−
⎝
⎠
1
+
i
R
R
(
0
)
=
lim
R
=
1
∞
1
1
+
i
−
q
1
+
i
−
q
n
→
R
(
0
)
=
R
1
(71)
∞
1
+
i
−
q
q:= 1+r gdzie r – stopa wzrostu renty geometrycznej
R
(
0
)
=
R
1
(72)
∞
i
−
r
gdzie: q – iloraz renty geometrycznej nieskończonej
r – stopa wzrostu renty geometrycznej nieskończonej
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
37
190912615.001.png 190912615.002.png
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
Przykład 11.
(Model stałego wzrostu dywidendy– model Gordona – Shapiro)
Rozważmy akcję zwykłą, którą inwestor zamierza trzymać
bezterminowo. Rynkowa stopa zwrotu wynosi 20%. Spólka
wypłaciła dywidendę w wysokości 100zł. Zakładamy, że spół-
ka będzie się rozwijać w stałym tempie, co spowoduje wzrost
dywidendy w stałym tempie 10% rocznie. Wycenić akcje spół-
ki.
1 = 100(1+0,1) = 110 zł
R
(
0
)
=
100
(
+
0
=
110
=
1100
zł
∞
0
2
−
0
0
P
=
D
(
+
r
)
(73)
i
−
r
gdzie: P – cena akcji
D – wypłacona dywidenda
r – zakładana stopa wzrostu dywidendy
i – wymagana stopa zwrotu inwestora
☺☺☺☺☺☺☺☺
Stan funduszu emerytalnego dla renty geometrycznej (q≠1+i)
n = E(1+i) n – R (n)
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
38
190912615.003.png
Prof. Piotr Chrzan
MATEMATYKA FINANSOWA
n
(
+
i
)
n
−
q
n
E
=
E
(
+
i
)
−
R
(74)
n
1
1
+
i
−
q
gdzie: E n – stan funduszu po n wypłatach
1 – pierwsza rata renty geometrycznej
i – tempo wzrostu wartości kapitału (stopa procentowa)
q – iloraz renty geometrycznej
n – liczba wypłaconych rat renty.
3.4. RENTA UOGÓLNIONA
Niezgodność okresów:
Stopy procentowej, kapitalizacji, renty (wpłat, wypłat)
Uzgadniamy do okresu renty.
Renta stała niezgodna (uogólniona)
R
(
0
)
=
Ra
R
(
n
)
=
Rs
(renta zgodna)
n
i
n
i
a) okres renty = okres kapitalizacji ≠ okresu stopy procentowej
Uzgodnienie renty polega na wprowadzaniu stopy względnej
i
(
m
)
- kapitalizacja w podokresach stopy procentowej
m
Renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
39
190912615.004.png 190912615.005.png 190912615.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin