3. Elementy kinematyki pŁynÓw
3.1. Opis ruchu płynu
Przedmiotem kinematyki płynów jest ustalenie ogólnych praw ruchu płynu względem danego układu odniesienia. Zakładając, że ruch płynu jest każdorazowo dany, zajmiemy się analizą kinematycznych wielkości charakteryzujących zachowanie się dowolnie wybranej cząstki płynu.
Dysponujemy dwiema podstawowymi metodami pozwalającymi opisać ruch płynu: metodą Lagrange’a i metodą Eulera.
Metoda Lagrange’a opiera się na badaniu ruchu wybranej cząstki płynu. Jeżeli przez oznaczymy współrzędne dowolnego elementu płynu w chwili początkowej , a przez jego współrzędne kartezjańskie, to położenie elementu w dowolnej chwili t będzie określone równaniami:
(3.1)
Składowe wektora prędkości elementu wyznaczają pierwsze pochodne cząstkowe względem czasu:
(3.2)
zaś składowe wektora przyspieszenia drugie pochodne cząstkowe względem czasu:
(3.3)
(3.3cd.)
Stan kinematyczny płynu będzie znany, gdy będą dane równania (3.1) ¸ (3.3) dla wszystkich elementów płynu.
Metoda Eulera polega na badaniu ruchu płynu w określonych punktach przestrzeni i tylko pośrednio zajmuje się ruchem indywidualnego elementu płynu. Istotę tej metody stanowi badanie pól wielkości fizycznych (rozdz. 1.4) i w wyniku jej zastosowania otrzymuje się - najczęściej wykorzystywany - opis ruchu płynu w postaci funkcji (1.16) lub (1.18).
W mechanice płynów rozważamy często zmiany zachodzące w pewnej masie płynu. Wyodrębnioną masę płynu nazywa się obszarem płynnym , jeśli two-rzą ją wciąż te same elementy płynne lub też obszarem kontrolnym , jeśli tworzą ją wciąż te same punkty przestrzenne, natomiast znajdują się w niej, w miarę upływu czasu, coraz to inne elementy płynu.
Zamkniętą powierzchnię ograniczającą obszar płynny nazywamy powierz-chnią płynną; podobnie powierzchnię ograniczającą obszar kontrolny nazywamy powierzchnią kontrolną .
3.2. Graficzna reprezentacja pola prędkości
Niech będzie dane pole wektora prędkości płynu:
(3.4)
Linie tego pola wektorowego (styczne w każdym swym punkcie do wektora pola) nazywają się liniami prądu .
Oznaczając element linii prądu przez , równanie linii prądu możemy napisać w postaci iloczynu wektorowego
(3.5)
lub też w postaci równoważnej
(3.6)
W równaniach (3.5) ¸ (3.6) czas t odgrywa rolę parametru; kształt linii prądu zależy więc od czasu i tylko w ustalonym polu prędkości będzie niezmienny.
Powierzchnia prądu jest to powierzchnia utworzona z linii prądu, przecinających dowolną linię, nie będącą linią prądu. Jeśli ta dowolna linia jest zamknięta, powierzchnia prądu bywa nazywana rurką prądu .
Linia, po której porusza się pojedynczy element płynu nazywa się torem ele-mentu ; jest ona graficzną reprezentacją matematycznego opisu ruchu Lagrange’a.
Równanie torów elementów płynu otrzymujemy wychodząc z definicji wektora prędkości. Oznaczając element toru przez , możemy napisać równanie różniczkowe toru w następującej postaci
(3.7)
albo po przekształceniu
(3.8)
Między równaniami (3.6) i (3.8) zachodzi istotna różnica; w równaniu (3.8) czas nie jest stałym parametrem, ale zmienną.
Chwilowy obraz linii, łączącej wszystkie cząstki płynu, które wyszły z jednego źródła i przeszły przez ten sam punkt pola nazywa się linią wysnutą . Linię ta-ką wyznaczają elementy płynu odróżniającego się wizualnie od tła dostarczone do pola przepływu w określonym punkcie przestrzeni (np. dym w powietrzu lub atrament w wodzie, wypływające z dyszy do obszaru przepływu płynu); w ustalonym polu prędkości jest ona zarazem linią prądu i torem każdego elementu płynu, przechodzącego przez ten punkt.
