Logika norm.pdf

Logika norm

Logika modalna

Twórcą logik modalnych jest logik amerykański Clarence Irving Lewis (1883-1964).

Systemy modalne pod mianem sytemu ścisłej implikacji przedstawił Lewis najpierw w

swej ksiąŜce A Survey of Symbolic Logic z r. 1918, a następnie obszerniej w ksiąŜce

C.I.Lewis and C.H.Langford Symbolic Logic, 1932. Nowszym opracowaniem wyników

badań nad logiką modalną była ksiąŜka Roberta Feysa Modal Logics z r. 1965.

Systemy modalne Lewisowskiego typu

Terminami pierwotnymi tych systemów są funktory koniunkcji,negacji i funktor

moŜliwości " ◊ ". WyraŜenie " ◊ p" czytamy: jest moŜliwe, Ŝe p. Definicyjnie wprowadza się

funktor konieczności "□" i funktory ścisłej implikacji " ⇒ " i równowaŜności "

(q ⇒ p).

Regułami pierwotnymi są:

1) reguła podstawiania r*

2) reguła odrywania dla implikacji ścisłej

r 0 : a , a⇒b

q =: (p ⇒ q)

├ b

3) reguła łączenia r k :

4) reguła zastępowania dla równowaŜności ścisłej

r z :

├

aÙb

(

bÛg

├

Aksjomatyka:

dla systemu S1:

(a) (p

q) ⇒ p

(d) p ⇒ (p

q) ⇒ (q

(e) [(p ⇒ q)

(q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)

(f) p ⇒ ⋄ p

czyli AS1 = {(a),(b),(c),(d),(e),(f)};

dla systemu S2: aksjomatyka systemu S1 plus:

(g) ⋄ (p

{(g)};

dla systemu S3: aksjomatyka S1 plus:

(h) (p ⇒ q) ⇒ ( ⋄ p ⇒ ⋄ q)

czyli AS3 = AS1

{(h)};

dla systemu S4: aksjomatyka S1 plus:

(i) ⋄⋄ p ⇒ ⋄ p

czyli AS4 = AS1 È {(i)};

dla systemu S5: aksjomatyka S1 plus:

(j) ⋄ p ⇒ □ ⋄ p

□p =: ~ ◊ ~p

p ⇒ q =: ~ ◊ (p Ù ~q)

(

(b) (p

q) ⇒ ⋄ p

czyli AS2 = AS1

czyli AS5 = AS1 È {(j)};

Przytoczone systemy S1-S5 pochodzą od Lewisa, natomiast dalsze 3 systemy logiki

modalnej przedstawił S.Hallden w 1949:

dla systemu S6: aksjomatyka S2 plus:

(k) ⋄⋄ p

czyli AS6 = AS2

{(k)};

dla systemu S8: aksjomatyka S3 plus:

(l) □ ⋄⋄ p

czyli AS8 = AS3 È {(l)}.

Systemy modalne Gödlowskiego typu

W roku 1933 K.Gödel zasugerował nową formalizację systemów Lewisa

S4 i S5, natomiast analogiczną formalizację podał w roku 1957 E.J. Lemmon dla innych

znanych logik modalnych. Idea tej formalizacji systemów polega na nadbudowaniu ich

nad klasycznym rachunkiem zdań w taki sposób, Ŝe słownik logiki rozszerzony jest o

modalny funktor □ - konieczności, scharakteryzowany przez modalne aksjomaty i

reguły. Funktor moŜliwości wprowadza się wówczas definicyjnie:

⋄ p =: ~

~ p.

Oprócz reguł wnioskowania KRZ w systemach tych są przyjmowane reguły Gödla:

RG 1 :

□

RG 2 : a jest tezą├□ a jest tezą

i reguła Beckera:

RB: □ ( a®b )├ □ (□ a®

├□

b ).

Poszczególne modalne systemy logiczne są wyznaczone przez aksjomatykę

i reguły KRZ i określoną aksjomatykę właściwą i odpowiednie reguły:

system S1 Lemmona:

RG 2 , (1) □p

□

p, (2) □(p

□(q

□(p

r);

system S2 Lemmona:

RG 2 , RB, (1) i (2* ) □(p

(□ p

□ q);

system S3 Lemmona:

RG 2 , (1) i (2 + ) □(p ® q) ®

□(□ p ®

□ q);

system S4 Lemmona:

RG1 , (1) i (2 + );

system S4 Gödla:

RG1 , (1), (2* ) i (3) □p

□□p;

system S5 Gödla:

RG1 , (1), (2* ) i (3* )

□ p

□

□ p.

