7 IV 2010.doc

Niesprzeczność:

Teorie w ramach których nie można wyprowadzić pary foruł wzajemnie srzecznych nazywamy niesprzecznymi, zaś takie w których da się tego dokonać nazywamy sprzecznymi.

Niesprzeczność uważa się za jedną z podstawowych cech teorii. O teoriach sprzecznych mówi się, że są poznawczo bezwartościowe (!) gdyż z uwagi na prawo Dunsa Szkota – ich twierdzeniami są wszystkie formuy poprawnie zbudowane (zob. Twierdzenie 7). Innymi słowy, można w nich uzasadnić cokolwiek. Obecnie udowodnione zostanie, że KRZ jest teorią niesprzeczną.

Twierdzenie 21 (o niesprzeczności KRZ)

Nie istnieje formuła A taka, że zarazem A i ~A są tezami KRZ.

Dowód (nie wprost): Dla dowodu przupuścmu, że istnieje formuła A taka, że zarazem A i ~A są tezami KRZ.

Zgodnie z twierdzeniem 1 (o słuszności aksjomatyki – każda teza jest tautologią), formuły te muszą być tautologiami, tj. Zarazem:

A e Trz i (~A) e Trz.

Skoro A e Trz to przy każdym wartościowaniu v, v(A) = 1

Z definicji wartościowania uzyskujemy, że v(~A) = 0, przy każdym wartościowaniu v. Czyli (~A) e Trz.

Co rzeczy wcześniejszemu ustaleniu.

A i ~A nie mogą naraz być prawdziwe;)

Dowód ten jest dowodem absolutnym – nieodwoływalismy się do żadnej innej teorii.

(nie musieliśmy zakładać niesprzeczności jakiejś innej teorii)

Niezależnośc aksjomatów KRZ: każdy system aksjomatyczny można scharakteryzować: listą reguł inferencyjnych i listę aksjomatów [nie mogą się tam znaleźć formuły, które można wyprowadzić z innych aksjomatów; każdy aksjomat winien być niezależny od pozostałych aksjomatów – nie jest on jednak tak ważny jak inne postulaty – chodzi o elegancje i przejrzystość systemu aksjomatów;)].

Formuła niezależna od zbioru X to po prostu formuła, której nie można wyprowadzić – przy ustalonym pojęciu wyprowadzalności – z tego zbioru. Natomiast niezależny zbiór formuł to taki, w którym nie ma formuł wyprowadzalnych z innych formuł tego zbioru.

Pierwszego z tych pojęć używamy, gdy np. Mówimy o niezależności danego aksjomatu od pozostałych aksjomatów. Drugiego – gdy mówimy, że dany zbiór aksjomatów jest niezależny.

Czy można udowodnić, że dany zbiór aksjomatów jest niezależny?

Diwidząc niezależności jakiegoś aksjomatu KRZ od aksjomatów pozostałych można posłużyć się tzw. Metodą cechy dziedzicznej. Można ją streścić następująco:

Jeśli istnieje własność, która nie przysługuje aksjomatowi A należącemu do zbioru aksjomatów X, a przysługuje wszystkim pozostłym aksjomatom należącym do tego zbioru i dziedziczy się ona ze względu na przyjęte reguły inferencyjne R (takie jak podstawianie i odrywanie), to aksjomat A jest niezależny – na gruncie systemu kasjomatycznego <X,R> - od pozostalych aksjomatów tego systemu.

Sposób dowodzenia niezależności aksjomatów tą metodą zostanie pokazany na przykładzie implikacyjno-negacyjnego systemu Łukasiewicza:

Dowód: na przykładzie implikacyjno – negacyjnego KRZ Łukasiewicza:

(system ten oparty jest na trzech aksjomatach:

1.     (p -> q) -> [(q -> r) -> (p -> r)]

2.     (~p -> p) ->p

3.     p -> (~p -> q)

i dwóch reguł inferencyjnych RO i RP.

Pokażmy, że:

aksjomat 1. jest niezależny od dwóch pozostałych aksjomatów Łukasiewicza, czyli:

{2, 3} |-/- 1

Na podstawie metody cechy dziedzicznej trzeba znaleźć taką własność, która:

·         nie przysługuje aksjomatowi 1

·         przysługuje natomiast aksjomatom 2 i 3

·         jest dziedziczona ze względu na reguły RO i RP

Skorzystamy w tym celu z następujących trójwartościowych tabel:

Pod pojęciem wartościowania w tym przypadku rozumiemy dowolną funkcję przyporządkowującą każdej formule języka jedną z wartości: 0 bądź 1, bądź 2. Za wartość wyróżnioną przyjmijmy 1. Pokażmy, że:

·         aksjomaty 2 i 3 mają tę własnośc, iż dla każdego wartościowania, iż dla każdego wartościowania przyjmuje wartość wyróżnioną 1:
natomiast

·         aksjomat 1 nie ma tej własności, tj. Istnieje wartościowanie przy którym przyjmuje on wartość 0.
 

·         zbiór formuł, które przy ka,żdym wartoścuowaniu przyjmują wartość 1 oznaczamy przez Ł pokażemy więc, że:

i)       {2,3} _c Ł;

ii)     1 /e Ł

Wyróżniona tu własność jest dziedziczona ze względu na regułę odrywania RO, tj.

Jeżeli (A -> B) e Ł i A e Ł, to B e Ł

Istotnie z tabeli pierwszej widać, że jeśli implikacja i jej poprzednik mają wartość1, to jej następnik też ma wartość 1.

Własność ta jest również dziedziczona ze względu na regułę podstawiania RP, tj.

Jeśli A e Ł i B jest formułą, to A[p1/B] e Ł.

Jest tak, gdyż operacja podstawiania zachowuje zasadniczą budowę formuły wyjściowej. Gdyby aksjomat 1 był zależny, czyli wyprowadzany z kasjomatów 2 i 3 przy pomocy reguł RO i RP, powinien wówczas również należeć do zbioru Ł (tj. Przy każdym wartościowaniu powienien przyjmować wartość 1)...

Istotnie aksjomat 1 dla (wartościowania):

p = 2, q = 0 i r = 2

przyjmuje wg podanej tabeli dla -> wartośc 0:

(p -> q) -> [(q -> r) -> (p -> r)]

2  1   0  0     0  1  2  0   2  0   2

Korzystając z metody tabelkowej musimy przyjąć, że dla każdej formuły jest tu 3” możliwych wartościowań

Podobnie możemy pokazać, że:

·         aksjomat 2 jest niezależny od aksjomatów 1 i 3

·         aksjomat 3 jest niezależny od aksjomatów 1 i 2

Oznacza to, że zbiór {1, 2, 3} jest niezależny.

[Literatura: Batóg: Podstawy logiki str. 89 – 93. L Borkowski Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości, str. 343 – 345.]