3.3. Przyspieszenie elementu płynu
Przyspieszenie elementu płynu, traktowanego jako punkt, jest pochodną prędkości elementu względem czasu, wyraża się zatem wzorem
(3.9)
Zgodnie z regułami różniczkowania, różniczka zupełna prędkości jest określona następująco
i po wykorzystaniu wzorów (3.8) otrzymamy
(3.10)
Przy zastosowaniu operatora Hamiltona
wzór (3.10) możemy przepisać w postaci
(3.11)
gdzie
(3.12)
Równość (3.11) orzeka, że przyspieszenie elementu płynu, wyrażone pochod-ną substancjalną prędkości jest sumą pochodnej lokalnej oraz pochodnej konwekcyjnej Nazwy tych pochodnych wynikają z ich sensu fizycznego. Mianowicie pochodna określa zmiany zachodzące w poruszającym się, ale wciąż tym samym elemencie płynu, tzn. zmiany dotyczące jego substancji; pochodna lokalna określa zmiany zachodzące z upływem czasu w stałym punkcie przestrzeni; pochodna konwekcyjna określa zmiany prędkości związane z samym tylko przesunięciem elementu płynu w inne położenie.
Pojęcia pochodnej substancjalnej, lokalnej i konwekcyjnej są pojęciami ogólnymi i mogą być odniesione do dowolnych funkcji (1.18) - opisujących całą klasę wielkości fizycznych. Wobec tego można wprowadzić pojęcie operatora różniczkowania materialnego
, (3.13)
nazywanego często operatorem Stokesa .
3.4. Różniczkowe równanie ciągłości
Równanie ciągłości jest podstawowym równaniem mechaniki płynów, wynikającym z zasady zachowania masy i wyrażającym ciągły charakter przepływu.
Załóżmy, że ruch płynu został określony za pomocą pola prędkości (3.4) i pola gęstości płynu
(3.14)
Rys. 3.1
W przestrzeni wypełnionej poruszającym się płynem wyodrębniamy obszar kon-trolny w kształcie prostopadłościanu o bokach (rys. 3.1).
Masa płynu zawarta w obszarze kontrolnym może się zmieniać z upływem czasu wskutek dwu przyczyn:
- zmiany gęstości płynu,
- dopływu przez ściankę powierzchni kontrolnej.
Jeśli w czasie t gęstość wynosiła to w czasie gęstość będzie równa
zatem zmiana masy płynu wynikająca ze zmiany jego gęstości wyniesie
(3.15)
Masa płynu przepływającego przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu jest równa iloczynowi jego gęstości i prędkości. Obliczymy masy płynu: wpływającą i wypływającą w czasie do obszaru kontrolnego przez powierzchnie o bokach i (rys. 3.1):
- masa wpływająca
- masa wypływająca
Różnica tych wielkości jest następująca
Jeśli uwzględnimy przepływy przez pozostałe powierzchnie obszaru kontrolnego i porównamy je ze zmianą masy reprezentowaną wzorem (3.15), otrzymamy równanie ciągłości przepływu
(3.16)
Przy wykorzystaniu operatora diwergencji równanie (3.16) można zapisać w po-staci
(3.17)
a stąd, po wykonaniu różniczkowania i wprowadzeniu pochodnej substancjalnej (3.13), dostajemy
(3.18)
Dla ruchu stacjonarnego oraz cieczy równanie ciągłości upraszcza się do następujących postaci:
(3.19)
(3.20)
Rys. 3.2
W niektórych działach stosowanej mechaniki płynów przyjmuje się jednowymiarowość i stacjonarność przepływu jako podstawowe założenia upraszczające i wtedy stosujemy szczególne formy równania ciągłości. W celu uzyskania tych form równania ciągłości rozważymy ruch płynu przez kanał ograniczony ściankami kontrolnymi i (rys. 3.2).
Zdefiniujemy pojęcie średniej prędkości normalnej w przekroju s
(3.21)
Masa płynu zawarta wewnątrz kanału musi być stała, a więc masa płynu dopływającego musi być równa masie płynu odpływającego. Zakładając, że gęstość płynu nie zmienia się w dowolnym przekroju poprzecznym otrzymamy
,
tzn, że strumień masy przepływającej przez dowolny przekrój poprzeczny kanału, zwany wydatkiem ...
lukasz938