Systemy modalne von Wrighta

Systemy te zostały przedstawione w ksiąŜce An Essay in Modal Logic, 1951. Są to

systemy typu Gödlowskiego z pierwotnym funktorem modalnym ⋄ - moŜliwości. Stąd:

{(k)};

dla systemu S7: aksjomatyka S3 plus aksjomat (k), czyli

AS7 = AS3

Systemy te opierają się na regułach KRZ, regule Gödla RG1 i regule von Wrighta RW:

a«b

~ ⋄ ~

Aksjomatami modalnymi są:

dla systemu M: (m1) p

├ ⋄ a« ⋄ b

® ⋄ p, (m2) ⋄ (p

( ⋄ p

Ú ⋄ q);

« ⋄ p;

dla systemu M'': (m1), (m2) i (m4) ⋄ ~ ⋄ p

®~ ⋄ p.

Systemy modalne von Wrighta są równowaŜne odpowiednio systemom modalnym: M -

T, M' - S4 i M'' - S5.

Robert Feys system M'' zinterpretował kwantyfikatorami, przyjmując, Ŝe:

pt ® t qt =: " t(pt ® qt),

qt),

pt,qt,rt,...=: p , q , r ,...

" t =: (zawsze zachodzi)

$ t =: ⋄ (czasami zachodzi, ~ ⋄ - nigdy nie zachodzi)

« t qt =:

t(pt

® t =: ⇒ (implikacja ścisła)

(równowaŜność ścisła)

Stąd otrzymujemy tezy systemu M'':

□ p « ⋄ ~ p □ p «~ ⋄ ~ p ~ ⋄ p « ~

□ p

⋄ p

«~

□

p □ p

p p

® ⋄ p □ p

® ⋄ p

□(p Ú q) ⋄ (p Ú q) « ( ⋄ p Ú q)

⋄ (p Ù q) ® ( ⋄ p Ù ⋄ q) ⋄ (p Ù q) ® ⋄ p (p ⇒ q) ® ( □p ® □q)

(p ⇒ q)

□ q) ( □p Ú

□q) ®

□p

□q (p ⇒ q)

( ⋄ p

® ⋄ q) (p ⇒ q)

Ù ⋄ p

® ⋄ q

« ⋄ q).

W systemach S1 i S2 istnieje nieskończenie wiele nierównowaŜnych sobie modalności.

Natomiast system S3 posiada 42 nierównowaŜne sobie modalności, system S4 - 14, a

system S5 tylko 6 nierównowaŜnych sobie modalności (wliczając funktory asercji i

negacji): □, ⋄ ,

(□p

□q) (p

( ⋄ p

□,

~ ⋄ ,

i A.

Logiki K-modalne

Saul Kripke wyłoŜył swą semantykę logik modalnych w pracy Semantical Analysis for

Modal Logic cz.I-1963, cz.II-1965 i w artykule Semantical Analysis of Modal Logic 1959.

Logiki K-modalne są tymi systemami modalnymi, dla których semantyka Kripkego

przewiduje uniwersa normalnych światów moŜliwych, czyli takich, które wykluczają

sprzeczność. Chodzi tu o systemy K, T, S4, B, S5, S4.3 i D, opartych na regułach KRZ i

regule Gödla RG1 i których aksjomatyka wygląda następująco:

AK = AKRZ

{`□ (

a®b

)

(□

a®

□

'};

AT = AK È {`□

a®a '};

AS4 = AT

{`□

a®

□□

'};

□ p =:

dla systemu M': (m1), (m2) i (m3) ⋄⋄ p

« t =:

□p Ù q) « ( □p Ù

AB = AT

a®

□ ⋄ a

'};

AS5 = AS4

{` ⋄ a®

□ ⋄ a

'};

AS4.3 = AS4

{`□(□

a®

□

)

(□

b®

□

)'};

)'}.

ZaleŜności między tymi systemami ilustruje następujący diagram, (w którym linie

łączące oznaczają stosunek inkluzji właściwej):

{` □(□(

a®

□

)

®a

)

□( ⋄ □

a®a

S4.3

Perzanowskiego klasyfikacja systemów modalnych

Aksjomaty i reguły

PoniŜej wyliczymy niektóre z aksjomatów i reguł modalnych pojawiających się

przy okazji rozwaŜania kwestii filozoficznych. Numerujemy je w kolejności, niekiedy

podając powszechny sposób ich oznaczania.

Aksjomaty

(A1) LT To, co tautologiczne, jest konieczne.

(A2) MT To, co tautologiczne, jest moŜliwe.

Prawa rozdzielności:

(A3) L(A ® B) ® (LA ® LB) konieczności względem implikacji

(A4) M(A

(MA

MB) moŜliwości względem implikacji

LB konieczności względem koniunkcji

(A6) M(A Ù B) « MA Ù MB moŜliwości względem konieczności

(A7) LA

L(A

B) konieczności względem alternatywy

MB moŜliwości względem alternatywy

Prawa porównań:

(A9: D) LA

MA Konieczność implikuje moŜliwość (prawo

AD = AS4.3

(A5) L(A

(A8) M(A

LA To, co moŜliwe, jest konieczne (formuła Leibniza

wyraŜająca racjonalizm onto-logiczny)

(A11: T) LA

A, resp. A

MA To, co konieczne, jest (Ab esse ad posse valet

consequentia)

(A12: SR) A

A JeŜeli A, to konieczne, Ŝe A (formuła wyraŜająca

silny racjonalizm onto-logiczny)

(A13: TR) LA

LA, rep. MA

A, rep. MA

A Konieczności są jałowe: Konieczne, Ŝe A wtedy i

tylko wtedy, gdy A

(A14: V) LA Wszystko jest konieczne (superracjonalizm).

Formalnie, L=T

(A15: N) LA

A Formalnie, „L” równowaŜne jest negacji

klasycznej

(A16: F) ~ LA, tj. MA Wszystko jest moŜliwe (formuła Kartezjusza).

Formalnie, L =

(A17 n ) LA

L n A, resp. M n A

MA - gdzie n≥0, zaś L°A: =A=:M°A,

L n+l :=LL n , Mn+l :=MM n

Szczególną rolę odgrywa (Al7 2 ), skracane przez " 4 ”. ZauwaŜmy, Ŝe

(A17°) = (T).

(A18:B) MLA

LMA Formuła. Beckera uŜyta do wyraŜenia modalnych

idei Brouwera leŜących u podstaw matematyki intuicjonistycznej, tzw. aksjomat

Brouwera: JeŜeli A, to konieczne, Ŝe moŜliwe A.

(A19: 5 ) MLA

A, resp. A

LMA Wzmocnienie warunku Beckera, wyz-naczające

wraz z (T) kwantyfikatorową interpretację modalności.

Reguły

Aksjomaty są regułami 0-przesłankowymi, czyli przesądzeniami bezzałoŜeniowymi. Aby

wyprowadzić z nich pozostałe twierdzenia danego rachunku modalnego, trzeba przyjąć

stosowny zespół reguł. Ogólnie wiadomo, Ŝe rodziny reguł wyznaczają operatory

konsekwencji (krótko: konsekwencje) działające na zbiorach formuł. Tak i w naszym

przypad-ku, odpowiednie układy reguł wyznaczają podstawowe konsekwencje badane

w logice modalnej.

RozwaŜamy wyłącznie reguły schematyczne. Z klasycznego rachunku zdań KRZ

bierzemy

Regułę odrywania, RO: A, A ® B├ B

oraz

Regułę podstawiania, RSb: A├ eA - dla dowolnego podstawienia e,

czyli homomorfizmu przeprowadza-jącego algebrę formuł w nią samą.

Kluczowy - zarówno dla dedukcji, jak i interpretacji rachunku -jest problem, czy

równowaŜność „ « " jest ekstensjonalna w danym rachunku, t j. czy równowaŜne

stwierdzenia są wzajem wymienialne salve veritate. Przesądzenie w tej sprawie

wyznacza pod-stawowy podział logik na rachunki ekstensjonalne i rachunki

nieekstensjonalne.

W rozwaŜanym przypadku, wobec ekstensjonalności KRZ , kwestia redukuje się do

uznania bądź odrzucenia reguły ekstensjonalności ograniczonej do funktorów

modalnych:

RE: A

LA, resp. MA

B├ LA

LB, rep. A

B├ MA

MB.

Arystotelesa)

(A10: R) MA

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: