Cwiczenie1.pdf

Laboratorium z Podstaw Inżynierii Materiałów

Ćwiczenie 1: Badanie upakowania modelowych proszków, symulacje komputerowe

BADANIE UPAKOWANIA MODELOWYCH PROSZKÓW, SYMULACJE

KOMPUTEROWE

I. Wprowadzenie

Problem przestrzennego rozmieszczenia kul stanowi kluczowe zagadnienie wielu badań

natury fizykochemicznej i inżynieryjnej. Wśród tych badań szczególne miejsce zajmują

badania strukturalne nad przestrzennym rozmieszczeniem cząstek: atomów i molekuł w

kryształach, substancjach amorficznych i klasterach oraz cząstek fazy stałej w roztworach

koloidalnych, żelach oraz proszkach poddawanych spiekaniu. Odrębną grupę zagadnień

stanowią modelowe badania nad strukturą i ruchem cieczy. Pierwszy raz problem upakowania

jednakowych kul został postawiony prawie 400 lat temu przez matematyka i astronoma J.

Keplera w związku z jego zainteresowaniami atomową teorią budowy materii. Wśród

wszystkich możliwych kształtów atomów, kształt kulisty wydawał się najbardziej

uprzywilejowany. Zatem, jeśli materia byłaby zbudowana z niepodzielnych cząstek, to każde

materialne ciało powinno przypominać układ mniej lub bardziej wypełniony kulistymi

atomami. Słusznie uważano, że badając sposób upakowania pomarańczy w skrzynce można

poznać jeden z tajników materii. Kepler domyślił się, że struktura najgęstszego upakowania

odpowiada heksagonalnemu gęstemu ułożeniu kul, ale nie potrafił udowodnić, że większego

stosunku objętości kul do wypełnionej przestrzeni nie da się osiągnąć.

Z hipotezą Keplera zmagali się najwięksi matematycy. Pierwszego znaczącego postępu

dokonał w XIX wieku C. F. Gauss. Dowiódł, że nie można uzyskać gęstszego upakowania

kul w przypadku, gdy pakujemy je w sposób periodyczny. Obecnie wiadomo (dowód

matematyczny na 250 stronach), że periodyczne ułożenie kul, odpowiadające

heksagonalnemu ułożeniu, jest najgęstszym możliwym. Przeczy to hipotezie Coxetera [1,2],

że chaotyczne (statystyczne) upakowanie kul może tworzyć układ o wyższej gęstości.

II. Heksagonalne i kubiczne gęste ułożenie kul

Obalonej dopiero w 1998 (!) roku hipotezie Coxetera o tym, że statystyczne rozmieszczenie

jednakowych kul pozwala osiągnąć upakowanie jeszcze większe niż wartość

π, znaleziona

dla periodycznego gęstego upakowania, przeczą również badania nad strukturą sieci

krystalicznej. Znakomita część kryształów, realizując zasadę o minimum energii, przyjmuje

taką strukturę, aby atomy ułożyły się według wzoru Keplera.

Rozmieszczenie kul zgodne z uporządkowaniem heksagonalnym

Gęsto upakowana pojedyncza płaszczyzna przypomina plaster miodu zbudowany

z sześciokątów. Druga płaszczyzna przesuniętą jest względem pierwszej w taki sposób,

że kule (atomy, jeśli opisujemy strukturę krystaliczną) zajmują położenia w lukach. Istnieją

Laboratorium z Podstaw Inżynierii Materiałów

Ćwiczenie 1: Badanie upakowania modelowych proszków, symulacje komputerowe

dwa typy luk w zależności od położenia. Oznacza się je literami B i C, podczas gdy położenia

atomów pierwszej płaszczyzny oznacza się literą A (patrz rys. 1).

Dowolna kula, niezależnie od tego, które położenie zajmuje, ma liczbę koordynacyjną

l.k.= 12, tj. sąsiaduje z 12 innymi kulami.

Rys.1. Położenia A, B i C kul zgodne z modelem gęstego upakowania

Gęsto upakowane płaszczyzny mogą być nakładane na siebie na jeden z dwóch sposobów:

• W sekwencji ABABA..., wykorzystując dwa z możliwych położeń kul i dając

heksagonalne gęste upakowanie kul (Hexagonal Closed Pack - HCP) - Rys. 2

• W sekwencji ABCABCA..., wykorzystując kolejno wszystkie trzy możliwe położenia kul

i dając kubiczne (płasko centrowane) gęste upakowanie (Cubic Closed Pack - CCP) - Rys. 3

Rys. 2. Struktura heksagonalna gęsto upakowana HCP

Laboratorium z Podstaw Inżynierii Materiałów

Ćwiczenie 1: Badanie upakowania modelowych proszków, symulacje komputerowe

Rys. 3 . Struktura kubiczna gęsto upakowana CCP

Pomiędzy kulami pojawiają się dwa rodzaje luk: tetraedryczne (czworościany) pomiędzy

czterema kulami i oktaedryczne (ośmiościany) pomiędzy sześcioma kulami. Na pojedynczą

komórkę przypada 8 luk tetraedrycznych i 4 oktaedry. przy czym tylko 1 oktaedr leży

w całości w komórce a podczas, gdy 12 oktaedrów przynależy do danej komórki w 1/4.

Wyznaczanie gęstości upakowania kul

Gęstość upakowania kul ułożonych zgodnie z gęstym heksagonalnym lub kubicznym gęstym

ułożeniem można wyznaczyć w oparciu o zależności podane w Tabeli II.1.

Tabela II.1 Wyznaczanie objętości zajmowanej przez kule w strukturach gęsto

upakowanych.

Struktura kubiczna płasko

centrowana

Struktura heksagonalna

gęsto upakowana

Liczba kul w komórce

Objętość kul V kul

Objętość komórki

Zależność pomiędzy

promieniem kuli a

parametrami komórki

Objętość komórki wyrażona

w jednostkach promienia kuli

V komórki

Gęstość upakowania

Laboratorium z Podstaw Inżynierii Materiałów

Ćwiczenie 1: Badanie upakowania modelowych proszków, symulacje komputerowe

Wartość gęstości upakowania

0,7405 jest największą możliwą, jaka może być

uzyskana w przypadku gdy przestrzeń wypełniają kule o tej samej wielkości. Jest ona

osiągana w układach, w których kule ułożone są w sposób periodyczny.

III. Statystyczne rozmieszczenie kul

Charakterystyka przestrzennego rozmieszczenia kul

Jednoznaczne określenie przestrzennego rozmieszczenia kul. zarówno w przypadku

periodycznym jak i statystycznym, wymaga podania trzywymiarowej tablicy definiującej

współrzędne x, y, z środków kul. Dla celów analizy własności spiekanych proszków

wystarczające są jednak dane na temat:

• Gęstości upakowania kul (ziarn proszku) definiowanej jako stosunek objętości wszystkich

kul do objętości przestrzeni wypełnionej przez te kule (z uwzględnieniem luk)

• Rozkładu liczby koordynacyjnej kul określającego zależność pomiędzy

prawdopodobieństwem p , (ewentualnie, przeliczonym na udział procentowy) pojawienia się

w układzie kuli o danej liczbie koordynacyjnej (liczbie kontakt w z sąsiednimi kulami.)

a wartością tej liczby (l.k.= i, i=0,...12).

Rozkład liczby koordynacyjnej podaje się albo w postaci tabeli albo w postaci graficznej czyli

histogramu reprezentującego empiryczny rozkład zmiennej losowej. W sposób ilościowy

charakteryzujemy go podając:

- modę (najczęściej powtarzającą się wartość liczby koordynacyjnej)

- medianę (wartość środkową)

- wartość oczekiwaną:

- wariancję:

Badania eksperymentalne

Najprostsze doświadczenie badające statystyczne rozmieszczenie zbioru kul o jednakowej

średnicy polega na umieszczeniu (nasypaniu) kul do naczynia o danej objętości i wyznaczeniu

gęstości upakowania. Otrzymywane wartości są z reguły o około 15-20% niższe od gęstości

upakowania w przypadku periodycznie ułożonych kul, tj. wahają się między 0.55 i 0.60.

Udział objętości kul w przestrzeni wypełnionej przez ziarna- luki zależy od dwóch

czynników:

• sposobu upakowania kul i ich ewentualnego przegrupowania pod wpływem ciśnienia,

wstrząsania itd.

• zaburzenia rozkładu wprowadzonego przez ściany naczynia.

Laboratorium z Podstaw Inżynierii Materiałów

Ćwiczenie 1: Badanie upakowania modelowych proszków, symulacje komputerowe

Badania eksperymentalne pokazują, że lekkie wstrząśnięcie zbiornikiem zawierającym kule

powoduje zwykle nieznaczny wzrost gęstości upakowania (zagęszczenie układu)

o około 1-2%. Silne wstrząśnięcie naczyniem lub wielokrotne obracanie nim wokół osi

(przez około 2 minuty) powoduje zwykle spadek gęstości upakowania o około 2-5%.

Ta ostatnia zmiana jest wynikiem dostarczenia do układu dodatkowej energii i tym samym

zaburzenia stanu o najniższej energii [3]. Eksperyment pozwala w ten sposób określić dwie

graniczne wartości upakowania kul; tzw. luźnego i gęstego statystycznego upakowania kul,

różniące się o około 5 -6%.

Zarówno w obydwu skrajnych przypadkach jak i dla gęstości upakowania pomiędzy nimi,

układy kul są sztywne w znaczeniu, że jednorodne ciśnienie wywierane w jednym kierunku

nie zmienia sposobu rozmieszczenia kul. Nawet jednak minimalne odchylenie

od jednorodności ciśnienia łatwo powoduje zmianę przestrzennego uporządkowania kul.

Badanie gęstości upakowania kuł w naczyniu powtarza się zwykle wykorzystując

w eksperymencie kule o różnym promieniu, tak aby zmniejszyć wpływ ścian naczynia

na wartość otrzymanych wyników. Błąd oszacowania maleje w miarę jak rośnie stosunek

powierzchni naczynia do objętości pojedynczej kuli użytej w pomiarach.

W celi eliminacji błędu pomiarowego, można wyniki przedstawić na wykresie zależności

gęstości upakowania p od , gdzie N jest liczbą kul użytych w doświadczeniu. Dane

uzyskiwane w różnych seriach pomiarowych układają się, w przybliżeniu, na jednej prostej

(choć korelacja może być mała). Aproksymacja wyników do pozwala określić

gęstość upakowania p

z pominięciem zaburzenia

wprowadzonego

przez

naczynie

o skończonych wymiarach. Wartości oszacowane w ten sposób wynoszą [3]:

• p = 0.63 w przypadku gęsto upakowanego układu,

• p = 0.59 w przypadku luźno upakowanego układu,

Rys. 4 Gęstość upakowania stalowych kul wypełniających szklaną kolbę w zależności od

liczby kul potrzebnych do wypełnienia kolby [3].

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: